2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：23

2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：23

（山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题） 15.已知圆台的上、下底面都是球 的截面，若圆台的高为 ，上、下底面的半径分别为 ， ， 则球 的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。 【详解】设球半径为 R，球心 O 到上表面距离为 x，则球心到下表面距离为 6-x,结合勾股定 理，建立等式 ，解得 ，所以半径 因而表面积 【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。 （山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（理科）试题） 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 主视图 左视图 俯视图 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。 【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图 该几何体体积 ，故选 C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。 （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题） 8.已知正六棱锥的底面边长为 ，体积为 ，则其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本道题先计算底面面积，进而得到该六棱锥的高，构造直角三角形 ONC，结合勾股定理， 建立关于球半径方程，计算，得到表面积，即可。 【详解】 底面为正六边形，度数为 ，故每个角为 ，所以 ， ，所以底面面积 所以体积 ，解得 结合题意可知 ，设球半径为 R，则 ， 对于三角形 OCN，结 合勾股定理，得到 ，所以面积为 ,故选 A。 【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。 （湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题） 5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2，四条用虚线表示的线段长度均相等， 则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果． 【详解】根据几何体的三视图： 该几何体是由一个边长为 2 正方体挖去一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥构成的不规则的几 何体． 所以：v ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的 运算能力和空间想象能力，属于基础题型． （辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学 期期末考试数学（文）试题） 10.已知四面体 ， ，则该四面体外 接球的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】[来源:学科网] 【分析】 取直角三角形 的斜边中点 ， 点即 的外心，球心 在其正上方，作出球心后，利 用余弦定理以及诱导公式列方程组，解方程求得外接球半径 . 【详解】设 为 的中点，由于三角形 为直角三角形，故其外心为 点，则球心在 点 的正上方，设球心为 ，作出图像如下图所示.其中 ， .由余弦定 理得 ， .设外接球的半径为 .在 三 角 形 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ①. 在 三 角 形 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ②. 在 三 角 形 中 ， 由 余 弦 定 理 可 知 ，由于 ，则 ，所以 ， 所以 ③.联立①②③可得 .故选 B. 【点睛】本小题主要考查空间几何体的外接球半径 的求法，考查利用余弦定理和勾股定理解三角形，属于中档题. （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题） 15.三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC= , 则三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积是________ 【答案】 【解析】 由题意可得 ，所以取 AB 中点 O,则 O 是三棱锥 S-ABC 的外接球的球心，半径为 1. 所以 S= 填 。 【点睛】由于 AB 正好是两个直角三角形的公共斜边，而斜边上的中线到三个顶点的距离相 等，所以外接球的球心正好是斜边 AB 的中点。所以在做立体几何时，需要注意应用平面几 何的知识，特别是直角三角形，等边三角形，等腰三角形的相关性质。 （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题） 6.如图，点 O 为正方体 ABCD-A'B'C'D'的中心，点 E 为面 B'BCC'的中心，点 F 为 B'C'的中 点，则空间四边形 D'OEF 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意知光线从上向下照射，得到 C， 光线从前向后照射，得到 A 光线从左向右照射得到 B 故选 D 点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是 为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同． （广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题） 7.已知底面半径为 1 的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为 的球面上，则该圆锥的体积 为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 由题意圆锥底面半径为 ，球的半径为 如图设 ， 则 ，圆锥的高 或 所以，圆锥的体积为 或 . 故选 D． （广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题） 5.如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 三视图还原为三棱锥 ，如图所示， 则三棱锥 的表面积为 . 故选 A. （江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 16.正四棱柱 中， ， ，设四棱柱的外接球的球心为 O ，动点 P在正方形 ABCD 的边长，射线 OP 交球 O 的表面点 M ，现点 P 从点 A 出发，沿着 运动一次，则点 M 经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，点 P 从点 A 出发，沿着 运动一次，则点 M 经过的路径是四段大圆 上的相等的弧，求出 ，利用弧长公式，即可得出结论． 【详解】解：由题意，点 P 从点 A 出发，沿着 运动一次，则点 M 经过的路 径是四段大圆上的相等的弧． 正四棱柱 中， ， ， 四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为 ， 四棱柱的外接球的半径为 ， ， 所在大圆，所对的弧长为 ， 点 M 经过的路径长为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查弧长公式，考查学生的计算能力，确定点 M 经过的路径是四段大圆上的 相等的弧是关键． （江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 7.如图, 网格纸上小正方形的边长为 ,粗线画出的是某四棱锥的三视图, 则该几何体的体积 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体为正方体的一部分，可在正方体中， 得到该几何体，如图所示，几何体 ，则该几何体的体积为 ，故选 B． 考点：几何体的三视图及几何体的体积的计算． （湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题） 8.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则 积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的 截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满 足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可。 【详解】 结合三视图，还原直观图，故 ，故选 B。 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图以及空间几何体体积计算方法，难度较小。 （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题） 16.在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，则此三棱锥的外 接球的表面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，在三棱锥 中，可得 ，进而求得三棱锥的外接球的半径， 利用球的表面积公式，即可求解。 【详解】由题意，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 可得 ， 故三棱锥 的外接球的半径 ， 则其表面积为 . 【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题， 注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时， 可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截 面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径。 （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题） 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组 合体，由体积公式，即可求解。 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是两个相同的半圆锥与一个半 圆柱的组合体，其体积为 ，故选 D。 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及组合体的体积的计算问题，其中 解答中根据几何体的三视图还原得到该组合体的结构特征是解答本题的关键，着重考查了空 间想象能力，以及推理与计算能力。 （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题） 16.已知球的半径为 4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为 ， 若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】 先设两圆的圆心为 ，球心为 ，公共弦为 ，中点为 ，由球心到这两个平面的距离相 等， 可得两圆 半径相等 ，然后 设两圆半 径为 r,由勾 股定理表 示出 ， ，再由 ，即可求出 r，从而可得结果. 【详解】设两圆的圆心为 ，球心为 ，公共弦为 ，中点为 ，因为球心到这两个平面 的距离相等，则 为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为 ， ， ，又 ， ， ， .这两个圆的半径之和 为 6. 【点睛】本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解. （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题） 6.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知该几何体为圆柱体的一半，结合表面积公式可得结果. 【详解】该几何体为一个圆柱体的一半，所以表面积 . 【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几 何体的表面、体积问题，属于基础题型. （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题） 7.我国古代《九章算术》将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。如图是一个鳖臑的三 视图，其中侧视图是等腰直角三角形，则该鳖臑的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长 方体的体对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积． 