【数学】2020届一轮复习人教A版 集合 学案

【数学】2020届一轮复习人教A版 集合 学案

第一章《集合与常用逻辑用语》‎ ‎ 〖知识特点〗‎ ‎ 1、集合是高中数学的起始章节，主要是强调其工具性和应用性。另外，由于Venn图的利用，数形结合思想的应用也很广泛。‎ ‎2、常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具，以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主，属容易题目。‎ ‎3、集合与常用逻辑用语与其他知识的联系也非常密切，常以本章知识为工具考查函数、方程、三角、解析几何、立体几何中的知识点。‎ ‎〖重点关注〗‎ ‎1、集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。‎ ‎2、对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。‎ ‎3、全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键。‎ ‎4、本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据，同时也应注意这两种思想的应用。‎ ‎〖地位与作用〗‎ ‎“集合与常用逻辑用语”这一章主要是讲述集合的初步知识与常用逻辑用语知识两部分，集合的初步知识是现行高中数学教 书中原来就有的内容。这部分内容主要包括集合的有关概念、集合的表示、集合的基本关系及集合的基本运算。常用逻辑用语知识则是新增内容，这部分主要是介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命题及其相互关系，全称量词和存在量词及含有它们的命题以及充要条件等有关知识。‎ 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要基础，一方面，许多重要的学 ，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用，因此在历年高考中都有考查集合问题的题目。一是考查集合的有关概念，集合之间的关系，集合的运算等；二是考查集合的工具性，主要考查集合语言的应用，集合思想的应用。‎ 逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学 ，学习数学，需要全面理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分。‎ 常用逻辑用语是每年高考的必考内容，其中量词是新课标新增的内容，是考查的重点。高考对本部分的考查主要有两个方面：一是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题，一般以选择题形式出现，考查两种命题的否定 命题的写法，是高考的热点；二是充要条件的推理判断以及四种命题的相互关系问题等，这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。一般在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。‎ 第一节 集 合 ‎【高考新动向】‎ 一、考纲点击 ‎1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；‎ ‎2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；‎ ‎3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；‎ ‎4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；‎ ‎5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；‎ ‎6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；‎ ‎7、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。‎ 二、热点难点提示 ‎1.集合的运算是高考考查的重点.‎ ‎2.常与函数、方程、不等式交汇，考查学生借助Venn图、数轴等工具解决集合的运算问题的能力，要求学生具备数形结合的思想意识.‎ ‎3.以选择题、填空题的形式考查，属容易题.‎ ‎【考纲全景透析】‎ ‎1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 ‎（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作 ‎（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；‎ 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；‎ 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；‎ 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；‎ ‎（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；‎ 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；‎ 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。‎ 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。‎ ‎（4）常用数集及其记法：‎ 非负整数集（或自然数集），记作N；‎ 正整数集，记作N 或N+；‎ 整数集，记作 ；‎ 有理数集，记作Q；‎ 实数集，记作R ‎2．集合的基本关系：‎ ‎（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；‎ 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作 A B；‎ ‎（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；‎ ‎（3）集合的基本关系以列表的形式表示如下：‎ ‎3．全集与补集：‎ ‎（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；‎ ‎（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；‎ ‎（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S ‎4．交集与并集：‎ ‎（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集 ‎（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。‎ 注意：①求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法 ‎②集合的基本运算以列表的形式表示如下：‎ ‎5．