北京市房山区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

北京市房山区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

‎2019北京房山高二（下）期末 数学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回，试卷自行保存。‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为 A. （0，2） B. （2，0） C. （0，4） D. （4，0）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标．‎ ‎【详解】由题意，，∴焦点在轴正方向上，坐标为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．‎ ‎2.复数的共轭复数是 A. -1+i B. -1-i C. 1+i D. 1-i ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数为标准形式，然后写出共轭复数．‎ ‎【详解】，其共轭复数为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．‎ ‎3.已知双曲线的离心率为，则m=‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离心率公式计算．‎ ‎【详解】由题意，∴，解得．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．‎ ‎4.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的线性运算的法则计算．‎ ‎【详解】-＝，，‎ ‎∴+（-）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．‎ ‎5.若=（4，2，3）是直线l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是 A. 垂直 B. 平行 C. 直线l在平面α内 D. 相交但不垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系．‎ ‎【详解】显然与不平行，因此直线与平面不垂直，又，即与不垂直，从而直线与平面不平行，故直线与平面相交但不垂直．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系．‎ ‎6.“m≠‎0”‎是“方程=m表示的曲线为双曲线”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的标准方程进行判断．‎ ‎【详解】时，方程表示两条直线，时，方程可化为，时表示焦点在轴上的双曲线，时表示焦点在轴上的双曲线．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程．‎ ‎7.如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是 A. 平面平面 B. 的取值范围是（0，]‎ C. 的体积为定值 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面位置关系进行判断．‎ ‎【详解】∵平面，∴平面平面，A正确；‎ 若是上靠近的一个四等分点，可证此时为钝角，B错；‎ 由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确；‎ 在平面上的射影是直线，而，因此，D正确．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．‎ ‎8.设F是椭圆=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点（i=1,2,3,···），，，···组成公差为d（d>0）的等差数列，则d的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆点到的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．‎ ‎【详解】椭圆中，而的最大值为，最小值为，‎ ‎∴，．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大．‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.已知a,b∈R,i是虚数单位，（a+bi）i=2+3i，则a=____________,b=____________‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). -2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出．‎ ‎【详解】由题意，∴，．‎ 故答案（1）3；（2）－2．‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的概念，属于基础题．‎ ‎10.在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），N（-1，1，2），则线段MN的长度为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两点间距离公式计算．‎ ‎【详解】．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查空间两点间距离公式，属于基础题．‎ ‎11.若双曲线的渐近线方程为y=±x，则满足条件的一个双曲线的方程为____________‎ ‎【答案】=1（答案不唯一）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线标准方程与渐近线方程的关系可得．‎ ‎【详解】渐近线方程为y=±x的双曲线方程为，则就是其中之一．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质：渐近线，与双曲线共渐近线的双曲线方程为，此方程对焦点没有要求，即焦点可在轴上，也可在轴上．‎ ‎12.如图，在长方形ABCD-中，设AD=A=1，AB=2，则·等于____________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选取为基底，把其它向量都用基底表示后计算．‎ ‎【详解】由题意 ‎．‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的数量积，解题关键是选取基底，把向量用基底表示后再进行计算．‎ ‎13.已知椭圆（a>b>0）的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠是钝角，则满足条件的一个e的值为____________‎ ‎【答案】（答案不唯一，==-·‎ 则平面AD与平面AC所成锐二面角的余弦值为 ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定与线面平行的判定，考查用向量法求二面角．立体几何中线面间的平行与垂直一般用判定定理进行证明，而求空间角一般用空间向量法求解．‎ ‎17.已知抛物线C：=2px（p>0）的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点 ‎（I）求抛物线C的方程；‎ ‎（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2）,求的最小值；‎ ‎（III）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（II）4（III）线段MN中点的坐标为（）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由准线方程求得，可得抛物线标准方程．‎ ‎（II）把转化为到准线的距离，可得三点共线时得所求最小值．‎ ‎（III）写出直线方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．‎ ‎【详解】（I）∵准线方程x=-,得=1，‎ ‎∴抛物线C的方程为 ‎（II）过点P作准线的垂线，垂直为B，则=‎ 要使+的最小，则P，A，B三点共线 此时+=+=4·‎ ‎（III）直线MN的方程为y=x-·‎ 设M（），N（），把y=x-代入抛物线方程,得-3x+=0‎ ‎∵△=9-4×1×＝8＞0‎ ‎∴+=3，=‎ 线段MN中点的横坐标为，纵坐标为 线段MN中点的坐标为（）‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的距离．‎ ‎18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD=AD，E为棱PC中点 ‎（I）证明：平面PBC⊥平面PCD；‎ ‎（II）求直线DE与平面PAC所成角的正弦值；‎ ‎（III）若F为AD的中点，在棱PB上是否存在点M，使得FM⊥BD？若存在，求的值，若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（II）（III）存在，=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由面面垂直的性质定理得PD⊥底面ABCD，从而可得BC⊥平面PCD，然后可证得面面垂直；‎ ‎（II）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，平面的法向量和直线的方向向量的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦；‎ ‎（III）设=λ（0≤λ≤1），由求得即可．‎ ‎【详解】（I）∵平面PAD⊥底面ABCD，又PD⊥AD，‎ ‎∴PD⊥底面ABCD ‎∴PD⊥BC 又∵底面ABCD为正方形，BC⊥CD ‎∴BC⊥平面PCD ‎∴平面PBC⊥平面PCD，‎ ‎（II）由（I）知，PD⊥底面ABCD，AD⊥CD 如图以点D为原点建立空间直角坐标系 不妨设PD=AD=2，可得D（0，0，0），A（2，0，0，），C（0，2，0），P（0，0，2），‎ 由E为棱PC的中点，得E（0，1，1），‎ 向量=（-2，2，0），=（2，0，-2），设=(x,y,z)为平面PAC的法向量，则 ‎，即 不妨令x=1,可得=（1，1，1）为平面PAC的一个法向量 设直线DE与平面PAC所成角为θ 所以sinθ==‎ 所以，直线DE与平面PAC所成角的正弦值为 ‎（III）向量=（-2，-2，2），=（2，2，0），=（1，2，0）‎ 由点M在棱PB上，设=λ（0≤λ≤1）‎ 故=+=（1-2λ，2-2λ，2λ）‎ 由FM⊥DB，得·=0‎ 因此（1-2λ）×2+（2-2λ）×2=0‎ 解得λ=，所以=‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直 判定与性质，考查直线与平面所成的角，考查立体几何中的存在性问题．解题时要注意线面间的位置关系的证明需用相应的判定定理和性质定理去证明，用求空间的角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等）一般用空间向量法求解，这就要求先建立空间直角坐标系．‎ ‎19.已知椭圆M：=1（a>b>c）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2.若直线y=x+m与椭圆M有两个不同的交点A，B ‎（I）求椭圆M的方程；‎ ‎（II）将表示为m的函数，并求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）‎ ‎【答案】（Ⅰ）=1（II），（-20,即<4‎ 解得：-20‎ ‎∴+‎ 则+=-‎ 由四边形OMEN为平行四边形，得到 ‎∴E（-）‎ 把点E坐标代入曲线C的方程得：-4=0，解得 ‎∴直线l的方程为 ‎【点睛】本题考查求曲线方程，方法是直接法，考查椭圆中的存在性问题，解题方法是设而不求法，即设交点坐标为，设直线l的方程为，代入椭圆方程后用韦达定理，再把此结论代入题意存在的点所满足的几何条件求出参数即可．‎