【详解】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面锐角顶点的 三棱锥；扩展为长方体，使其外接于球，它的对角线的长为球的直径： 长方体对角线的长为： 该三棱锥的外接球的表面积为： 。 故选：B 【点睛】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基 础题． （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题） 6.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三 视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍童的表 面积为（ ） A. B. 72 C. D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】 画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【详解】 三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为： ， 几何体的表面积为， ． 故选：A． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键． （河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 9.某几何体的三视图如图所示，其正视图是斜边长为 的等腰直角三角形，则该几何体的 体 积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半,由正视图是斜边长为 的等腰直角 三角形可知底面圆的半径为 1,圆柱的高为 2，所求几何体的体积为 . 故选：B. 【点睛】本题考查三视图，考查圆柱的体积公式，其中由三视图推出几何体的形状是关键. （河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 5.已知三棱锥 的各顶点都在以 为球心的球面上，球 的表面积为 ， ， ， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知 ，又 ， ，故三棱锥 的外接球和以 ， ， 为 长宽高的长方体的外接球相同，求解即可。 【详解】因为 ， ， ， ，所以 ，又 ， ， 故三棱锥 的外接球和以 ， ， 为长宽高的长方体的外接球相同，故外接球直 径为 ， 又因为外接球的表面积为 ，则 ，故 . 故答案为 C. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于基础题。 （广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题） 10.在长方体 中， ， 是 的中点，则三棱锥 外 接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设直角三角形 的外心即斜边中点为 ，连接 ，通过证明三角形 为直角三角形， 由此证得 到 的距离相等，即球心，从而求得球的半径并计算出球的表面积. 【 详 解 】 设 直 角 三 角 形 的 外 心 即 斜 边 中 点 为 ， 连 接 ， . 由 于 , , ， 故 ，所以 ，所以 ，即 是球的球心，且半径为 ，所以球的表面积为 ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球的表面积有关问题，属于基础题.有关球的内接、 外切的问题，解题关键在于找到球的球心并计算出球的半径.找球心的方法是先找到一个面 的外心，如等边三角形的外心，直角三角形的外心.本题中有两个有公共斜边的直角三角形， 外心即是斜边的中点处，这个点也即是球心. （广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题） 5.已知圆锥的底面半径是 ，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据侧面展开图计算出圆锥的母线长，由此计算出侧面积，再加上底面积得到圆锥的表面 积. 【详解】设圆锥母线长为 ，由于侧面展开图是半圆，故 ，故侧面积为 ，底面积为 ，所以表面积为 .故选 B. 【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面展开图有关计算，考查圆锥的表面积计算，属于基础题. （广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 4.如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图判断出几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，由此计算几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，正方体的体积为 ， 圆锥的体积为 ，故所求几何体的体积为 .故选 B. 【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查正方体的体积公式，考查圆锥的体积公式，属 于基础题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题） 11.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值 为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等 量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值. 【 详 解 】 由 三 视 图 知 ， 该 几 何 体 为 圆 锥 ， 设 底 面 的 半 径 为 r ， 母 线 的 长 为 ， 则 ，又 S 侧= （当且仅当 时“=”成立）.故选 C. 【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本 不等式求最值，属于基础题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题） 9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值 为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等 量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值. 【 详 解 】 由 三 视 图 知 ， 该 几 何 体 为 圆 锥 ， 设 底 面 的 半 径 为 r ， 母 线 的 长 为 ， 则 ，又 S 侧= （当且仅当 时“=”成立）.故选 C. 【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本 不等式求最值，属于基础题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题） 15.《九章算术》将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.如图所示， 网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某一阳马的正视图和侧视图，则该阳马中， 最长的棱的长度为___． 【答案】 【解析】 【分析】 根据三视图画出原几何体，再根据三视图中的数据，即可求解最长的棱的长度，得到答案. 【详解】由题意，根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，（如图所示） 其中侧棱 底面 ，底面 为长方形， 在该“阳马”点最长的棱长为 . 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，以及几何体的结构特征的应用，，其中解答 中根据空间几何体的三视图得到该几何体的直观图，以及相应的线面位置关系是解答本题的 关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题） 15.某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱外接球的表面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】 根据给定的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为 2，侧棱长为 的正三棱柱，得底面 正三角形的外接圆的半径为 ，根据球的性质，求得球的半径，再由球的表面积公式， 即可求解. 【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为 2，侧棱长为 的 正三棱柱，则底面正三角形的外接圆的半径为 ， 设外接球的半径为 ，则 ， 所以外接球的表面积为 . 【点睛】本题考查了几何体的三视图及球的表面积的计算，其中解答中，对于求解以三视图 为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线 面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力，属于中档试题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题） 11.已知圆锥的顶点为 ，母线长为 2，底面半径为 ，点 在底面圆周上，当四棱锥 体积最大时， （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆锥的高为 ， 相交于点 ， ，求得 的最大值，以及根据锥体的体 积公式，求得 ，令 ，令导数求解函数的单调性与最值，进 而可求解答案. 【详 解】 设圆 锥的 高为 ， 相交 于点 ， ，则 ， ， ， 当且仅当 ， 时， 取得最大值， 则 令 ，则 ，令 ，解得 所以 在 上单调递减，在 上单调递增 所以 ，则四棱锥 的体积的最大值为 ， 所以当四棱锥 体积最大时， . 【点睛】本题主要考查了组合体的性质，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，其 中解答中根据结合体的结构特征，求得几何体的体积，再利用导数求解函数的单调性与最值 是解答本题的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题 的能力. （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 12.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ， 若球 的表面积为 ，则三棱锥 的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意画出图形，设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由球 O 的表面积为 29π，可得 x2+y2=25， 写出侧面积，再由基本不等式求最值． 【详解】设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y， 由 4πR2=29 π，得 4R2=29．又 x2+y2+22=（2R）2，得 x2+y2=25．三棱锥 A-BCD 的侧面积： S=S △ ABD+S △ ACD+S △ ABC= 由 x2+y2≥2xy，得 xy≤ 当且仅当 x=y= 时取等号， 由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得 x+y≤5 ,当且仅当 x=y= 时取等号， ∴S≤5 + = 当且仅当 x=y= 时取等号. ∴三棱锥 A-BCD 的侧面积的最大值为 .故选 A. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想 象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法， 是中档题． （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 3.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网 格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果． 【详解】根据几何体的三视图得知：该几何体是由一个底面以 3 和 4 为直角边的直角三角形 和高为 3 的四面体构成，所以：S= ,故选 D. 【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生 的运算能力和转化能力，属于基础题型． [来源:学,科,网] （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题） 16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球 的一个内接四面体 中， ， 过球心 ，若该四面体的体积为 1，且 ，则球 的表面积 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 本道题设 ,用 x 表示球半径，然后结合函数的单调性，判断球表面最小值， 即可。 【详解】设 , 结合体积为 1 时, ,故 所以 ,所以 ,结合 ,建立方程,得到 ,令 ,结合二次函数的性质可知 在 递减, 递增 令 ,结合复合函数的单调性可知, 在 递增,在 递减,而 始 终递减,故 在 递减,在 递增,故当 , 取到最小值为 38 所以面积最小值为 【点睛】本道题考查了函数的性质计算最值，难度较大。 （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题） 5.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网 格纸上小正方形的边长 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ） A. 6 B. 21 C. 27 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】 结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为 已知 ,则该四面体 ,故选 C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等. （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题） 14.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 的等腰三角形，侧视图是半径为 的半 圆，则该几何体的体积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 该几何体是两个同底的半圆锥，底面半圆的半径为 ，高为 ，求出体积即可。 【详解】由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，底面半圆的半径为 ，高为 ，所以该几何体的体积是 . 【点睛】本题考查了组合体的三视图，考查了圆锥的体积求法，属于基础题。 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题） 11.在三棱锥 中， 和 都是边长为 的等边三角形，且平面 平面 ， 则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 取 的中点 ，连结 与 ，在 上取点 I 使得 ，在 上取点 使得 ， 则点 是三角形 的外接圆圆心，点 是三角形 的外接圆圆心，分别过点 、 作平面 和 的垂线 和 交于 点，则点 是三棱锥 的外接球球心，外接球半径为 ，进而可以得到答案。 【详解】 取 的中点 ，连结 与 ，则 ，且 ， 在 上取点 I 使得 ，在 上取点 使得 ，则点 是三角形 的外接圆圆心， 点 是三角形 的外接圆圆心，则 ， 分别过点 、 作平面 和 的垂线 和 交于 点，则点 是三棱锥 的外接球 球心， ， ，故外接球半径为 ，则三棱锥 外接球的表面积 4 . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，考查了球的表面积，属于中档题。 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题） 15.我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个 等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体 是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为 ，高皆为 的椭半球体和已被挖去 了圆锥体的圆柱放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离 处的平面截这两个 几何体，可横截得到 及 两截面.可以证明 总成立.据此，半短轴长为 1，半长轴 长为 3 的椭球体的体积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知条件推导出椭球体的体积公式，然后代入求出结果 【详解】 总成立[来源:学+科+网] 则半椭球体的体积为： 椭球体的体积 椭球体半短轴长为 1，半长轴长为 3 即 椭球体的体积 故答案为 【点睛】本题考查了求椭球体体积，通过已知条件得到椭球体体积公式是解题关键，然后再 代入相关数值求出结果。 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题） 9.在四面体 中， ， ， ，平面 平面 ，则该 四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 取 中点 ，连接 ，由已知条件求得 为等腰直角三角形， 为等边三角形， 确定四面体外接球的球心位置，然后计算出外接球的表面积 【详解】 取 AC 中点 D，连接 SD,BD ， ， 为等腰直角三角形， 则 ， 则 为等边三角形， 为 AC 的中点 ， , 取 外心 O，连接 则有 平面 平面 ，且相交于边 AC，且 ， 由面面垂直的性质可得 中 故 O 点即为四面体 S-ABC 外接球球心，半径为 ， 则外接球的表面积为 故选 D 【点睛】本题考查了四面体外接球表面积问题，解题关键是确定外接球球心的位置，然后计 算出半径，需要一定的空间想象能力，属于中档题 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科） 试题） 7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图均由三角形和半圆组成，则该几何体 的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图还原几何体，然后再求出几何体体积 【详解】由三视图可得几何体是由半球体和四棱锥组成 ， ， 则几何体的体积为 故选 A 【点睛】本题考查了还原几何体并求几何体体积，由三视图还原几何体是关键，并能熟练运 用体积公式计算出结果 （安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题） 16.已知三棱锥 ，且 均为等边三角形，二面角 的平面角 为 60°，则三棱锥外接球的表面积是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】 取 的中点为 ，连接 ， ，可知 ，在线段 上取点 ，使得 ，则 底面三角形的外接圆圆心为 ，在线段 上取中点 ，连结 ，过 点作 的垂线交 于 点， 则外接球的球心为 点，利用 ，可以求出外接球的半径，进而得到答案。 【详解】取 的中点为 ，连接 ， ，由于 均为等边三角形， 可知 ，则 为正三角形，边长 ，且所求外接球球心在平面 上， 在线段 上取点 ，使得 ，则底面三角形的外接圆圆心为 ， 在线段 上取中点 ，连结 ，过 点作 的垂线交 于 点，则外接球的球心为 点， 在三角形 中， ， 则外接球的半径 ， 三棱锥外接球的表面积是 . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题。 （安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题） 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知该几何体是高为 4 的三棱锥，由俯视图的特征及余弦定理可以求出底面三角 形的边长，从而求出三棱锥的底面积，进而可以求出三棱锥的体积。 【详解】由题意知该几何体是高为 4 的三棱锥， 底面三角形三条边分别为 6，14 和 ，则 ，解得 ， 则底面三角形的面积为 ， 故三棱锥的体积为 . 故答案为 B. 【点睛】本题考查了三视图问题，三棱锥的体积，及解三角形知识，属于中档题。 （辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题） 15.已知 ， ， 是半径为 2 的球 表面上三点，若 ， ， ，则三棱锥 的体积为_______． 【答案】 【解析】 分析：由题中条件可得 为直角三角形，取 BC 中点为 D，则 D 为 的外心，由 面 ，求解即可. 详解：如图所示： 中，由正弦定理可得： ，解得 ， 由 ，所以 ，有 . 所以 为直角三角形. 取 BC 中点为 D，则 D 为 的外心. 为球心，则有 面 . 三棱锥 的体积为 . 故答案为： . 点睛：本题主要考查了球的内接三角形的性质，即球心和内心连线与三点所成的截面垂直， 属于中档题. （辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题） 4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：由三视图可知该组合体为 个球和半个圆柱，计算各面面积求和即可. 详解：由三视图易知，该组合体为：上面是 个球，下面是半个圆柱. 表面积为： . 故选 B. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图 问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直 观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注 意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题， 先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. （河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题） 9..一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：由三视图可知还几何体是以 ABCD 为底面的四棱锥 ，由此可求其外接球的 半径，进而得到它的外接球的表面积. 详解： 由三视图可知还几何体是以 为底面的四棱锥 ，过 作 ，垂足为 ， 易证 面 ，设其外接球半径为 ，底面 ABCD 是正方形外接圆 ，．设圆心与球心的距离为 ，则 由此可得， 故其外接球的表面积 故选 B. 点睛：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培 养． （河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题） 10.已知直三棱柱 的底面为等边三角形，且底面积为 ，体积为 ，点 ， 分别 为线段 ， 上的动点，若直线 平面 ，点 为线段 的中点，则点 的 轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图像可知点 M 的轨迹为线段，两个端点分别为 和 的中点，即为等边三角形的高线， 由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即 M 的轨迹. 【详解】由题意可作如下图像： [来源:学科网 ZXXK] 因为直线 PQ 与平面 无交点所以与此平面平行，所以 ， 当点 P、点 Q 分别在点 、C 处时，此时中点 M 为 中点， 当点 P、点 Q 分别在点 、 处时，此时中点 M 为 中点， 若 D、E、F 分别为三条棱的中点，则点 M 的轨迹为等边三角形 的中线， 设底面边长为 x，由底面面积可得： ，解得 ， 所以轨迹长度为 . 故选 D. 【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两 点之间的线段即为所求，注意计算的准确性. （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题） 7.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体 的表面积为（ ） A. 168 B. 98 C. 108 D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】 由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为 4，底面是等腰三角形，三角形的底边 边长为 6，高为 4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得 答案． 【详解】由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为 4， 底面是等腰三角形，三角形的底边边长为 6，高为 4， ∴腰长为 5，∴底面三角形的周长为 5+5+6＝16， ∴几何体的表面积 S＝2× ×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选：D． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的 形状及数据所对应的几何量. （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题） 15.已知长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，AB＝3cm，BC＝2cm，AA1＝2cm，E 为 CC1 的中点，则一质 点自点 A 出发，沿着长方体的表面到达点 E 的最短路线的长为____cm 【答案】 【解析】 【分析】 首先将长方体沿 C1C, C1B1, BC 剪开，使面 ABB1A1 和面 BCC1B1 在同一个平面内，连接 AE 或将长方体沿 C1D1, DD1, C1C 剪开,使面 ABCD 和面 CDD1C1 在同一个平面内，连接 AE,或将 长方体沿 B1C1, CC1, BB1 剪开，使面 ABCD 和面 BCC1B1 在同一个平面内，连接 AE, 利用勾 股定理求 AE 的长，比较即可求得需要爬行的最短路程． 【详解】将长方体沿 C1C, C1B1, BC 剪开，使面 ABB1A1 和面 BCC1B1 在同一个平面内，连接 AE,如图 在 Rt△ACE 中，AC＝5，CE＝1,由勾股定理，得 AE2＝AC2+CE2＝26,则 AE＝ ． 将长方体沿 C1D1, DD1, C1C 剪开,使面使面 ABCD 和面 CDD1C1 在同一个平面内，连接 AE, 如图, 在 Rt△ABE 中，AB＝3，BE＝3, 由勾股定理，得 AE2＝AB2+BE2＝32+32＝ ． 