集合的简单性质：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）；‎ ‎（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。‎ ‎【热点难点全析】‎ 一、集合的基本概念 ‎1、相关链接 ‎（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。‎ ‎（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。‎ ‎（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。‎ 注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征。‎ 如：A={y y=x2+2},B={(x,y) y=x2+2}.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。‎ ‎②注意集合中元素的互异性 对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.‎ ‎③常见集合的意义 集合 ‎ ‎{x f(x)=0} ‎ ‎{x f(x)>0} ‎ ‎{x y=f(x)} ‎ ‎{y y=f(x)} ‎ ‎{(x,y) y=f(x)} ‎ 集合的 意义 ‎ 方程f(x)=0的解集 ‎ 不等式f(x)>0的解集 ‎ 函数y=f(x)的定义域 ‎ 函数y=f(x)的值域 ‎ 函数y=f(x)的图象上的点集 ‎2、例题解析 例1． (1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )‎ ‎(A)9　　　　(B)8　　　　(C)7　　　　(D)6‎ ‎(2)已知-3∈A={a-2，‎2a2+‎5a，12}，则a=______.‎ ‎【解题指导】(1)从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值.‎ ‎(2)-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论.‎ 解析：(1)选B.根据新定义将a+b的值列表如下：‎ 由集合中元素的互异性知P+Q中有8个元素，故选B.‎ ‎(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或‎2a2+‎5a=-3，‎ ‎∴a=-1或 当a=-1时，a-2=‎2a2+‎5a=-3,不合题意;‎ 当时，A={，-3，12},符合题意,‎ 故 答案：‎ 例2．集合,,若,则的值 为 ( )‎ A.0 B‎.1 C.2 D.4‎ 答案 D 解析 ∵,,∴∴,故选D.‎ 例3．下列集合中表示同一集合的是（ C ）‎ ‎ A．M = {(3，2)}，N = {(2，3)} B．M = {(x，y) x + y = 1}，N = {y x +y = 1}‎ C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1，2}，N = {(1，2)}‎ 答案：C 解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。‎ 二、集合间的基本关系和运算 ‎1、相关链接 ‎（1）子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，刚其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.‎ ‎（2）全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.‎ ‎（3）集合A与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集.‎ ‎（4）集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn图及补集思想的应用。‎ ‎（5）集合的简单性质：‎ ‎①‎ ‎②，，，‎ ‎③‎ ‎④；‎ ‎⑤（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。‎ ‎⑥；若AB，BC，则AC ‎（6）方法指导：‎ ‎①解决集合相等问题的一般思路 若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.‎ ‎②判断两集合关系的常用方法：‎ ‎<1>化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；‎ ‎<2>用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.‎ ‎③集合运算的常用方法 ‎<1>集合元素离散时借助Venn图运算；‎ ‎<2>集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍.‎ ‎2、例题解析 例1：(1)(2011·山东高考)设集合M={ 2+x-6<0}, N={x 1≤x≤3},则M∩N=( )‎ ‎(A)［1，2)　　(B)［1，2 　　(C)(2，3 　　(D)［2，3 ‎ ‎(2)(2011·湖南高考)设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩={2，4}，则N=( )‎ ‎(A){1，2，3}　(B){1，3，5}　(C){1，4，5}　(D){2，3，4}‎ ‎(3)(2011·辽宁高考)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩=Ø，则M∪N=( )‎ ‎(A)M　　　(B)N　　　(C)I　　　(D)Ø ‎【解题指导】(1)化简集合M，借助数轴求解.‎ ‎(2)借助于Venn图知从而 ‎ ‎(3)借助于Venn图寻找集合M，N的关系.‎ 解析:(1)选A.∵M={x -30},B={y y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ ‎，则实数a的取值范围为（ ）．‎ 分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．‎ 解：由题知可解得A={y y>a2+1或y0},则A∩B等于（ ）‎ ‎(A)R (B)Ø (C)[0,+∞) (D)(0,+∞)‎ ‎3.(2012·蚌埠模拟)已知集合M={x y=}，集合N={y y=x2-2x+1,x∈R},则M∩N=( )‎ ‎(A){ ≤2} (B){ ≥2}‎ ‎(C){x 0≤x≤2} (D)Ø ‎4.设集合A={x x-a <1,x∈R},B={x 10得x<1，∴B={ <1},‎ ‎∴UB={ ≥1},‎ ‎∴A∩(UB)={x 1≤x<2}.‎ ‎2.【解析】选C.A={ }={ ≥0}=[0,+∞),B={y y=log2x,x∈(0,+∞)}=R,∴A∩B=[0,+∞).‎ ‎3.【解析】选C.由2-x≥0得x≤2，∴M={ ≤2},‎ ‎∵y=x2-2x+1=(x-1)2≥0.‎ ‎∴N={y y≥0},∴M∩N={x 0≤x≤2}.‎ ‎4.【解析】选C.由 x-a <1得a-1a-1⇒a>-2.‎ 又∵A∩B=Ø，则有‎2a+1≤0或a-1≥1⇒‎ a≤- 或a≥2,∴-2时,B={x 12},‎ ‎①当m<时,B={x 2m时,B={x 1

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