甘肃省兰州第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

甘肃省兰州第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

甘肃省兰州第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则复数z的共轭复数的模为（　　）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ 3. 设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ 4. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（　　）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 若，则sin2α-cos2α=（　　）‎ A. B. C. D. 3‎ 6. 在如图所示的程序框图中，若输入的s=2，输出的s＞2018，则判断框内可以填入的条件是（　　） ​‎ A. B. C. D. ‎ 7. 为了得到函数y=sinx的图象，只需将函数的图象（　　）‎ A. 横坐标伸长为原来的两倍,纵坐标不变,再向右平移个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍,纵坐标不变,再向左平移个单位 C. 横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位 D. 横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位 8. 已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为的正三角形，PA，PB，PC两两垂直，则球O的体积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. ‎《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12‎ 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3=4，S9-S6=27，则该数列的公差d等于（　　）.‎ A. B. C. D. 1‎ 2. 椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数f（x）=x3-2x+1+ex-，其中e是自然对数的底数．若f（a-1）+f（‎2a2）≤2，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 4. 已知，，若，则k=______．‎ 5. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：‎ 零件数x（个）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y（分钟）‎ ‎64‎ ‎69‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎90‎ 由表中数据，求得线性回归方程，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为______分钟．‎ 6. 若等比数列{an}（n∈N*）满足a1+a3=30，a2+a4=10，则a1•a2•…•an的最大值为______．‎ 7. 已知点F是抛物线C：y2=4x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 8. 已知函数的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）如何由函数y=2sinx通过适当图象的变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程； （Ⅲ）若，求的值．‎ ‎ ‎ 1. 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若，试求的最小值． ‎ 2. 已知数列{an}为等差数列，且a1=1，a5=5；设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-Sn． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）若cn=an•bn（n=1，2，3，…），Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn． ‎ 3. 设函数f（x）=x3-6x+5，x∈R （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；并求该曲线在x=1处的切线方程． （Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围． （Ⅲ）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围． ‎ 4. 已知函数． （1）设x=2是函数f（x）的极值点，求m的值，并求f（x）的单调区间； （2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求m的取值范围． ‎ 5. 已知直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0． （Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|•|OB|． ‎ 1. 已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设a＞-1，且当x∈[-，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵A={x|-1＜x＜3}，B={y|y≥0}， ∴A∩B=[0，3）． 故选：B． 可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数，考查复数模的求法，是基础题． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解． 【解答】 解：由z（1+i）=|1+i|， ​得z=， ∴||=|z|=． 故选B． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：变量x，y满足约束条件，画出图形： 目标函数z=x+3y经过点A（1，1）， z在点A处有最小值：z=1+3×1=4， 故选：C． 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可． 本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲， ②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙， ③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙， ④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁， 综合①②③④得： 读了该篇文章的学生是乙， 故选：B． 先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， ==， 即， 故选：A． 