将长方体沿 B1C1, CC1, BB1 剪开，使面 ABCD 和面 BCC1B1 在同一个平面内，连接 AE, 在 Rt△AB1E 中，AB1＝5，B1E＝1, 由勾股定理，得 AE2＝AB12+B1E2＝52+12＝ ，则 AE ＝ 故沿着长方体的表面到达点 E 的最短路线的长为 cm 故答案为： 【点睛】此题考查最短路径问题．解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的 知识求解． （湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题） 16.某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边 长为 的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为 ，则该几何体的体积为__________． 【答案】 【解析】 分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，由此求出该几何体的外接球的半径， 进而求出高 ，即可求出它的体积． 详解： 根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为 ，即 则球心 到底面等边 得中心 的距离 故三棱锥的高 故三棱锥的体积 [来源:Z&xx&k.Com] 即答案为 . 点睛：本题考查了三棱锥的三视图、椎体的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 （吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题） 7.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径为 1，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 该几何体为一棱长为 6 的正方体掏掉一个棱长为 2 的小正方体，再放置进去一个半径为 1 的球，所以体积为 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平 齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的 长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图 画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、 观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再 根据三视图 进行调整. （山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题） 8.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的表面积为( ) A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱 的底面半径为 1，高为 2，圆锥底面半径均为 3，高均为 4，则组合体的表面积可求． 【详解】由三视图还原原几何体如图， 该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥， 圆柱的底面半径为 1，高为 2，圆锥底面半径均为 3，高均为 4， 则其表面积：S＝ π ×32+ π ×3×5+2 π ×1×2＝28 π ． 故选：C． 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． （河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据三视图作出原几何体（四棱锥 ）的直观图如下：[来源:学科网] 可计算 ，故该几何体的最大边长为 . 点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平 齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的 长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图 画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、 观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图 进行调整. （江苏省南通市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试数学（文）） 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A. 24 B. 28 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图知该几何体是正方体和正四棱锥的组合体，结合图中数据求出该几何体的表面 积． 【详解】根据三视图知，该几何体是下部为正方体，上部为正四棱锥的组合体， 画出直观图如图所示； 则该几何体的表面积是 ． 故选： C ． 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积应用问题，准确还原图形，熟记表面积公 式是关键，基础题． （江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题） 9.已知下图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的棱的长度中，最大的 是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由三视图可知该几何体是一个四棱锥，分别求出其各棱长，即可确定结果. 【详解】 由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示， 其中 ， ； ， 所以最长的棱的长度为 . 故选 B 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，根据三视图还原几何体即可，属于常考题型. （江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题） 16.已知四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ，底面 是等腰梯 形， 且满足 ， ，则球 的表面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意求出 ，进而确定底面外接圆圆心和半径，再由 平面 ，求出球的半径， 最后即可求出结果. 【详解】 因为底面 是等腰梯形， 且满足 ， 所以 ， 解得 ，故 ，即 ， 又因为底面 是等腰梯形，故四边形 的外接圆直径为 ， 设 的中点为 ，球的半径为 ，因为 平面 , ，所以 ， 所以 ，因此球 的表面积是 . 故答案为 【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，解题的关键在于，掌握球心与截面圆圆心的连 线垂直于截面，属于常考题型. （湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题） 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面 上取三点 ，其中 为 侧面 的对角线上一点(与对角线端点不重合)， 为侧面 的一条对角线的两个端点.若以 线段 为直径的圆过点 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据长方体的三视图知该长方体的底面是正方形，高为 m，画出图形结合图形求出 AB 的最 小值为 4，利用直角三角形求出 m 的最小值． 【详解】解：根据长方体的三视图知，该长方体的底面是边长为 2 的正方形，且高为 m，如 图所示； 由题意知，AB 为圆 O 的直径，则 AB 的最小值为 2OP＝4， 此时△ABC 为直角三角形，m 的最小值为 2 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了空间思维及转化能力，考查三视图知识，属于基础题。 （广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题） 15.已知三棱锥 的体积为 2， 是等腰直角三角形，其斜边 ，且三棱锥 的外接球的球心 O 恰好是 AD 的中点，则球 O 的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 通过球的性质可以确定 与 中点 的连线 平面 ，从而得到 与几何体高的关系。 求解出 后，再利用勾股定理求出球的半径，即可求得结果。 【详解】由题意可得几何体如图所示： 为直角三角形且斜边为 中点 为 的外接圆圆心 由外接球性质可知： 平面 又 为 中点，所以 到底面 的距离为 ，又 即球 的半径为 本题正确结果： 【点睛】本题主要考察了三棱锥外接球问题。关键在于利用外接球球心与三角形外接圆圆心 连线与三角形所在平面垂直的关系，推导出球心到底面的距离，将问题转化为求解三棱锥的 高的问题。 （安徽省淮南市 2019 届高三第一次模拟考试数学（文）试题） 4.某三棱锥的三视图如图所示，其侧 左 视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以以俯 视图为底面的三棱柱的外接球，进而得到答案． 【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球， 由底面三边长为 3，4，5，故底面外接圆半径 ， 球心到底面的距离 ， 故球半径 ， 故外接球的表面积 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，空间几何体的三视图，难度中档． （安徽省淮南市 2019 届高三第一次模拟考试数学（文）试题） 8.某圆锥的侧面展开图是面积为 ，圆心角为 的扇形，则该圆锥的母线与底面所成的角的 余弦值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知计算出圆锥的母线长和底面半径，可得答案． 【详解】 圆锥的侧面展开图是面积为 ，圆心角为 的扇形， 则圆锥的母线 l 满足： 故圆锥的母线长为 3， 又由 可得圆锥的底面半径为 ， 故该圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 ．故选 B. 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征，是解答的关键． （广东省东莞市 2019 届高三上学期期末调研测试数学理试题） 6.已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为 （ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图可得该几何体是棱长为 1 的正方体挖去底面半径为 1 的 圆柱，由正方体体积减去 圆柱体积的 即可得到答案. 【详解】由已知三视图得到几何体是棱长为 1 的正方体挖去底面半径为 1 的 圆柱，正方体 的棱长为 1， 圆柱的体积为 ，所以几何体体积为 ； 故选：A． 【点睛】本题考查三视图还原几何体，考查柱体体积公式的计算，考查空间想象能力和计算 能力. （广东省东莞市 2019 届高三上学期期末调研测试数学理试题） 12.圆锥 （其中 为顶点， 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 ，则圆锥 与它外接 球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径 r 的关系，从而得到圆锥的高与 r 关系，计算圆锥 体积，由截面图得到外接球的半径 R 与 r 间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案. 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r,圆锥母线长为 l，则侧面积为 ， 侧面积与底面积的比为 ,则母线 l=2r,圆锥的高为 h= , 则圆锥的体积为 , 设外接球的球心为 O, 半径为 R, 截面图如图，则 OB=OS=R,OD=h-R= ,BD=r,在直角三角形 BOD 中，由勾股定理得 , 即 ,展开整理得 R= 所以外接球的体积为 , 故所求体积比为 故选： A 【点睛】本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题. （江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷） 7.如图所示，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，若此几何体的顶点都在同一 球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可得，该几何体是三棱锥，其外接球等同于棱长为 2 的正方体的外接球，进而得到 答案． 【详解】由三视图可得，该几何体是三棱锥，其外接球等同于棱长为 2 的正方体的外接球， 故球半径 R 满足 2R＝ = ，故球的表面积 S＝4πR2＝12π， 故选：C． 