2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第二章 第1讲 函数及其表示

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文档介绍

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第二章 第1讲 函数及其表示

第1讲 函数及其表示 一、知识梳理 ‎1.函数与映射的概念 函数 映射 两集合A,B 设A,B是两个非空的数集 设A,B是两个非空的集合 对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y=f(x)(x∈A)‎ 对应f:A→B是一个映射 ‎2.函数的有关概念 ‎(1)函数的定义域、值域.‎ 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.‎ ‎(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.‎ ‎(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.‎ ‎(4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.‎ ‎3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.‎ ‎[注意] 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.‎ 常用结论 几种常见函数的定义域 ‎(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合.‎ ‎(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合.‎ ‎(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.‎ ‎(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.‎ ‎(5)指数函数的底数大于0且不等于1.‎ ‎(6)正切函数y=tan x的定义域为.‎ 二、教材衍化 ‎1.下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是(  )‎ A.y=()2    B.y=+1‎ C.y=+1 D.y=+1‎ 解析:选B.对于A,函数y=()2的定义域为{x|x≥-1},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y=+1的定义域为{x|x≠0},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;对于D,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.‎ ‎2.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是________;值域是________;其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________.‎ 答案:[-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]‎ ‎3.函数y=·的定义域是________.‎ 解析:⇒x≥2.‎ 答案:[2,+∞)‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.(  )‎ ‎(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是相等函数.(  )‎ ‎(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.(  )‎ ‎(4)若集合A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,则对应关系f是从A到B的映射.(  )‎ ‎(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.(  )‎ ‎(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√‎ 二、易错纠偏 (1)对函数概念理解不透彻;‎ ‎(2)对分段函数解不等式时忘记范围;‎ ‎(3)换元法求解析式,反解忽视范围.‎ ‎1.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________.(填序号)‎ ‎①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=.‎ 解析:对于③,因为当x=4时,y=×4=∉Q,所以③不是函数.‎ 答案:③‎ ‎2.设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________.‎ 解析:因为f(x)是分段函数,所以f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,所以x≤-2或0≤x<1;当x≥1时,f(x)≥1⇒4-≥1,即≤3,所以1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].‎ 答案:(-∞,-2]∪[0,10]‎ ‎3.已知f()=x-1,则f(x)=________.‎ 解析:令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).‎ 答案:x2-1(x≥0)‎ ‎      函数的定义域(多维探究)‎ 角度一 求函数的定义域 ‎ (1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y=的定义域为(  )‎ A.(-1,3]      B.(-1,0)∪(0,3]‎ C. [-1,3] D.[-1,0)∪(0,3]‎ ‎(2)(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是 (  )‎ A.[0,1] B.(0,1)‎ C.[0,1) D.(0,1]‎ ‎【解析】 (1)要使函数有意义,x需满足解得-10且1-x≠1,解得x<1且x≠0,所以函数g(x)的定义域为(0,1),故选B.