2014高考陕西（理科数学）试卷
2014·陕西卷(理科数学)
1．[2014·陕西卷] 设集合 M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则 M∩N＝( )
A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1)
1．B [解析] 由 M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1
0，ω>0)的周期为 T＝
2π
ω ，故函数 f(x)的最
小正周期 T＝
2π
2 ＝π.
3．[2014·陕西卷] 定积分∫1
0(2x＋ex)dx 的值为( )
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
3．C [解析] ∫1
0(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e.
图 11
4．[2014·陕西卷] 根据如图 11 所示的框图，对大于 2 的整数 N，输出的数列的通项公
式是( )
A．an＝2n
B．an＝2(n－1)
C．an＝2n
D．an＝2n－1
4．C [解析] 阅读题中所给的程序框图可知，对大于 2 的整数 N，输出数列：2，2×2
＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N－1＝2N，故其通项公式为 an＝2n.
5．[2014·陕西卷] 已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面
上，则该球的体积为( )
A.
32π
3 B．4π C．2π D.
4π
3
5．D [解析] 设该球的半径为 R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对
角线长，可得(2R)2＝( 2)2＋12＋12，解得 R＝1，所以该球的体积为 V＝
4
3πR3＝
4
3π.
6．[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的
距离不小于该正方形边长的概率为 ( )
A.
1
5 B.
2
5 C.
3
5 D.
4
5
6．C [解析] 利用古典概型的特点可知从 5 个点中选取 2 个点的全部情况有 C 25＝
10(种)，选取的 2 个点的距离不小于该正方形边长的情况有：选取的 2 个点的连线为正方形
的 4 条边长和 2 条对角线长，共有 6 种．故所求概率 P＝
6
10＝
3
5.
7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x1
2 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝(1
2 ) x
D．f(x)＝3x
7．B [解析] 由于 f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项 A，C.又 f(x)＝(1
2 ) x
为单调递减函
数，所以排除选项 D.
8．[2014·陕西卷] 原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否
命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
8．B [解析] 设 z1＝a＋bi，z2＝a－bi，且 a，b∈R，则|z1|＝|z2|＝ a2＋b2，故原命题为
真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当 z1＝2＋i，z2＝－2＋i 时，满足|z1|＝|z2|，此时
z1，z2 不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．
9．[2014·陕西卷] 设样本数据 x1，x2，…，x10 的均值和方差分别为 1 和 4，若 yi＝xi＋a(a
为非零常数，i＝1，2，…，10)，则 y1，y2，…，y10 的均值和方差分别为( )
A．1＋a，4 B．1＋a，4＋a
C．1，4 D．1，4＋a
9．A [解析] 由题意可知
x1＋x2＋x3＋…＋x10
10 ＝1，故 y－
＝
（x1＋x2＋x3＋…＋x10）＋10a
10
＝1＋a.数据 x1，x2，…，x10 同时增加一个定值，方差不变．故选 A.
10．[2014·陕西卷] 如图 12，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 A 的水平
距离 10 千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析
式为 ( )
图 12
A．y＝
1
125x3－
3
5x B．y＝
2
125x3－
4
5x
C．y＝
3
125x3－x D．y＝－
3
125x3＋
1
5x
10．A [解析] 设该三次函数的解析式为 y＝ax 3＋bx2＋cx＋d.因为函数的图像经过点
(0，0)，所以 d＝0，所以 y＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函
数，故 b＝0，所以 y＝ax3＋cx，代入点(－5，2)得－125a－5c＝2.又由该函数的图像在点(－
5，2)处的切线平行于 x 轴，y′＝3ax2＋c，得当 x＝－5 时，y′＝75a＋c＝0.联立{－125a－5c＝2，
75a＋c＝0，
解得{a＝ 1
125，
c＝－3
5.
故该三次函数的解析式为 y＝
1
125x3－
3
5x.
11．[2014·陕西卷] 已知 4a＝2，lg x＝a，则 x＝________．
11. 10 [解析] 由 4a＝2，得 a＝
1
2，代入 lg x＝a，得 lg x＝
1
2，那么 x＝10
1
2 ＝ 10.
12．[2014·陕西卷] 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1，0)关于直线 y＝x 对称，则圆 C
的标准方程为________．
12．x2＋(y－1)2＝1 [解析] 由圆 C 的圆心与点(1，0)关于直线 y＝x 对称，得圆 C 的圆
心为(0，1)．又因为圆 C 的半径为 1，所以圆 C 的标准方程为 x2＋(y－1)2＝1.
13．[2014·陕西卷] 设 0<θ<
π
2 ，向量 a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若 a∥b，
则 tan θ＝________．
13.
1
2 [解析] 因为向量 a∥b，所以 sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又 cos θ≠0，所以 2sin
θ＝cos θ，故 tan θ＝
1
2.