【点睛】本题考查了球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状是关键， 属于基础题． （陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题） 15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 【答案】 【解析】 试题分析：几何体为一个半圆柱，半圆半径为 1，圆柱高为 2，所以体积为 考点：三视图 【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求 解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方 法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件 求解． （陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题） 9.棱长为 a 的正方体 ，过上底面两邻边中点和下底面中心作截面，则截面图形的周长等于 （ ） A. B. C. D. b 【答案】C 【解析】 如图所示，截面是等腰梯形 上底为 下底为 腰 周长 故答案选 （广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题） 8.某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为 的等腰三角形，侧视图是直角边长 为 1 的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 三视图复原几何体是圆锥的一部分，根据数据计算即可． 【详解】 由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为 的等腰三角形， 侧视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，圆锥的高为 1 ，底面半径为 1 ，俯视图是扇形， 圆心角为： ， 几何体的体积为： ． 故选： A ． 【点睛】本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力、逻辑思维能力，注意解题方 法的积累，属于基础题． （广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题） 10.已知 是球 的球面上四个不同的点，若 ，且平面 平面 ，则球 的表面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】如图， 取 BC 中点 G ，连接 AG ， DG ，则 ， ， 分别取 与 的外心 E ， F ，分别过 E ， F 作平面 ABC 与平面 DBC 的垂线，相交于 O ， 则 O 为四面体 的球心， 由 ，得正方形 OEGF 的边长为 ，则 ， 四面体 的外接球的半径 ， 球 O 的表面积为 ． 故选： A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． （广东省江门市 2019 届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题） 6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若 ，且这个四棱锥的体积 ， 则这个四棱锥的侧面积 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积. 【详解】根据三视图得到原图： 底面边长为 ，高为 h，体积为 侧面积为 4 个三角形， ， 根据题目得到 故侧面积为 32. 故答案为：B. 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高 平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图 的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视 图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图； 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三 视图进行调整. （广东省江门市 2019 届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题） 11. 是球 内接正四面体，若球 的半径为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到 ，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果. 【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是 1，OA=OB=OC=OD，故得到三角 形 OAB 和 三 角 形 OBC ， OAC ， OAD 是 全 等 的 三 角 形 ， 则 设四棱锥的边长为 a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的 本题中半径为 1，棱长为 ，三角形 OAB 的顶角的余弦值为 . 故答案为：B. 【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等， 各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半 径是高的四分之一，对棱互相垂直. （广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题） 16.在三棱锥 中， 平面 ，且 ， ， ，当三棱锥 的体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 设 ，则 ，利用正弦定理表示 的外接圆的半径为 ，再利用勾股定理 表示球的半径，进而表示三棱锥 的体积，利用导数知识求最值，从而得到 AB 的长度. 【详解】如图，点 为 的外接圆的圆心，点 为三棱锥的外接球的球心，点 为线段 的中点，由球的性质知四边形 是矩形，设 ，则 ， ， ， 设 的外接圆的半径为 ，三棱锥的外接球的半径为 ，[来源:学.科.网] 中， ， ， ， 中， ，即 . 三棱锥 的体积 . 易得 在 内单调递增，在 内单调递减. 所以，当 时， 取得最大值.此时 . 所以，三棱锥的外接球的表面积为 . 故答案为： 【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，锥体体积的最值，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想， 是中档题． （广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题） 9.如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 上下两部分的体积比为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先还原几何体，再根据柱体体积公式求体积比. 【详解】几何体上部分为一个三棱柱（底面为高为 1，底为 4 的等腰三角形，柱体高为 4）， 下部分为一个长方体（长宽高分别为 4，3，4），因此几何体上下两部分的体积比为 ，选 C. 【点睛】若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据 条件求解体积. （广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题） 11.已知圆锥的顶点为 ，底面圆周上的两点 、 满足 为等边三角形，且面积为 ，又 知 SA 与圆锥底面所成的角为 45°，则圆锥的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求 的边长，即圆锥的母线长，再根据 SA 与圆锥底面所成的角求底面半径，最后根据 圆锥侧面积以及底面积公式求结果. 【详解】设圆锥的母线长为 由题意得 因为 SA 与圆锥底面所成的角为 45°，所以圆锥的底面半径为 因此圆锥的表面积为 ，选 C. 【点睛】本题考查圆锥的母线长以及圆锥侧面积，考查基本分析求解能力.属基本题. （广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题） 5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几 何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 72 B. 64 C. 48 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知该几何体是一个底面边长为 4 的正方形，高为 5 的正四棱柱，挖去一个底面边 长为 4，高为 3 的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。 【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为 4 的正方形，高为 5 的正 四棱柱，挖去一个底面边长为 4，高为 3 的正四棱锥， 所以几何体的体积为 ，故选 B。 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形 状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在 三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定 直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。 （广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月）调研考试数学理试题） 11.已知 为球 的球面上的三个定点， ， ， 为球 的球面上的动点， 记三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，若 的最大值为 3，则球 的表面 积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 的外接圆圆心为 ，其半径为 ，球 的半径为 ，且 ，根据体积比求得 ， 利用球的性质，得 ，再由三角形的性质，求得 ，利用球的表面积公式，即可求 解。 【详解】由题意，设 的外接圆圆心为 ，其半径为 ，球 的半径为 ，且 依题意可知 ，即 ，显然 ，故 ， 又由 ，故 ， ∴球 的表面积为 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中根据几何体 的结构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力， 属于基础题。 （河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题） 12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知，其对应的几何体为三棱锥，建立空间直角坐标系，结合球的几何性质确定球 心坐标，然后求解球的表面积即可. 【详解】如图所示，在长方体 中， ， 点 分别为其所在棱的中点， 则三视图对应的几何体为三棱锥 ， 很明显 是以 为斜边的直角三角形，且当 平面 ， 故外接球的球心 在直线 上， 以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，设 ，由 有： ，解得： , 设外接球半径为 ，则： ， 外接球的表面积 . 本题选择 C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确 切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点 均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. （河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题） 5.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为 的等腰 ，则这个多面体最长一条棱长 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为 的等腰 ，一条 侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为 ，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点 与与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是 .故选 B． 考点：由三视图还原几何体． （河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题） 11.已知正 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，点 E 是线 段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设等边三角形的中心为 ，作出图像.根据题意可知，当截面直径为 时，截面的面积最小. 利用勾股定理求得 的长，由此计算出最小的截面面积. 【详解】设等边三角形的中心为 ，作出图像如下图所示. 根据题意可知，当截面直径为 时，截面的面积最小. , .所以最小截面面积为 .故选 C. 【点睛】本小题主要考查有关球的内接多边形问题.这类问题的主要解法是画出图像后，构 造直角三角形，利用勾股定理来求.