‎ ‎【答案】 (1)B (2)B 角度二 已知函数的定义域求参数 ‎ 若函数y=的定义域为R,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由ax2-4ax+2>0恒成立,‎ 得a=0或解得0≤a<.‎ ‎【答案】 D 函数定义域的求解策略 ‎(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题.在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍.‎ ‎(2)求抽象函数的定义域:①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得y=f(x)的定义域.‎ ‎(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组),然后求解.‎ ‎[提醒] (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简.‎ ‎(2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.  ‎ ‎1.y= -log2(4-x2)的定义域是(  )‎ A.(-2,0)∪(1,2)    B.(-2,0]∪(1,2)‎ C.(-2,0)∪[1,2) D.[-2,0]∪[1,2]‎ 解析:选C.要使函数有意义,则解得x∈(-2,0)∪[1,2),‎ 即函数的定义域是(-2,0)∪[1,2).‎ ‎2.已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为________.‎ 解析:因为y=f(x2-1)的定义域为[-,],所以x∈[-,],x2-1∈[-1,2],所以y=f(x)的定义域为[-1,2].‎ 答案:[-1,2]‎ ‎3.若函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:因为函数y=的定义域为R,‎ 所以mx2+4mx+3≠0,‎ 所以m=0或即m=0或0<m<,所以实数m的取值范围是.‎ 答案: ‎      求函数的解析式(师生共研)‎ ‎ (1)已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,求f(x); ‎ ‎(2)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x).‎ ‎【解】 (1)法一:待定系数法 因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c.‎ 因为f(2x+1)=4x2-6x+5,‎ 所以解得 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).‎ 法二:换元法 令2x+1=t(t∈R),则x=,‎ 所以f(t)=4-6·+5=t2-5t+9(t∈R),‎ 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).‎ 法三:配凑法 因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).‎ ‎(2)解方程组法 由f(-x)+2f(x)=2x,①‎ 得f(x)+2f(-x)=2-x,②‎ ‎①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x.‎ 即f(x)=.‎ 故f(x)的解析式是f(x)=(x∈R).‎ 求函数解析式的4种方法 ‎(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),得f(x)的表达式.‎ ‎(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.‎ ‎(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.‎ ‎(4)解方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).‎ ‎[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围.  ‎ ‎1.已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=________.‎ 解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),‎ 由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx.‎ 又由f(x+1)=f(x)+x+1,‎ 得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,‎ 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,‎ 所以解得a=b=.‎ 所以f(x)=x2+x(x∈R).‎ 答案:x2+x(x∈R)‎ ‎2.已知函数f=lg x,则f(x)=________.‎ 解析:令+1=t,得x=,则f(t)=lg ,又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x)=lg (x>1).‎ 答案:lg (x>1)‎ ‎3.已知函数f(x)满足2f(x)+f=3x,则f(x)=________.‎ 解析:因为2f(x)+f=3x,①‎ 把①中的x换成,得2f+f(x)=.②‎ 联立①②可得 解此方程组可得f(x)=2x-(x≠0).‎ 答案:2x-(x≠0)‎ ‎4.已知函数f(+1)=x+2,则f(x)的解析式为________.‎ 解析:法一(换元法):设t=+1,则x=(t-1)2,t≥1,代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.‎ 故f(x)=x2-1,x≥1.‎ 法二(配凑法):因为x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,‎ 所以f(+1)=(+1)2-1,+1≥1,‎ 即f(x)=x2-1,x≥1.‎ 答案:f(x)=x2-1(x≥1)‎ ‎      分段函数(多维探究)‎ 角度一 分段函数求值 ‎ (1)(2020·江西南昌一模)设函数f(x)=则f(5)的值为(  )‎ A.-7          B.-1‎ C.0 D. ‎(2)若函数f(x)=则f(f(-9))=________.‎ ‎【解析】 (1)f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=(-1)2-2-1=.