数学理卷·2017届陕西省西安市第一中学高三高考押题卷（二）（2017

数学理卷·2017届陕西省西安市第一中学高三高考押题卷（二）（2017

理科数学（二）‎ 本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，集合，则集合＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可得，，解得，满足题意，所以集合＝．故选C．‎ ‎2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】设复数，，则，因为，所以，所以，所以可得，解得 ‎，所以，所以复数z在复平面内对应点在第四象限上．故选D．‎ ‎3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d，公式为．如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据公式得，，解得．故选D．‎ ‎4．已知函数，满足，则满足题意的的最小值为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可得，，因为，所以，或，解得或，又，显然．故选C．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a，则该三棱锥的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，‎ 该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为，因此此几何体的表面积．故选D．‎ ‎6．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可得．故选D．‎ ‎7．如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝，，BC＝2，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影为，则（ ）‎ A．－2 B． C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系如图，‎ ‎∵，BC＝2，∴，，，D的纵坐标为，‎ ‎∵点E为AB的中点，∴，若向量在向量上的投影为，设向量与向量的夹角为，所以，过D作DF⊥BC，垂足为F，在Rt△DFC中，，所以，所以，所以，，所以．‎ ‎8．已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝4，S4＝16，数列满足，则数列的前9和为（ ）‎ A．80 B．20 C．180 D．166‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d，因为，所以，两式相减为常数，所以数列也为等差数列．因为为等差数列，且S2＝4，S4＝16，所以，，所以等差数列的公差，所以前n项和公式为 ‎ ‎，所以．故选C．‎ ‎9．2015年12月16日“第三届世界互联大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ）‎ A．96种 B．100种 C．124种 D．150种 ‎【答案】D ‎【解析】∵三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，一种是按照1、1、3，另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有，当按照1、2、2来分时共有，根据分类计数原理知共有，故，选D．‎ ‎10．已知函数，有以下命题：‎ ‎①的定义域是；‎ ‎②的值域是R；‎ ‎③是奇函数；‎ ‎④的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，‎ 其中推断正确的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可以得到函数的定义域为R，值域为R，所以①不正确，②正确；由于，所以，所以，且，故此函数是非奇非偶函数，所以③不正确；当时，，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为；所以④正确．故选C．‎ ‎11．已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设P，则，，，，，则，因为，所以，所以，所以，所以．故选B．‎ ‎12．已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ）‎ A．HF//BE B．‎ C．∠MBN的余弦值为 D．五边形FBEGH的面积为 ‎【答案】C ‎【解析】因为面，且面与面MBN的交线为FH，与面MBN 的交线为BE，所以HF//BE，A正确；因为，且，所以，所以，所以，在Rt△中，，所以B正确；在Rt△中，E为棱的中点，所以为棱上的中点，所以，在Rt△中， ，所以；因为，在△中，，所以C错误；因为，所以，所以，根据题意可得，，，所以．故选C．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．为了确定学生的答卷时间，需要确定回答每道题所用的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据，如表所示：‎ 题数x（道）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 所需要时间y（分钟）‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ 由最小二乘法求得回归方程，则a的值为_________．‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，，，，所以．‎ ‎14．若的展开式中常数项为43，则 ．‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】根据题意可得的展开式的通项为，当r＝0时，的常数项为1，的常数项为3，而，令，解得r＝2，所以当r＝2时，的常数项为，综上，的展开式中常数项为＝43，整理得，解得n＝5，或n＝－4（舍去），则．‎ ‎15．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为，则判断框中应填入的条件是__________．‎ ‎【答案】（注：此题类似于等符合题意的答案均可，答案不唯一）‎ ‎【解析】当时，，当时，，当时，，当时，，当时， ，所以判断框中应填入的条件是．‎ ‎16．已知数列的前n项和为，满足，，则数列的通项公式________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，解得，‎ 当时，，‎ 解得，‎ 两边同时乘以得，‎ 由，所以，则，‎ 所以数列是一个等比数列，‎ 所以，，，……，，‎ 将上述式子相加，可得，‎ 而，所以．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．‎ ‎（1）求角A、B、C；‎ ‎（2）若，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积．‎ ‎【答案】（1），，；（2），．