四川省成都外国语学校2020届高三12月月考数学（文）试题

四川省成都外国语学校2020届高三12月月考数学（文）试题

成都外国语学校19-20学年度上期高2017级12月月考 数学试题(文)‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意结合交集的定义可得：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2.在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（3，4），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出复数z代数形式，再根据复数的模以及除法运算法则求结果.‎ ‎【详解】，所以，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查复数几何意义、复数的模以及复数除法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.等比数列的前n项和为，若，则（ ）‎ A. 15 B. 30 C. 45 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题设条件，得到，进而得到，即可求解值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，等比数列的前n项和为，满足，‎ 则，所以，‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及其前n项和的计算，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解得的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，如表是不同发芽天数的种子数的记录：‎ 发芽天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎≥8‎ 种子数 ‎8‎ ‎26‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎0‎ 统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数据以及中位数定义求结果.‎ ‎【详解】因为这批种子共有个，，所以这组数据中位数是3，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查中位数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的，则输出的S=（ ）‎ A. 8 B. 10 C. 12 D. 22‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序依次计算，直到跳出循环，输出结果，即可对照选择.‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出S的值为22.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两个命题、是的范围，是的必要不充分条件等价于是的必要不充分条件，由此求得的取值范围．‎ ‎【详解】或，当时，或，‎ 当时，，因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，因此．‎ 从而或，即．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查由必要不充分条件求参数，属于基础题．‎ ‎7.将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数中x换为x-后化简即可.‎ ‎【详解】化解为 故选D ‎【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.‎ ‎8.某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原为直观图，可知该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，再求圆锥的底面半径，三棱柱的各边，根据体积公式求解即可．‎ ‎【详解】由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，‎ 如图，其中半圆锥的底面半径为1，高为，‎ 三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，高为，‎ 则该几何体的体积：‎ ‎．‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查三视图、几何体的体积，以空间几何为载体，考查考生的空间想象能力与基本运算能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象、数学运算.‎ ‎9.已知实数，满足不等式，则点与点在直线的两侧的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目可知当与在直线两侧时，又因为，则图象是单位元内的点，其所在的位置占整个圆的，由此可得结果．‎ ‎【详解】解：若点与点在直线的两侧，‎ 则，‎ 即，‎ 又实数，满足不等式，‎ 作出图象如图：由图可知，‎ 点与点在直线的两侧的概率为．‎ 故选：C ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查线性规划以及几何概型，属于基础题．‎ ‎10.正项数列的前n项和为，且，设，则数列的前2020项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得，代入化简，最后利用分组求和法求结果.‎ ‎【详解】因为，所以当时，，解得，‎ 当时，，‎ 所以 ，‎ 因为，所以，‎ 所以数列是等差数列，公差为1，首项为1，‎ 所以，‎ 所以，‎ 则数列的前2020项的和.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和法，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11.设函数满足，，则时，（ ）‎ A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数的运算法则，确定的解析式，构造新函数，确定函数的单调性即可求出结论．‎ ‎【详解】解：由，即，‎ 结合，可知，‎ ‎，‎ 可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值．‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎12.已知定义在上的函数对任意的都满足，当≤时，，若函数，且至少有6个零点，则取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】函数g（x）=f（x）-loga|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=loga|x|的交点的个数；‎ 由f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），‎ 故函数f（x）是周期为2的周期函数，‎ 又由当-1≤x＜1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，‎ y=loga|x|是偶函数，当x＞0时，y=logax，则当x＜0时，y=loga（-x），做出y=loga|x|的图象:‎ 结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=loga|x|至少有6个交点，则 loga5＜1 且 loga5≥-1，‎ 解得 a＞5，或.故选A.‎ 二、填空题 ‎13.已知，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简已知等式的左边求出的值，再利用二倍角的正弦公式得到，分母除以，利用同角三角函数关系式得到，最后转化为即可求出的值.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键.‎ ‎14.向量，满足，，且，则，的夹角的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据两边平方，然后根据平面向量的数量积公式进行求解即可．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，故．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题重点考查了数量积的概念、运算法则及夹角等知识，属于基础题．‎ ‎15.设实数，满足则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意画出可行域，目标函数表示的是可行域内的点到定点的斜率，当直线过点时斜率为最大值，只需解方程组求解点代入目标函数即可．