属于中档题. （山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题） 8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知，该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体，由圆锥的体积公 式计算即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的几何体，且大圆 锥与被挖去的小圆锥共底面，大圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，被挖去的 小 圆 锥 的 底 面 圆 半 径 为 ， 高 为 ， 所 以 该 几 何 体 的 体 积 为 ， 故选:B 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查圆锥体积公式的计算，属于常考题型. （河北省唐山市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题） 12.一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一 半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半，而物体新位置高度 的最大值为体对角线，进而可得解. 【详解】正方体的对角线长为 ，故当正方体旋转的新位置的最大高度为 ， 又水的体积是正方体体积的一半， ∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为 ， 故选 C． 【点睛】本题考查了几何体的体积计算，理解液面高度为物体新位置高度的一半是解题的关 键，属于基础题． （山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为 π＋1＋2π×2＋ π ＝ ＋1. 故答案为; C. （陕西省汉中市重点中学 2019 届高三下学期 3 月联考数学（文）试题） 5.若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 由题可知，r=h= ，则 ， ∴ 侧面积为 故选：A 【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面 积 的应用． （西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学） 10.已知 ， ， 在球 的球面上， ， ， ，直线 与截面 所成的 角为 ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件，分析得到 BC 即为 A，B，C 所在平面截球得到的圆的直径，根据直线 AO 与平 面 ABC 成 30°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案． 【详解】在 中，由余弦定理得到 求得 ， 由勾股定理得 为直角，∴ 中点 即 所在小圆的圆心， ∴ 平面 ，且小圆半径为 1， 又直线 与截面 所成的角为 ， ∴在直角三角形 中，球的半径为 , ∴球 的表面积为 . 故应选 D. 【点睛】本题考查了球的截面问题，考查了球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半 径是解答本题的关键，属于中档题． （江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第 一次联考数学（理）试题） 10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体的表面积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图还原该几何体得到三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，结合正弦定理求出三棱 锥 A﹣BCD 的四个面的面积，求和即可． 【详解】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥 A﹣BCD，将该三棱锥是放在棱长为 4 的 正方体中， A 是棱的中点，在△ADC 中，AC＝2 ，且 CD ∴AD= ， 2 =4 ； 在△ABD 中，AB＝2 ，BD=4 ， 由余弦定理得， cos∠DAB ，∴sin∠DAB ， ∴ 2 , 又 与 均为边长为 4 的正方形面积的一半，即为 8， ∴三棱锥 A﹣BCD 的表面积为 12+2 = ， 故选：A． 【点睛】本题考查了空间几何体的三视图 ，考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，解 题关键是由三视图还原为几何体，是中档题． （江西省临川一中，南昌二中 ，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第 一次联考数学（理）试题） 14.在平面几何中，若正方形 的内切圆面积为 外接圆面积为 则 ，推广到立体 几何中，若正方体 的内切球体积为 外接球体积为 ，则 _______． 【答案】 【解析】[来源:学.科.网] 【分析】 由面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果。 【详解】正方形 的内切圆半径为 外接圆半径为 ，半径比 ，面积比为半径比 的平方 ，类比正方正方体 内切球半径为 外接球半径为 ，径比 ，所以体积比是半径比的立方 = ，填 。 【点睛】立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可 得结果。 （晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学(理)试题） 9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 首先由三视图还原所给的几何体为三棱锥，然后结合体积公式求解其体积即可. 【详解】据三视图分析知，该几何体是如图所示的棱长为 2 的正方体被平面解得的三棱锥 ， 且 是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积 ． 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状 以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体 积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． （河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题） 9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为 ，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知三视图的直观图如图所示：由长方体截取三棱锥 A-BCD 所得， AB= AC= ,BC= = ,∴ 几何体中最长的棱长为 BC= ∴该几何体的体积 V= = , 故选：A. 【点睛】本题考查三视图，三棱锥体积，是基础题. （河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题） 11.在平面四 边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2 ，现沿对角线 AC 折起,使得平 面 DAC 平面 ABC，则此时得到的三棱锥 D-ABC 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由平面 DAC 平面 ABC，知 的外心即为球心，求 的外接圆半径即可解答. 【详解】由题知 为等腰直角三角形，设 边中点为 的外心为 ，连接 ，所以 ， 又平面 DAC 平面 ABC，∴ ∴O 为外接球的球心， 由余弦定理得 ∴2R= = ,R= 所以三棱锥 D-ABC 外接球的表面积为 = 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键. （山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题） 15.已知直三棱柱 外接球的表面积为 ， ，若 外接圆的圆心 在 AC 上，半径 ，则直三棱柱 的体积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】 由题意可得，直三棱柱 的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长， 代入体积公式得答案． 【详解】解：如图， 外接圆的圆心 在 AC 上， 为 AC 的中点，且 是以 为直角的直角三角形， 由半径 ，得 ，又 ， ． 把直三棱柱 补形为长方体，设 ， 则其外接球的半径 ． 又直三棱柱 外接球的表面积为 ， ，即 ． ，解得 ． 直三棱柱 的体积为 ． 故答案为：3． 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的 问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心 到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组 成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． （山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题） 7. 九章算术 中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” 已知某“堑堵”的三视 图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为 A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面 积公式求出几何体的表面积． 【详解】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱 ， 底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 、斜边是 2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2， 几何体的表面积 ， 故选：D． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查 空间想象能力． （河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题） 6.某三棱锥 的三视图如图所示， 在三视图中所对应的点分别为 ，则二 面角 的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三视图还原该几何体，作 ，垂足为 ，连接 ，易知 就是二面角 的 平面角. 【详解】 三棱锥 如图所示，作 ，垂足为 ，连接 ， 易知 就是二面角 的平面角. 因为 平面 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ，从而 . 故选：D 【点睛】本题考查三视图以及二面角的余弦值，考察空间想象能力和运算求解能力. （河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题） 9.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如 图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏 下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 10 分钟.那么经过 5 分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是 （假定沙堆的底面是水平的）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体积比. 【详解】 由于时间刚好是 5 分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的， 所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所 以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分， 所以 ，所以 ，所以 . 故选：D 【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力. （河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题） 9.已知某几何体的三视图如图所示 俯视图中曲线为四分之一圆弧 ，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 4【答案】D 【解析】 【分析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体的表面公式，即可 得到答案. 【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体， 底面面积为 ， 底面周长为 ，柱体的高为 1， 所以该柱体的表面积为 . 