2021高考数学一轮复习课时作业18三角函数的图象与性质文
课时作业18 三角函数的图象与性质
[基础达标]
一、选择题
1.下列函数中,周期为π的奇函数为( )
A.y=sin xcos x B.y=sin2x
C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x
解析:y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶函数,故B、C、D都不正确.
答案:A
2.函数f(x)=tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析:由kπ-<2x-
-,故sin>sin.
答案:>
7.函数f(x)=sin(-2x)的单调增区间是________.
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解析:由f(x)=sin(-2x)=-sin 2x,
2kπ+≤2x≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
答案:(k∈Z)
8.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω=________.
解析:∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,
∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sin ωx是增函数;
当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin ωx是减函数.
由f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,]上单调递增,
在[,]上单调递减知,=,∴ω=.
答案:
三、解答题
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.
解析:∵f(x)的最小正周期为π,则T==π,∴ω=2.
∴f(x)=sin(2x+φ).
(1)当f(x)为偶函数时,φ=+kπ,k∈Z,
∴cosφ=0,∵0<φ<,∴φ=.
(2)f(x)的图象过点时,sin=,
即sin=.
又∵0<φ<,∴<+φ<π.
∴+φ=,φ=.∴f(x)=sin.
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令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
10.已知f(x)=2sin+a+1.
(1)当x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值;
(2)在(1)的条件下,求满足f(x)=1且x∈[-π,π]的x的取值集合.
解析:(1)由x∈,得2x+∈.
当2x+=,即x=时,f(x)取最大值,f=2sin+a+1=a+3=4,
所以a=1.
(2)由f(x)=2sin+2=1
可得sin=-,
则2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=π+2kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,
又x∈[-π,π],
可解得x=-,-,,,
所以x的取值集合为.
[能力挑战]
11.[2020·安徽芜湖一中月考]函数y=cos2x+sin x(-≤x≤)最大值与最小值之和为( )
A. B.2
C.0 D.
解析:y=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1,设t=sin x,则y=-t2+t+1,∵-≤
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x≤,∴-≤t≤,∵y=-t2+t+1在区间[-,]上是增函数,∴当t=-时,y最小为,当t=时,y最大为,∴最大值与最小值的和为,故选A.
答案:A
12.[2020·辽宁瓦房店三中月考]函数y=2sin (-2x)的单调递增区间是( )
A.[kπ-,kπ+](k∈Z)
B.[kπ+,kπ+](k∈Z)
C.[kπ-,kπ+](k∈Z)
D.[kπ+,kπ+](k∈Z)
解析:通解 由2nπ+≤-2x≤2nπ+(n∈Z),得-nπ-≤x≤-nπ-(n∈Z),令k=-n,得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z),又区间[kπ-,kπ-](k∈Z)和区间[kπ+,kπ+](k∈Z)相差一个周期π,∴函数y=2sin(-2x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z),故选B.
解法一 ∵y=2sin(-2x)=-2sin(2x-),∴求函数y=2sin-2x的单调递增区间即求函数t=sin(2x-)的单调递减区间,由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数y=2sin(-2x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z),故选B.
解法二 函数y=2sin(-2x)单调递增区间的左端点值对应的函数值是函数的最小值,区间长度为一个周期π,经验证每一个选项的区间长度均为一个周期π,只有区间左端点x=kπ+(k∈Z)的相应函数值是函数的最小值-2,∴函数y=2sin(-2x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z),故选B.
答案:B
13.[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f(x)=sin |x|+|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
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②f(x)在区间单调递增
③f(x)在[-π,π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
解析:通解 f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)为偶函数,故①正确;当
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