‎ ‎【详解】由实数，满足作出可行域如图，‎ 联立得，‎ 由，而，‎ 所以目标函数的最大值为2．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求分式型的非线性规划的目标函数题，准确作图，利用目标函数的集合意义是解题的关键．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，过点（0，1）的直线l与双曲线交于两点A，B，若是直角三角形，则直线l的斜率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设直线方程与双曲线方程联立方程组，根据垂直条件，结合韦达定理求直线l的斜率.‎ ‎【详解】直线l的斜率显然存在，设直线为，联立双曲线：，消去y得：.‎ ‎①若，则，‎ 解得.‎ ‎②若（A在左支）设A点坐标（m，n）（），则，联立双曲线无解，故不可能出现。‎ ‎③若（B在右支），同理不可能 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17.在中，角所对的边分别为，.‎ ‎（1）求证：是等腰三角形；‎ ‎（2）若，且的周长为5，求的面积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）根据正弦定理边化角有，据此可得，则，所以是等腰三角形； ‎ ‎（2）由（1）结合余弦定理可得：.的周长为，得.由面积公式可得的面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据正弦定理，由可得 ‎ ‎ ‎，‎ 即，故，由得，‎ 故，所以是等腰三角形； ‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 又因为的周长为，得.‎ 故的面积.‎ ‎18.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身活动，有 人参加，现将所有参加者按年龄情况分为，，，，，，等七组，其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人.‎ ‎（1）根据此频率分布直方图求;‎ ‎（2）已知，这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出年龄在内的频率，由这组的参加者人数和其频率求出总人数.‎ ‎（2）分别求出“从年龄在之间选出的人中至少有1名数学教师"的人数和 “从年龄在之间选出的人中至少有1名数学教师"的人数，即可求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率．‎ ‎【详解】解：（1）根据题意，这组频率为，‎ 所以；‎ ‎（2）这组的参加者人数为，‎ 这组的参加者人数为，‎ 恰有1名数学老师的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题．‎ ‎19.在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，,平面，平面平面，，且.‎ ‎（1）若，求证：平面；‎ ‎（2）若到的距离是，求该几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取、、的中点为，，，证明是平行四边形．‎ 则有，又因为，即，即可证得平面．‎ ‎（2）首先证明面，几何体的体积 ‎，求出，即可求得体积。‎ ‎【详解】（1）如图，取、、的中点，分别为，，．‎ 连接，，，，‎ ‎，‎ 为的终点，‎ ‎，‎ 所以是平行四边形．‎ 所以，‎ 又因为（三角形中位线定理），‎ 所以 所以平面得证．‎ ‎（2）如图，‎ 首先证明面，所以该几何体的体积 ‎，‎ 所以核心是求 如图 在平面内，‎ 过点做直线垂线，垂足是，连接．‎ 则，于是 因为，所以，‎ 从而，所以，‎ 从而 进而几何体的体积 ‎【点睛】本题着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理，空间几何体的体积，属于中档题。‎ ‎20.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，离心率为，的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，为轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点，若是坐标原点，求证：、、三点共线。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率公式和面积公式可求得，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）分别设直线求出其与曲线的交点，，同理设求出其与曲线的交点，，根据斜率得到三点共线．‎ ‎【详解】（1）依题意：，，，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 所以椭圆方程：．‎ ‎（2）设与交于、，且 ‎，‎ ‎，，‎ 设与交于、，且，‎ 同理可得，所以，‎ 由，可得，‎ ‎∴，‎ 所以 所以，，三点共线．从而恒过定点．‎ ‎【点睛】本意考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆相交，一元二次方程的根与系数的关系、三点共线关系，考查推理能力与计算能力．‎ ‎21.如果函数满足且是它的零点，则函数是“有趣的”，例如就是“有趣的”，已知是“有趣的”.‎ ‎（1）求出b、c并求出函数的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意正数x，都有恒成立，求参数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，单减区间为0，1），单增区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义得方程恒成立，解得b、c，再根据复合函数单调性确定函数的单调区间；‎ ‎（2）先化简不等式，再求导数，根据导函数符号分类讨论,利用导数证明恒成立,再说明不恒成立.‎ ‎【详解】（1）因为是“有趣的”，所以 即 的定义域为，单减区间为（0，1），单增区间为.‎ ‎（2）参数的取值范围为.‎ 引理：不等式对任意正数y都成立。证明如下：‎ 由恒成立，得恒成立。.‎ 我们构造函数。注意到。‎ 构造，注意到，且 我们以下分两部分进行说明：‎ 第一部分：时，恒成立。‎ 时，由引理得：，知道，‎ 从而当时有，时有，所以在（0，1）上为负，在上为正。‎ 从而在上单减，在上单增，最小值为。‎ 从而 第二部分：时，不满足条件。‎ 构造函数。‎ ‎（ⅰ）若，则对于任意，都有。‎ ‎（ⅱ）若，则对于任意，，‎ 而，所以在（0，1）上有唯一零点，同时在，时都有。‎ 于是只要，无论是（ⅰ）还是（ⅱ），我们总能找到一个实数，在时都有。‎ 这样在时，都有，结合，所以时，从而在时有。，所以时，不满足要求。‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数单调性以及利用导数研究不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属难题.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系下，直线（为参数），以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线:，曲线:；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）消去参数，得直线的普通方程为，由，两边同乘以，得曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得 ‎，即，由直线参数的几何意义知，‎ ‎.‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，‎ 由，‎ 即曲线的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得 ‎，即，‎ 设方程的两根分别为，则 ‎．‎ 考点：极坐标与参数方程（互化）、直线参数几何意义．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式解集；‎ ‎（2）若证明：‎ ‎【答案】（1）（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由零点分段法讨论的范围，解各个范围内的不等式，最后求并集即可求出解集.（2）由题意可知，即证，对两边平方，作差，根据（1）的结论即可证明结果.‎ ‎【详解】（1），‎ 故或或，故不等式的解为.‎ ‎（2）证明：要证，只需证，‎ 即证（*）.‎ 只需证：‎ 因为，‎ 所以只需证：，‎ 又由（1）知，，则，即，‎ 所以（*）式显然成立，故原命题得证.‎ ‎【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查分析法证明不等式，属于基础题.‎ ‎ ‎