‎ ‎【解析】（1）因为A，B均为锐角，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ∵B为锐角，∴，‎ ‎∴，则A的大小为，·································3分 在△ABC中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，·········································6分 ‎∴．··········································7分 ‎（2）根据正弦定理，‎ 得，····················9分 ‎∴．··············12分 ‎18．（本小题满分12分）2017年3月29日，中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于2017年5月计划首飞．AG600飞机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测．根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情，其中森林灭火2起，水上救援3起，物资运输5起．现从10起灾情中任意选取3起，‎ ‎（1）求三种类型灾情中各取到1个的概率；‎ ‎（2）设X表示取到的森林灭火的数目，求X的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）令A表示事件“三种类型灾情中各取到1个”，‎ 则由古典概型的概率公式有；·······················6分 ‎（2）随机变量X的取值为：0，1，2，则··································7分 ‎，·································8分 ‎，································9分 ‎，·······························10分 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎．·······························12分 ‎19．（本小题满分12分）如图所示，直棱柱，底面是平行四边形， ，，是边的中点，是边上的动点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，‎ ‎（Ⅰ）求证：平面．‎ ‎（Ⅱ）求面与底面所成的二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（1）因为底面是平行四边形，所以，E是的中点，所以⊥．在直棱柱，因为⊥底面，⊂底面，所以⊥，因为∩＝，所以⊥平面B1BCC1，又BF⊂平面B1BCC1，所以⊥BF．···························4分 ‎（2）（Ⅰ）由（1）知⊥BF，‎ 在矩形中，因为＝1，， ∴．‎ ‎∴，，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面．··························8分 ‎（Ⅱ）以为原点，分别以，和所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建系：‎ 则，，，所以，，，‎ 设面的法向量为，‎ 则，解得，令，所以，‎ 所以，‎ 由已知可知底面，所以是底面的一个法向量，‎ 设面与底面所成的二面角为，则 ‎．‎ 所以面与底面所成的二面角的余弦值为． ···········12分 ‎20．（本小题满分12分）设椭圆C：的左顶点为，且椭圆C与直线相切．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得？请说明理由．‎ ‎【答案】（1），（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）根据题意可知，所以，······················1分 由椭圆C与直线相切，联立得，‎ 消去可得：，·························3分 ‎，即，‎ 解得：或3，‎ 所以椭圆的标准方程为．···································5分 ‎（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设两点的坐标分别为，，‎ 联立得，化简，‎ 所以 ‎，··········································7分 所以 ‎，‎ 所以当时，；·························10分 当过点的直线的斜率不存在时，直线即与轴重合，此时，所以，‎ 所以当时，；‎ 综上所述，当时，．···················12分 ‎21．（本小题满分12分）设函数，‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）．‎ ‎【解析】（1）要证明，即，又因为，‎ 也就是要证明，即，‎ 下面证明恒成立，····································1分 令，‎ ‎，令，得，·························3分 可知：在上递增，在上递减，‎ 所以，‎ 即证．···························································5分 ‎（2）当时，恒成立，‎ ‎，即，‎ 令，，‎ ‎，‎ 令，所以，··············6分 ‎①当时，‎ 恒成立，所以在上递增，‎ ‎，‎ 所以在上递增，‎ 所以，‎ 所以不符合 题意． ·········································8分 ‎②当时，，‎ 当时，，递增，‎ ‎，‎ 从而在上递增，‎ 所以，‎ 所以不符合题意．·····································10分 ‎③当时，，‎ 恒成立，所以在上递减，‎ ‎，‎ 所以在上递减，‎ 所以，‎ 所以符合题意．‎ 综上所述：的取值范围是．······························12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为 ‎，‎ ‎（1）求直线被圆所截得的弦长；‎ ‎（2）已知点，过的直线与圆所相交于不同的两点，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）将圆C的参数方程化为直角坐标系方程：，化为标准方程是，直线：．‎ 由，所以圆心，半径；‎ 所以圆心C到直线：的距离是；‎ 直线被圆C所截得的弦长为．5分 ‎（2）设直线的参数方程为，将其带入圆的方程，‎ 可得：，‎ 化简得：，‎ 所以，，‎ 所以．····································10分 ‎23．（本小题满分10分）已知点在圆C：上，‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）是否存在，，满足？如果存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）2；（2）存在．‎ ‎【解析】（1），‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 所以的最小值为2．································5分 ‎（2）存在．‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又，所以．‎ 从而有，‎ 因此存在，，满足．····················10分