故选D.‎ ‎(2)因为函数f(x)= 所以f(-9)=lg 10=1,所以f(f(-9))=f(1)=-2.‎ ‎【答案】 (1)D (2)-2‎ 角度二 已知函数值求参数 ‎ 设函数f(x)=若f(m)=3,则实数m的值为________.‎ ‎【解析】 当m≥2时,由m2-1=3,得m2=4,解得m=2;当00.‎ 当03,‎ 即不等式f(2x+1)3.故选B.‎ ‎【答案】 (1)D (2)B 分段函数问题的求解思路 ‎(1)根据分段函数的解析式,求函数值的解题思路 先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.‎ ‎(2)已知分段函数的函数值,求参数值的解题思路 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程.然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.‎ ‎(3)已知分段函数的函数值满足的不等式,求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.  ‎ ‎1.(2020·河南郑州质量测评)已知函数f(x)=则不等式f(x)≤1的解集为(  )‎ A.(-∞,2] B.(-∞,0]∪(1,2]‎ C.[0,2] D.(-∞,0]∪[1,2]‎ 解析:选D.当x≥1时,不等式f(x)≤1为log2x≤1,即log2x≤log22,‎ 因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增加的,‎ 所以1≤x≤2;‎ 当x<1时,不等式f(x)≤1为≤1,‎ 所以-1≤0,所以≤0,所以≥0,‎ 所以x≤0或x>1(舍去).‎ 所以f(x)≤1的解集是(-∞,0]∪[1,2].故选D.‎ ‎2.已知函数f(x)=若f(a)=3,则f(a-2)=________.‎ 解析:当a>0时,若f(a)=3,则log2a+a=3,解得a=2(满足a>0);当a≤0时,若f(a)=3,则4a-2-1=3,解得a=3,不满足a≤0,所以舍去.于是,可得a=2.故f(a-2)=f(0)=4-2-1=-.‎ 答案:- ‎3.(2020·闽粤赣三省十校联考)已知函数f(x-2)=则f(2)=________.‎ 解析:f(2)=f(4-2)=6-4=2.‎ 答案:2‎ ‎ 分类讨论思想在分段函数中的应用 ‎ 设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________.‎ ‎【解析】 当x>0时,f(x)=2x>1恒成立,当x->0,即x>时,f=2x->1,当x-≤0,即0,则不等式f(x)+f>1恒成立.当x≤0时,f(x)+f=x+1+x+=2x+>1,所以--3,故-30时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象;②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.故选B.‎ ‎2.函数f(x)=+的定义域为(  )‎ A.[0,2) B.(2,+∞)‎ C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)‎ 解析:选C.由题意得解得x≥0,且x≠2.‎ ‎3.(2020·延安模拟)已知f=2x-5,且f(a)=6,则a等于(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:选A.令t=x-1,则x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,则4a-1=6,解得a=.‎ ‎4.下列函数中,同一个函数的定义域与值域相同的是(  )‎ A.y= B.y=ln x C.y= D.y= 解析:选D.对于A,定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),不满足题意;对于B,定义域为(0,+∞),值域为R,不满足题意;对于C,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),‎ 值域为(-∞,-1)∪(0,+∞),不满足题意;对于D,y==1+,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),值域也是(-∞,1)∪(1,+∞).‎ ‎5.已知函数f(x)=则f(f(1))=(  )‎ A.- B.2‎ C.4 D.11‎ 解析:选C.因为f(1)=12+2=3,所以f(f(1))=f(3)=3+=4.故选C.‎ ‎6.已知函数y=f(2x-1)的定义域是[0,1],则函数的定义域是(  )‎ A.[1,2] B.(-1,1]‎ C. D.(-1,0)‎ 解析:选D.由f(2x-1)的定义域是[0,1],得0≤x≤1,故-1≤2x-1≤1,所以函数f(x)的定义域是[-1,1],所以要使函数有意义,需满足解得-11,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:f(f(0))=f(1)=ln 1=0;如图所示,可得f(x)=的图象与直线y=1的交点分别为(0,1),(e,1).若f(m)>1,则实数m的取值范围是(-∞,0)∪(e,+∞).‎ 答案:0 (-∞,0)∪(e,+∞)‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x):对任意的x∈R,(f·g)(x)=f(g(x)).若f(x)=g(x)=则(  )‎ A.(f·f)(x)=f(x) B.(f·g)(x)=f(x)‎ C.(g·f)(x)=g(x) D.(g·g)(x)=g(x)‎ 解析:选A.对于A,(f·f)(x)=f(f(x))=当x>0时,f(x)=x>0,(‎ f·f)(x)=f(x)=x;当x<0时,f(x)=x2>0,(f·f)(x)=f(x)=x2;当x=0时,(f·f)(x)=f 2(x)=0=02,因此对任意的x∈R,有(f·f)(x)=f(x),故A正确,选A.‎ ‎2.(2020·河南郑州第二次质量检测)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为(  )‎ A.{0,1,2,3} B.{0,1,2}‎ C.{1,2,3} D.{1,2}‎ 解析:选D.f(x)===1+,‎ 因为2x>0,所以1+2x>1,所以0<<1,‎ 则0<<2,所以1<1+<3,‎ 即1
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