【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何 体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可 见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由 三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积 公式求解. （河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题） 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 10 B. 12 C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据几何体三视图，可知是正方体与正四棱锥的组合体，然后求出正方体和正四棱锥的体 积相加可得结果. 【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是正方体与正四棱锥的组合体， 正方体的边长为 2，正四棱锥的高为 3，底面是边长为 2 的正方形 所以该几何体的体积 故选 B 【点睛】本题主要考查了三视图和体积的求法，解题的关键是通过三视图能够还原出几何体 的结构，属于基础题. （安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题） 16.已知点 ， ， 在半径为 2 的球 的球面上，且 ， ， 两两所成的角相等，则当三 棱锥 的体积最大时，平面 截球 所得的截面圆的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 易知三棱锥 为正三棱锥，通过勾股定理用 表示出直角三角形 三边，再利用体 积求出最大值时 的取值，最终确定截面圆半径. 【详解】由题意知：三棱锥 为正三棱锥，如图所示： 为 中点， 平面 ，且 为 的重心 设 ，则 令 令 ，解得： 且 时， 单调递增； 时， 单调递减 时三棱锥 体积最大，此时 平面 截球 所得的截面圆的面积 本题正确结果： 【点睛】本题考查空间几何体体积的最值类问题，最值类问题解题关键在于能够建立起关于 某变量的函数关系式，通过函数求最值得方式得到所求关系. （安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题） 6.某圆锥的正视图是腰长为 2 的等腰三角形，且母线与底面所成的角为 ，则其侧面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 母线与底面所成角即为圆锥正视图中腰与底所成角，由此可得底面半径，进而求得侧面积. 【详解】由题意得：母线与底面所成角即为正视图腰与底所成角 圆锥的母线长 ，且正视图为等腰三角形 底面圆半径 侧面积 本题正确选项： 【点睛】本题考查旋转体中的圆锥侧面积问题，属于基础题. （陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题） 11.所有棱长均为 的正四棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的 表面积公式求解即可. 【详解】如图， 设正四棱锥的底面中心为 O，则在 中， ，所以 ， 在 中， ， 所以正四棱锥的各个顶点到它的底面中心的距离都为 ， 所以正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径为 ， 所以球的表面积 ， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的有关问题，涉及到的知识点有正四棱锥的外接 球，球的表面积公式，在解题的过程中，正确找出球心的位置是解题的关键. （广西南宁市、玉林市 、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题） 12.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 几何体复原后为正方体的内接四面体，其外接球即正方体外接球. 【详解 】几何体复原后如图所示: 四面体 ABCD 的外接球即正方体的外接球，外接球的直径 2R= ∴此几何体的外接球表面积为 故选：B 【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化 为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b， PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2＝a2＋b2＋c2 求解． （广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题） 7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表 面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图知该几何体是半圆锥体，结合图中数据求出该锥体的表面积． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是半圆锥体，如图所示； 且底面圆的半径为 1，高为 2，母线长为 ； 所以该锥体的表面积为：S= π•12+ π•1• + •2•2= π+2． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题． （江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题） 11.如图，单位正方体 的对角面 上存在一动点 ，过点 作垂直于平 面 的直线，与正方体表面相交于 两点.则 的面积最大值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接 ，则 当 M,N 在正方体侧面上（非棱上）运动时，分别过 M，N 作 M ⊥面 ，N ⊥面 ,则 MN= ,此时 面积小于 的面 积，故当 MN 在面 上时，面积最大， 当 M∈ ,设 则 MN= BM=MN= 为等腰三角形，底 边 MN 上的高为 , 的面积为 ≤ ,当 x=1 时取等； 同理当M∈ , 设 , 则MN= BM=MN= 为等腰 三角形，底边 MN 上的高为 , 的面积为 , 令 f(x)= =4x( )≥0,故 f(x)单调递增，当 x=1 取最大值为 故选：A 【点睛】本题考查线面垂直性质,解三角形,明确 MN 在上底面的棱上运动是解题的关键，是 中档题. （江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题） 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将三视图还原为直观图，结合三视图中的数据即可求解 【详解】将三视图还原成如图所示的几何体：一个长方体（长宽高分别为 6,2,4），截去两个 相同的小长方体（长宽高分别为 2,1,3）和半个圆柱（圆柱半径为 1，高为 4），则该几何体 的体积为 故选：A 【点睛】本题考查三视图，长方体及圆柱体积，准确还原图形是关键，是中档题. （陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题） 9.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中， 最长棱的长度为（ ） 正视图 仰视图 俯视图 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图，画出空间结构体，由数据即可求得最长的棱长。 【详解】根据三视图，画出空间结构体如下图所示 则最长的棱长为 PC 所以 所以选 B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用，空间中线段长度比较，属于基础题。 （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题） 16.如图，在侧棱长为 3 的正三棱锥 A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥 的表面上有一个动点 P，且点 P 到点 B 的距离始终等于 ，则动点 P 在三棱锥表面形成的 曲线的长度为___． 【答案】 【解析】 【详解】设动点 在三棱锥表面形成曲线是 ，如图所示． 则 ，在直角三角形 中， ， ∴ ， , ∴ ，同理 ； 在直角三角形 中， ， ， ∴ ， 在等边三角形 中， ，∴ ， 则这条曲线的长度为 ， 故答案为 . 【点睛】本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求 解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题． （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题） 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先确定该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半 即 ，下方削去半个球，根据尺寸计算即可. 【详解】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆 柱体积一半的一半即 ，下方削去半个球， 故几何体的体积为： ， 故选 D. 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状， 然后根据其尺寸计算体积，属于中档题. （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题） 16.已知半径为 4 的球面上有两点 ， ， ，球心为 ，若球面上的动点 满足二面角 的大小为 ，则四面体 的外接球的半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 设 所在截面圆的圆心为 ， 中点为 ，连接 ， 易知 即为二面角 的平面角，可求出 及 ，然后可判断出四面体 外接球的球心 在直线 上，在 中， ，结合 ，可求出四面体 的外接球的半径 . 【详解】设 所在截面圆的圆心为 ， 中点为 ，连接 ， OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理 O1D⊥AB，所以， 即为二面角 的平面角， ， 因为 ，所以 是等腰直角三角形， ， 在 中，由 cos60º＝ ，得 ，由勾股定理，得： ， 因为 O1 到 A、B、C 三的距离相等，所以，四面体 外接球的球心 在直线 上， 设四面体 外接球半径为 ， 在 中， ， 由勾股定理可得： ，即 ，解得 ． 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计 算求解能力，属于中档题。 （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题） 7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令 上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上 面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体 积是（ ）（注：1 丈=10 尺） A. 1946 立方尺 B. 3892 立方尺 C. 7784 立方尺 D. 11676 立方尺 【答案】B 【解析】 【分析】 设出棱台的高，根据三角形相似求得棱台的高 ，由棱台的体积公式可得结果. 【详解】 由题意可知正四棱锥的高为 30.所截得正四棱台的下底面棱长为 20，上底面棱长为 6， 设棱台的高为 ，由 可得 ， 解得 ，可得正四棱台体积为 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查阅读能力，考查棱锥与棱台的性质以及棱台的体积公式，意在考查灵 活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题） 10.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两 个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个底面半径为 3，高为 3 的半圆柱，挖去一 个底面半径为 1，高为 3 的半圆柱组成，根据三视图中数据计算即可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个底面半径为 3，高为 3 的半圆柱， 挖去一个底面半径为 1，高为 3 的半圆柱组成，它的表面积由三部分组成： 两个半圆柱的侧面积为 ； 两个半圆环的面积为 ； 两个矩形的面积为 ， 所以该几何体的表面积为 ，故选 C. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于 中档. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其 “翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”， 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三 视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. （广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题） 19.如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ，且 ， 为 中点. （1）求证： 平面 ； （2）求几何体 的体积. 