【数学】2020届一轮复习人教B版全称量词与存在量词学案

【数学】2020届一轮复习人教B版全称量词与存在量词学案

全称量词与存在量词 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；‎ ‎2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“” “ ”来表述相关的教学内容；‎ ‎3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；‎ ‎4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、全称量词与全称命题 全称量词 全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.‎ 常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.‎ 全称命题 全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.‎ 一般形式：“对中任意一个，有成立”，‎ 记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.‎ 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.‎ 要点二、存在量词与特称命题 存在量词 定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.‎ 常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”.‎ 特称命题 特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.‎ 一般形式：“存在中一个元素，有成立”，‎ 记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.‎ 要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使 ‎.‎ ‎（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.‎ ‎（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述 要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题：，‎ 的否定：，；‎ 从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.‎ 对含有一个量词的特称命题的否定 ‎ 特称命题：，‎ 的否定：，；‎ 从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.‎ 要点诠释：‎ ‎(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；‎ ‎(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.  ‎ ‎（3）正面词：等于 、 大于  、小于、   是、   都是、  至少一个  、至多一个、  小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.‎ 要点四、全称命题和特称命题的真假判断 ‎①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”‎ 是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.‎ ‎②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.‎ ‎ ‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：量词与全称命题、特称命题 ‎【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】‎ 例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.‎ ‎（1）xR，x2+1≥1； ‎ ‎（2）所有素数都是奇数； ‎ ‎（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； ‎ ‎（4）有些整数只有两个正因数. ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）有全称量词“任意”，是全称命题；‎ ‎（2）有全称量词“所有”，是全称命题；‎ ‎（3）有存在量词“存在”，是特称命题；‎ ‎（4）有存在量词“有些”；是特称命题。‎ ‎【总结升华】通过量词来确定命题是全称命题还是特称命题. 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】下列命题中全称命题的个数为(　　)‎ ‎①平行四边形的对角线互相平分　‎ ‎②梯形有两边平行　‎ ‎③存在一个菱形，它的四条边不相等 A．0　　　　 B．1　　　　‎ C．2　　　　 D．3‎ ‎【答案】　C ‎【解析】①②是全称命题，③是特称命题．‎ 类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.‎ ‎（1）对数函数都是单调函数；‎ ‎（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；‎ ‎（3），是无理数；‎ ‎（4），.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）全称命题，真命题.‎ ‎（2）特称命题，真命题.‎ ‎（3）全称命题，假命题，例如，但是有理数.‎ ‎（4）特称命题，真命题.‎ ‎【总结升华】‎ ‎（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；‎ ‎（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】下列全称命题中真命题的个数为（ ）‎ ‎①末位是0的整数，可以被2整除；‎ ‎②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；‎ ‎③正四面体中相邻两侧面的夹角相等.‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎【答案】C ‎ ‎【高清课堂：全称量词与存在量词395491例2】‎ ‎【变式2】判断下列命题的真假.‎ ‎（1）p：xR，； ‎ ‎（2）p：xN，. ‎ ‎【答案】（1）命题为真；‎ ‎（2）命题为假；‎ 类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例3. 写出下列命题的否定并判断真假 ‎（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；‎ ‎（2）p：每一个非负数的平方都是正数；‎ ‎（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于；‎ ‎（4）p：有的四边形没有外接圆；‎ ‎（5）p：某些梯形的对角线互相平分.‎ ‎【解析】（1）存在未位数字是0或5的整数但它不能被5整除，假命题；‎ ‎（2）存在一个非负数的平方它不是正数，真命题；‎ ‎（3）任何一个三角形它的内角和都不大于180°，真命题；‎ ‎（4）所有的四边形都有外接圆，假命题；‎ ‎（5）任一梯形的对角线都不互相平分，真命题 ‎【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】(2015 浙江)命题“ 且的否定形式是（ ）‎ A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.‎ ‎【变式2】（2019 浙江理） 命题“，使得”的否定形式是 A．，使得 B．，使得 ‎ C．，使得 D．，使得 ‎【答案】D ‎【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．‎ ‎【变式3】写出下列命题的否定，并判断真假.‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）所有的正方形都是矩形；‎ ‎ （3）； ‎ ‎（4）至少有一个实数x0，使得.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）：（假命题）；‎ ‎（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；‎ ‎（3）：（真命题）； ‎ ‎（4）：（真命题）.‎ 类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. ‎ ‎【解析】‎ ‎ q:x2-2x+1-m2≤0Þ[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0‎ ‎ 又∵m>0‎ ‎ ∴不等式的解为1-m≤x≤1+m ‎ ∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”‎ ‎ ∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集.‎ ‎ ‎ ‎ ∴实数m的取值范围是 ‎【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，判断 p是q的什么条件.‎ ‎【答案】；‎ q ‎∴p是q的必要不充分条件.‎ ‎【变式2】(2015 山东)若“，”是真命题，则实数m的最小值为 。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】若“，”是真命题 ‎ 则，其中 ‎ ‎ 函数 的最大值为1‎ ‎ ‎ ‎ 即的最小值为1，所以答案应填1.‎ ‎【变式3】（2019 江苏模拟）若函数，g（x）=a（x－a+3）同时满足以下两条件：‎ ‎①，f（x）＜0或g（x）＜0；‎ ‎②，f（x）g（x）＜0。‎ 则实数a的取值范围为________。‎ ‎【答案】‎ ‎∵已知函数，g（x）=a（x－a+3），‎ 根据①，f（x）＜0，或g（x）＜0，‎ 即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值，‎ 由f（x）≥0，求得x≤－1，‎ 即当x≤－1时，g（x）＜0恒成立，‎ 故，解得：a＞2；‎ 根据②，使f（x）·g（x）＜0成立，‎ ‎∴g（1）=a（1－a+3）＞0，‎ 解得：0＜a＜4，‎ 综上可得：a∈（2，4），‎ 故答案为：（2，4）‎