由，可求出tanα的值，所求式子可以写成分母为1的形式，用sin2α+cos2α=1进行代换，分子、分母同时除以cos2α，然后把tanα的值代入求值即可． 本题考查了两角和的正切公式、正弦的二倍角公式，解决本题的关键是sin2α+cos2α=1的代换，变成双齐次方程，利用1的代换是解决本题的关键． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 s=2，i=1 不满足条件，执行循环体，s=4，i=2 不满足条件，执行循环体，s=8，i=3 不满足条件，执行循环体，s=16，i=4 不满足条件，执行循环体，s=32，i=5 不满足条件，执行循环体，s=64，i=6 不满足条件，执行循环体，s=128，i=7 不满足条件，执行循环体，s=256，i=8 不满足条件，执行循环体，s=512，i=9 不满足条件，执行循环体，s=1024，i=10 不满足条件，执行循环体，s=2048，i=11 由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为2048． 则判断框内可以填入的条件是i≥11？． 故选：D． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：将函数的图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得y=sin（x+）的图象； 再把它的图象再向右平移个单位，可得y=sinx的图象， 故选：A． 由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵△ABC是边长为的正三角形，PA，PB，PC两两垂直， ∴PA=PB=PC=1‎ ‎， 由三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上， 故球O相当于棱长为1的正方体的外接球， 故R==， 故球O的体积V==π， 故选：A． 由已知可得球O相当于棱长为1的正方体的外接球，求出球半径，代入球的体积公式，可得答案． 本题考查的知识点是球的体积和表面积，球内接多面体，根据已知求出球的半径，是解答的关键． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题． 求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案． 【解答】 解：直角三角形的斜边长为， 设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2． ∴内切圆的面积为πr2=4π， ∴豆子落在内切圆外部的 概率P=1-=1-， 故选：C． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵S9-S6=27，∴a7+a8+a9=27， ∵{an}为等差数列， ∴‎3a8=27，∴a8=9． ∴d===1． 故选：D． 由S9-S6=27，可得a7+a8+a9=27，利用等差数列的性质可得：‎3a8=27，再利用d=即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于较基础题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于一般题. 利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可． 【解答】 解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2， ​以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P ‎， 可得（‎2a-c）2+c2=‎4c2，可得‎2a2‎-2ac=c2， 所以e2+2e-2=0，e∈（0，1）， 解得e==． 故选：A． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：令g（x）=f（x）-1=x3-2x+ex-，x∈R． 则g（-x）=-g（x），∴g（x）在R上为奇函数． g′（x）=3x2-2+ex+≥0+2-2=0， ∴函数g（x）在R上单调递增． f（a-1）+f（‎2a2）≤2，化为：f（a-1）-1+f（‎2a2）-1≤0， 即g（a-1）+g（‎2a2）≤0，化为：g（‎2a2）≤-g（a-1）=g（1-a）， ∴‎2a2≤1-a， 即‎2a2+a-1≤0， 解得-1≤a≤． ∴实数a的取值范围是． 故选：C． 令g（x）=f（x）-1=x3-2x+ex-，x∈R．判断其奇偶性单调性即可得出． 本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13.【答案】8 ‎ ‎【解析】解：+2=（9，2+2k），3-=（-1，6-k）； ∵（+2）∥（3-）， ∴9（6-k）-（-1）（2+2k）=0， 解得k=8． 故答案为：8． 由向量平行的坐标运算即可得出． 本题考查了平面向量共线定理的坐标表示与运算问题，是基础题． 14.【答案】100 ‎ ‎【解析】解：由题意计算可得：，， 回归方程过样本中心点，则：，计算可得：， 回归方程为：， 据此预测加工70个零件所花费的时间为：0.6×70+58=100分钟． 故答案为：100． 利用回归方程过样本中心点首先求得回归方程，然后结合回归方程预测加工70个零件所花费的时间即可． 本题考查回归方程的性质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题． 15.【答案】729 ‎ ‎【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a3=30，a2+a4=10， ∴a1+a3=30=a1（1+q2），a2+a4=10=q（a1+a3）=30q， 联立解得q=，a1=27． ∴an=27×=34-n ‎． 则a1•a2•…•an=33+2+…+（4-n）==， 可得n=3或4时，a1•a2•…•an的最大值为729． 故答案为：729． 设等比数列{an}的公比为q，由a1+a3=30，a2+a4=10，可得a1+a3=30=a1（1+q2），a2+a4=10=q（a1+a3）=30q，联立解得q，a1．利用通项公式与求和公式及其二次函数的单调性即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：如下图所示： 圆的圆心与抛物线的焦点重合， 若四边形AFBM的面积最小， 则MF最小， 即M距离准线最近， 故满足条件时，M与原点重合， 此时MF=1，BF=BM=， 此时四边形AFBM面积S=2S△BMF=2×××=， 故答案为：． 画出满足题意的图象，可得M与原点重合时，四边形AFBM面积最小，进而得到答案． 本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，难度中档． 17.【答案】解：（Ⅰ）由函数图象知：， ∴T=π，ω=2． 由五点作图的第三点可得：， ∴， ∴； （Ⅱ）法1：先将y=2sinx的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为． 法2：先将y=2sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，所得图象即为 （Ⅲ）由， 解得：， ∴=． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据三角函数的图象确定A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）根据三角函数的图象变换关系进行变换即可； （Ⅲ）根据三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简即可． 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出三角函数的解析式是解决本题的关键． 18.【答案】解：（Ⅰ）∵， ∴（‎2a+c）accosB+cabcosC=0， 即（‎2a+c）cosB+bcosC=0， 则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0 ∴2sinAcosB+sin（C+B）=0， 即， B是三角形的一个内角， ∴ （Ⅱ）∵， ∴12=a2+c2+ac≥‎3ac，即ac≤4 ∴=， 即的最小值为-2 ‎ ‎【解析】（1）根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角． （2）本题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和基本不等式得到ac的范围，得到结果． 本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，本题又牵扯到解三角形，是一个综合题． 19.【答案】解：（Ⅰ）由bn=2-Sn，令n=1， 则b1=2-S1， 又S1=b1，所以b1=1…（1分） …（3分） ，…（4分） ．…（6分） （Ⅱ）数列{an}为等差数列，公差d=1，得an=n…（8分） 从而，…（9分） ∴ ∴= =．…（11分） 从而．…（12分） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由bn=2-Sn，令n=1，则b1=2-S1，又S1=b1，所以b1=1．由此能够求出数列{an}和{bn}的通项公式． （Ⅱ）数列{an}为等差数列，公差d=1，可得an=n，从而，由此能够求出数列{cn}的前n项和求Tn． 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用． 20.【答案】解：（Ⅰ）对函数f（x）=x3-6x+5求导，得函数f′（x）=3x2-6 令f′（x）＞0，即3x2-6＞0，解得x＞，或x＜- f′（x）＜0，即3x2-6＜0，解得-＜x＜ f′（x）=0，即3x2-6=0，解得x=，或=＜- ‎ f（-）=5+4，f（）=5-4 ∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-）及（，+∞），单调递减区间是（-，） 当x=-，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5-4 又∵f′（1）=-3，f（1）=0 ∴曲线在x=1处的切线方程为y=-3x+3                  （Ⅱ）当5-4＜a＜5+4时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，此时方程f（x）=a有3个不同实根． ∴实数a的取值范围为（5-4，5+4） （Ⅲ）x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤恒成立， 令g（x）=，则g（x）==x2+x-5， ∴g（x）的最小值为-3，∴k≤-3 ‎ ‎【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0，解得函数的增区间，令导数小于0，解得函数的减区间，令导数等于0，解得函数的极值点，再根据极值点两侧的导数的正负判断是极大值还是极小值． （Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，则y=f（x）图象与y=a图象必有3个不同的交点，a应该介于函数的极小值与极大值之间． （Ⅲ）因为x∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x-1）恒成立可转化为k≤恒成立，所以k小于等于的最小值，再化简，求最小值即可． 本题主要考查了利用导数求函数单调区间，极值，以及函数的极值的应用，综合性强． 21.【答案】解：（1）由（x＞0），得． ∵x=2是函数f（x）的极值点， ∴，故． 令， 解得或x＞2． ∴f（x）在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减； （2）（x＞0）， 当m≤1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增， 又f（1）=0，∴恒成立； 当m＞1时，求导可知在（1，+∞）上单调递增， 故存在x0∈（1，+∞），使得f′（x0）=0， ∴f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 又f（1）=0，则f（x0）＜0，这与f（x）＞0恒成立矛盾． 综上，m≤1． ‎ ‎【解析】（1）求出原函数的导函数，利用x=2是函数f（x）的极值点，可得f′（2）=0，由此求得m值，代入导函数，再由导函数大于0求得原函数的增区间，导函数小于0求得原函数的减区间； （2）求出原函数的导函数（x＞0），可得当m≤1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，结合f（1）=0，可知f（x）＞0恒成立；当m＞1时，可知存在x0∈（1，+∞），使得f′（x0）=0，得到f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，结合f（1）=0，得f（x0）＜0，这与f（x）＞0恒成立矛盾，可得m≤1． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为y=． 曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0．转换为直角坐标方程为x2+y2-4x-2y+4=0‎ ‎， 整理得（x-2）2+（y-1）2=1； （Ⅱ）直线y=转换为参数方程为（t为参数），代入x2+y2-4x-2y+4=0， 整理得，（t1和t2为A和B对应的参数）， 所以t1•t2=4， 所以|OA|•|OB|=|t1•t2|=4． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0． 设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，则y=，它的图象如图所示： 结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a＞-1，且当x∈[-，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3， 故x≥a-2对x∈[-，]都成立． 故-≥a-2， 解得a≤， 故a的取值范围为（-1，]． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，画出函数y的图象，数形结合可得结论． （Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故x≥a-2对x∈[-，]都成立，分析可得-≥a-2，由此解得a的取值范围． 本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式． ‎