14．[2014·陕西卷] 观察分析下表中的数据：
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中 F，V，E 所满足的等式是________．
14．F＋V－E＝2 [解析] 由题中所给的三组数据，可得 5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6
＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数 V、面数 F 及棱数 E 所满足的等式是 F
＋V－E＝2.
15．[2014·陕西卷] A．(不等式选做题)设 a，b，m，n∈R，且 a 2＋b2＝5，ma＋nb＝5，
则 m2＋n2的最小值为________．
图 13
B．(几何证明选做题)如图 13，△ABC 中，BC＝6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC
于点 E，F，若 AC＝2AE，则 EF＝________．
C．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点(2，π
6 )到直线 ρsin(θ－π
6 )＝1 的距离
是________．
15．A. 5 B．3 C．1 [解析] A．由柯西不等式可知(a 2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，
代入数据，得 m2＋n2≥5，当且仅当 an＝bm 时，等号成立，故 m2＋n2 的最小值为 5.
B．由题意，可知∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△AEF∽ACB，所以
AE
AC＝
EF
BC.因为 AC
＝2AE，BC＝6，所以 EF＝3.
C．点(2，π
6 )的极坐标可化为 x＝ρcos θ＝2cos
π
6 ＝ 3，y＝ρsin θ＝2sin
π
6 ＝1，即点
(2，π
6 )在平面直角坐标系中的坐标为( 3，1)．直线 ρsin(θ－π
6 )＝ρsin θcos
π
6 －ρcos θsin
π
6 ＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为 x－ 3y＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距
离为 d＝
| 3－ 3＋2|
12＋（－ 3）2
＝1.
16．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
(1)若 a，b，c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值．
16．解：(1)∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得 sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac.
由余弦定理得
cos B＝
a2＋c2－b2
2ac ＝
a2＋c2－ac
2ac ≥
2ac－ac
2ac ＝
1
2，
当且仅当 a＝c 时等号成立，
∴cos B 的最小值为
1
2.
17．[2014·陕西卷] 四面体 ABCD 及其三视图如图 14 所示，过棱 AB 的中点 E 作平行
于 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 BD，DC，CA 于点 F，G，H.
(1)证明：四边形 EFGH 是矩形；
(2)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 θ 的正弦值．
图 14
17．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，
BD＝DC＝2，AD＝1.
由题设，BC∥平面 EFGH，
平面 EFGH∩平面 BDC＝FG，
平面 EFGH∩平面 ABC＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理 EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面 BDC，
∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，
∴四边形 EFGH 是矩形．
(2)方法一：如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(0，0，1)，
B(2，0，0)，C(0，2，0)，
DA＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，
BA＝(－2，0，1)．
设平面 EFGH 的法向量 n＝(x，y，z)，
∵EF∥AD，FG∥BC，
∴n·DA＝0，n·BC＝0，
得{z＝0，
－2x＋2y＝0，取 n＝(1，1，0)，
∴sin θ＝|cos〈BA
→
，n〉|＝|BA·n
|BA||n||＝
2
5 × 2＝
10
5 .
方法二：如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
∵E 是 AB 的中点，∴F，G 分别为 BD，DC 的中点，得 E (1，0，1
2)，F(1，0，0)，
G(0，1，0)．
∴FE→
＝(0，0，1
2)，FG＝(－1，1，0)，
BA＝(－2，0，1)．
设平面 EFGH 的法向量 n＝(x，y，z)，
则 n·FE＝0，n·FG＝0，
得{1
2z＝0，
－x＋y＝0，
取 n＝(1，1，0)，
∴sin θ＝|cos〈BA→
，n〉|＝|BA·n
|BA
→
||n||＝
2
5 × 2＝
10
5 .
18．，[2014·陕西卷] 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点
P(x，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA→
＋PB→
＋PC→
＝0，求|OP→
|；
(2)设OP→
＝mAB→
＋nAC→
(m，n∈R)，用 x，y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值．
18．解：(1)方法一：∵PA→
＋PB→
＋PC→
＝0，
又PA→
＋PB→
＋PC→
＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
∴{6－3x＝0，
6－3y＝0，解得{x＝2，
y＝2，
即OP→
＝(2，2)，故|OP→
|＝2 2.
方法二：∵PA→
＋PB→
＋PC→
＝0，
则(OA→
－OP→
)＋(OB→
－OP→
)＋(OC→
－OP→
)＝0，
∴OP→
＝
1
3(OA→
＋OB→
＋OC→
)＝(2，2)，
∴|OP→
|＝2 2.
(2)∵OP→
＝mAB
→
＋nAC→
，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴{x＝m＋2n，
y＝2m＋n，
两式相减得，m－n＝y－x，
令 y－x＝t，由图知，当直线 y＝x＋t 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 m－n 的最大
值为 1.
19．，[2014·陕西卷] 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的
市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 300 500
概 率 0.5 0.5
作物市场价格(元/kg) 6 10
概 率 0.4 0.6
(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；
(2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的
概率．
19．解：(1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元
/kg”，
由题设知 P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
∵利润＝产量×市场价格－成本，
∴X 所有可能的取值为
500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，
300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.