【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】 【分析】 (1) 判断 PA⊥BC，且 ，从而得证 PA⊥平面ABCD； （2）由 运算求解即可． 【详解】（1）证明：∵底面 为正方形， ∴ ，又 ， ∴ 平面 ， ∴ . 同理 ， ∴ 平面 . （2）∵ 为 中点， . 【点睛】求解空间几何体体积的常用策略： （1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解； （2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解 之后进行相加求和即可； （3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的 体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若 不是规则的，此方法不建议使用. （4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他 的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. （陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题） 19.如图，在直三棱柱 中， ， ， 是 的中点． （I）求证：平面 平面 ； （II）若异面直线 与 所成角为 ，求直三棱柱 的体积. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （I）由已知中的几何体 为直三棱柱， ， 是 的中点，结合直三 棱柱的几何特征以及等腰三角形三线合一的性质，易得 平面 ， （II）根据异面直线所成角的定义，以及角的大小，求得 ，利用柱体的体积公式求 得结果. 【详解】（I）证明：由 ， 得 ， 而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 . 又 平面 ， 平面 平面 . （II）解：连接 ，由 知是 异面直线 与 所成角, ，易知 是正三角形， 依题意得 ， ， 三棱柱 的体积为 . 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，异面直 线所成的角，柱体的体积公式，属于简单题目. （安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题） 18.斜三棱柱 中，底面 是边长为 2 的正三角形， ， . （1）证明：平面 平面 ； （2）求四棱锥 的体积. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明 和 ，得到 平面 ，进而得到面面垂直；（2）利用三棱柱体积是三棱锥体积 倍的关系，求解出三棱锥 的体积，得所求体积为三棱锥 体积的 倍. 【详解】（1） ， ， 由余弦定理： 即 或 故 取 中点 ，连接 ， ，如图所示： 是边长为 的正三角形 ，可得： ， 由 得到 又 为 中点， 且 又 ， 平面 平面 平面 平面 （2）由（1） 【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体体积的求解，解题关键在于求解几何 体体积时，要注意灵活运用体积桥或者割补的思想来解决. [来源:学科网] （山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题） 18.如图，直三棱柱 ，点 M 是棱 ，上不同 于 的动点． (I)证明： ； (Ⅱ)若 ，判断点 M 的位置并求出此时平面 把此棱柱分成的两部分几何体 的体积之比． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1:1. 【解析】 【分析】 （I）证明 BC⊥平面 ABB1A1，即可得出 BC⊥B1M； （II）求出棱锥 C﹣ABB1M 和棱柱的体积即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）在 中， , , 又 , 平面 ,又 面 , . （Ⅱ）当 时，设 ， , 则在 中， ， 同理： , 据 ， 整理得， 故 M 为 的中点 此时平面 把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥 和四棱锥 由（Ⅰ）知四棱锥 的高为 BC=2， , ,又 ， , 故两部分几何体的体积之比为 1:1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题． （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题） 18.如图所示，已知正方体 的棱长为 2， 分别是 棱的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析； （2）1. 【解析】 【分析】 （1）取 的中点 ，连接 、 ，可以得到四边形 是平行四边形，进而可以证明 ，由 ，可以得到 ，进而可以证明 平面 ，即 平 面 ；（ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 结 合 ， 可 以 得 到 ， 是高，并求出底面 ，即可求出 . 【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 是中点 四边形 是平行四边形 平面 ， 平面 又 是棱 的中点 又 平面 又 平面 （2）由题意可知 平面 ， 是高且 又 三棱锥 的体积为 1. 【点睛】本题考查了空间几何中线面垂直的证明，三棱锥体积的求法，考查了学生空间想象 能力和推理能力，属于中档题。 （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 19.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， 点 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若直线 与底面 所成的角为 ，求四棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）取 PA 中点 Q，连结 QD，QE，推导出四边形 CDQE 是平行四边形，CE∥QD，由此能证明 CE∥平面 PAD． （2）连结 BD，取 BD 中点 O，连结 EO，CO，推导出∠ECO 是直线 CE 与底面 ABCD 所成的角， ∠ECO=45°，由 VP-ABCD= S 底面 ABCD•PD，能求出四棱锥 P-ABCD 的体积． 【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ， 则 ，且 ， 所以 ，且 ， 即四边形 为平行四边形， ， 又因为 平面 ， 平面 ，（两条件各 1 分） 所以 平面 . （2）连接 ，取 中点 ，连接 ， ， 则 ，且 ， 因为 平面 ，所以 平面 ， 则 为 在平面 上的射影， 即 为直线 与底面 所成的角， ， 在等腰直角三角形 中， ，则 ， 则在 中， ， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以四棱锥 的体积为 . 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题） 18.如图，在三棱锥 P-ABC 中，正三角形 PAC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直， AB＝BC，O 是 AC 中点，OH⊥PC 于 H. （1）证明：PC⊥平面 BOH； （2）若 ，求三棱锥 A-BOH 的体积． 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）先证明 平面 ，得到 ，结合已知 ，证得 平面 .（2） 将所求 转化为 ，利用（1）的结论得到三棱锥的高为 ，由此计算得三棱锥 的体积. 【详解】解：（1）∵AB＝BC，O 是 AC 中点， ∴BO⊥AC， 又平面 PAC⊥平面 ABC， 且 平面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC＝AC， ∴BO⊥平面 PAC， ∴BO⊥PC， 又 OH⊥PC，BO∩OH＝O， ∴PC⊥平面 BOH； （2）∵△HAO 与△HOC 面积相等， ∴ , ∵BO⊥平面 PAC,∴ , ∵ ,∠HOC=30°∴ , ∴ , ∴ ,即 . 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题. （河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 18.四棱柱 中，侧棱 底面 ，底面 为菱形， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求四面体 的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接 ，可知 是 的中点，连接 ，由于 是 的中点，可知 ，即可证明 平 面 ；（ 2 ） 由 于 平 面 ， 可 证 明 ，求出 即可得到答案。 【详解】（1）证明：连接 ，在菱形 中，因为 是 的中点，所以 是 的中点. 连接 ，则在 中，又由于 是 的中点，所以 . 又 平面 ，平面 ，所以 平面 . （2）解： ， 由于 平面 ， ， ，故 . 【点睛】线面平行的证明，关键在于在平面内找出与已知直线的平行线；三棱锥的体积，常 常通过等体积法求解，学生在学习中要重视这种题型。 （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调 研考试文科数学试题） 19.如图 ，在等腰直角 中，沿斜边 上的高 将 折起到 的位置，点 在线 段 上. （1）求证： ； （2）若 为 的中点， ，三棱锥 的表面积为 ，求三棱锥 的 体积. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）证明 平面 PCD 即可 （2）设 ，表示出三棱锥 的表面积，从而求得 的值，利用锥体体积公式即可 求解。 【详解】（1）证明：∵ ，∴ ， ， 又有 ， 平面 ， ∴ 面 ， 又∵ 面 ， ∴ . （2）设 ，∴ ， . [来源:Z|xx|k.Com] 又由题可知 为正三角形，∴ ， ， ∵等腰三角形 底边上的高为 ， ∴ ， ∴ . ∴ ， . ∴ . 【点睛】（1）考查了转化思想及线面垂直的判定，还考查了空间思维能力，属于基础题。 （2）考查了多面体表面积计算及锥体体积计算，还考查了空间思维能力，属于基础题。 （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题） 19.如图，在各棱长均为 4 的直四棱柱 中，底面 为菱形， ， 分别为 棱上一点，且 ， . （1）证明： 平面 ； （2）在图中作出点 在平面 内的正投影 （说明作法及理由），并求三棱锥 的体 积. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）在 上取一点 ，使得 ，证得 ，进而证得 ，利用线面平行的判 定定理，即可得到 平面 . （2）设 与 交于点 ，连接 ，过 作 ，得到 即为 在平面内 的正投 影，同时利用等体积法，即可求解三棱锥的体积。 【详解】（1）证明：在 上取一点 ，使得 . ， ， ， . ， 同理可证明 ， ， 又平面 ， 平面 ， 平面 . （2）解：设 与 交于点 ，连接 . 过 作 ， 为垂足， 即为 在平面内 的正投影. 理由如下： 平面 ， . 又 ， ， 平面 . ，又 ， 平面 . , , ,由 得 . 过 作 ，垂足为 ，由 ，得 . . 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及等体积法求解三棱锥的体积，其中解 答中熟记线面平行的判定定理，合理应用等体积法求解是解答的关键，着重考查了分析问题 和解答问题的能力，属于基础题。 （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题） 18.如图，已知三棱锥 的平面展开图中，四边形为 边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥中 ： （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）求三棱锥 的表面积和体积. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）表面积 ，体积 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由题意知 和 为等腰三角形，可取 AC 中点 O，连接 PO,OB，可证明 平 面 然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）求各个面的面积之和即可到棱 锥的表面积，由 平面 ，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案. 【详解】解：（Ⅰ）设 的中点为 ，连接 ， . 由题意，得 ， ， . 因为在 中， ， 为 的中点，所以 . 因为在 中， ， ， ， ，所以 . 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 . （Ⅱ）三棱锥 的表面积 ， 由（Ⅰ）知， 平面 ，所以三棱锥 的体积为 . 【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算， 考查学生的空间想象能力和计算能力.