北京市高考数学联考试题分类大汇编函数与导数试题解析

北京市高考数学联考试题分类大汇编函数与导数试题解析

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编 一、选择题：‎ ‎（5）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）设，且，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，且，所以。‎ ‎8．(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：‎ y y=-x+3‎ O A ‎① ； ② ； ③ ．‎ 其中，型曲线的个数是（ ）‎ x ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，的图像是一条线段，记为如图（1）所示，从的图象是圆在第二象限的部分，如图（2）所示，显然，无论点B、C在何处，△ABC都不可能为正三角形，所以②不是型曲线。‎ 对于③，表示双曲线在第四象限的一支，如图（3）所示，显然，存在点B,C，使△ABC为正三角形，所以③满足；‎ 综上，型曲线的个数为2，故选C.‎ ‎7. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对种产品 征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年 ‎ 增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的 ‎ 管理费不少于14万元，则的最大值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【答案】C ‎3．(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)若，，，则下列结论正确的是（ D ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（8）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)已知函数若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎（8）(北京市东城区2012年4月高考一模文科)设集合，，函数 若，且， 则的取值范围是 ‎（A）(] （B） (] （C）() （D） [0，]‎ ‎【答案】C ‎ “函数y=f(x)在R上单调递减”的 ‎(A) 充分不必要条件 ‎(B) 必要不充分条件 ‎(C) 充要条件 ‎(D) 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎8．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)已知定义在R上的函数满足，当时，．若函数至少有6个零点，则a的取值范围是 ‎(A) (1，5)‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ 二、填空题：‎ ‎（11）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）已知函数那么的值为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎（13）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）对于函数，有如下三个命题：‎ ‎①是偶函数；‎ ‎②在区间上是减函数，在区间上是增函数；‎ ‎③在区间上是增函数．‎ 其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】：函数和的图像如图所示，由图像可知①②正确；函数，由复合函数的单调性法则，可知函数在区间上是减函数。所以③错。‎ ‎9. (北京市西城区2012年1月高三期末考试理科) 函数的定义域是______．‎ ‎【答案】‎ 是的导数），则商品价格的取值范围是 . ‎ ‎（14）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）已知函数则 ‎（ⅰ）= ；‎ ‎（ⅱ）给出下列三个命题：‎ 函数是偶函数；‎ 的值为 0 ；函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎14．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)定义在区间上的连续函数，如果，使得，则称为区间上的“中值点”．下列函数：①；②；③；④中，在区间上“中值点”多于一个的函数序号为____．（写出所有满足条件的函数的序号） ‎ ‎ 【答案】①④‎ ‎13. (2012年4月北京市房山区高三一模理科设是定义在上不为零的函数，对任意 ‎，都有，若，则数列的前项和的取值范围是 . ‎ 三、解答题：‎ ‎（18）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）（本小题共13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，.‎ ‎ ，． ………3分 ‎ 由于，，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 所以函数的单调递增区间是和. …………9分 ‎ 19. (北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)（本小题满分14分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若是的极值点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.‎ ‎② 当时，令，得，或.‎ 当时，与的情况如下：‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和. …8分 ‎ ………………10分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意.‎ ‎ ………………11分 ‎ (18) （2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎ 当时，，故的单调递增区间是 .‎ ‎ ………………………………………3分 当时，‎ ‎，随的变化情况如下：‎ 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎………………………………………5分 当时，‎ ‎，随的变化情况如下：‎ 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.‎ ‎………………………………………7分 ‎（Ⅱ）当时，的极大值等于. 理由如下：‎ ‎ 当时，无极大值.‎ ‎ ‎ 所以 .‎ 因为 ，‎ 所以 的极大值不可能等于. ………………………………………12分 综上所述，当时，的极大值等于.‎ ‎………………………………………13分 ‎18. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)（本题满分14分）‎ ‎（Ⅱ），设，‎ ‎（1）当时，，在上为单调减函数. ……5分 ‎（2）当时，方程=的判别式为，‎ 令, 解得（舍去）或.‎ ‎3°时，，令，‎ 方程有两个不相等的实数根 ‎，，‎ 当时，，，在上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当时，函数的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为. …………………………14分 ‎19. (北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)（本小题满分13分）‎ 如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为． ‎ ‎（Ⅰ）求面积以为自变量的函数式；‎ ‎（Ⅱ）若，其中为常数，且，求的最大值．‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为． ……1分 点的横坐标满足方程，解得，舍去． ……2分 所以． ……4分 ‎ 由点在第一象限，得．‎ 所以关于的函数式为 ，．…………5分 ‎ ① 若，即时，与的变化情况如下：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以，当时，取得最大值，且最大值为． …………11分 ‎② 若，即时，恒成立，‎ 所以，的最大值为． …………13分 ‎ 综上，时，的最大值为；时，的最大值为．‎ ‎ ‎ ‎（18）（共14分）‎ ‎（Ⅰ）解：. …………2分 ‎．‎ 在区间上，有；在区间上，有． ‎ 故在单调递减，在单调递增，‎ 故的最小值，符合题意； …………13分 ‎（18）(北京市东城区2012年4月高考一模文科)（本小题共13分）‎ 已知是函数的一个极值点． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当，时，证明：．‎ ‎（18）（共13分）‎ ‎（Ⅰ）解：， …………2分 由已知得，解得． …………4分 ‎ 当时，，在处取得极小值．‎ 所以. …………5分 所以. …………13分 ‎18. (2012年3月北京市丰台区高三一模文科)（本小题共13分）‎ 已知函数 ．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．‎ ‎18．解：（Ⅰ）‎ ‎． ……………………6分 因为a>0，所以不在区间(a，a2-3)内，‎ 要使函数在区间(a，a 2-3)上存在极值，只需． ……………………7分 所以 ‎ ……………………13分 ‎18．(2012年4月北京市房山区高三一模理科（本小题共13分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）当时，求函数的单调递减区间；‎ ‎（II）求函数的极值；‎ ‎（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．‎ ‎18．（本小题共13分）‎ ‎（II），‎ ‎（1）时，恒成立 在上单调递增，无极值. ……………………6分 ‎（2）时，由于 若在恰有两个零点，只需 即 ……………………13分 ‎（注明：如有其它解法，酌情给分）‎