P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以 X 的分布列为
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i＝1，2，3)，
由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，
3 季的利润均不少于 2000 元的概率为
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为
P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，
所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512＋0.384＝0.896.
20．，，[2014·陕西卷] 如图 15 所示，曲线 C 由上半椭圆 C 1：
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0，y≥0)
和部分抛物线 C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的离心率
为
3
2 .
(1)求 a，b 的值；
(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q(均异于点 A，B)，若 AP⊥AQ，求直线 l
的方程．
图 15
20．解：(1)在 C1，C2 的方程中，令 y＝0，可得 b＝1，且 A(－1，0)，B(1，0)是上半椭
圆 C1 的左、右顶点．
设 C1 的半焦距为 c，由
c
a＝
3
2 及 a2－c2＝b2＝1 得 a＝2，
∴a＝2，b＝1.
(2)方法一：由(1)知，上半椭圆 C1 的方程为y2
4＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，
代入 C1 的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)
设点 P 的坐标为(xP，yP)，
∵直线 l 过点 B，∴x＝1 是方程(*)的一个根．
由求根公式，得 xP＝
k2－4
k2＋4，从而 yP＝
－8k
k2＋4，
∴点 P 的坐标为(k2－4
k2＋4， －8k
k2＋4).
同理，由{y＝k（x－1）（k ≠ 0），
y＝－x2＋1（y ≤ 0），
得点 Q 的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴AP→
＝
2k
k2＋4(k，－4)，AQ
→
＝－k(1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，
∴AP·AQ＝0，即
－2k2
k2＋4[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，
∴k－4(k＋2)＝0，解得 k＝－
8
3.
经检验，k＝－
8
3符合题意，
故直线 l 的方程为 y＝－
8
3(x－1)．
方法二：若设直线 l 的方程为 x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．
21．[2014·陕西卷] 设函数 f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中 f′(x)是 f(x)的导函
数．
(1)令 g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求 gn(x)的表达式；
(2)若 f(x)≥ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；
(3)设 n∈N＋，比较 g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与 n－f(n)的大小，并加以证明．
21．解：由题设得，g(x)＝
x
1＋x(x≥0)．
(1)由已知，g1(x)＝
x
1＋x，
g2(x)＝g(g1(x))＝
x
1＋x
1＋ x
1＋x
＝ x
1＋2x，
g3(x)＝
x
1＋3x，…，可得 gn(x)＝ x
1＋nx.
下面用数学归纳法证明．
①当 n＝1 时，g1(x)＝
x
1＋x，结论成立．
②假设 n＝k 时结论成立，即 gk(x)＝
x
1＋kx.
那么，当 n＝k＋1 时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝
gk（x）
1＋gk（x）＝
x
1＋kx
1＋ x
1＋kx
＝
x
1＋（k＋1）x，即结
论成立．
由①②可知，结论对 n∈N＋成立．
(2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立，即 ln(1＋x)≥
ax
1＋x恒成立．
设 φ(x)＝ln(1＋x)－
ax
1＋x(x≥0)，
则 φ′(x)＝
1
1＋x－
a
（1＋x）2＝
x＋1－a
（1＋x）2，
当 a≤1 时，φ′(x)≥0(仅当 x＝0，a＝1 时等号成立)，
∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又 φ(0)＝0，
∴φ(x)≥0 在[0，＋∞)上恒成立，
∴a≤1 时，ln(1＋x)≥
ax
1＋x恒成立(仅当 x＝0 时等号成立)．
当 a>1 时，对 x∈(0，a－1]有 φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即 a>1 时，存在 x>0，使 φ(x)<0，
故知 ln(1＋x)≥
ax
1＋x不恒成立．
综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．
(3)由题设知 g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝
1
2＋
2
3＋…＋ n
n＋1，
比较结果为 g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．
证明如下：
方法一：上述不等式等价于
1
2＋
1
3＋…＋
1
n＋1
x
1＋x，x>0.
令 x＝
1
n，n∈N＋，则
1
n＋1
x
1＋x，x>0.
令 x＝
1
n，n∈N＋，则 ln
n＋1
n >
1
n＋1.
故有 ln 2－ln 1>
1
2，
ln 3－ln 2>
1
3，
……
ln(n＋1)－ln n>
1
n＋1，
上述各式相加可得 ln(n＋1)>
1
2＋
1
3＋…＋
1
n＋1，
结论得证．
方法三：如图，∫n
0
x
x＋1dx 是由曲线 y＝
x
x＋1，x＝n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积，
而
1
2＋
2
3＋…＋
n
n＋1是图中所示各矩形的面积和，
∴
1
2＋
2
3＋…＋
n
n＋1>∫n
0
x
x＋1dx＝
∫n
0(1－ 1
x＋1)dx＝n－ln(n＋1)，
结论得证．
