2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十椭圆新人教B版 0
核心素养测评五十 椭圆
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·北京高考)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则 ( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
【解析】选B.离心率平方e2===,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.
2.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为 ( )
A.(-3,0) B.(-4,0)
C.(-10,0) D.(-5,0)
【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3,又b=4,所以a==5,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).
3.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为 ( )
A.8 B.6 C.5 D.4
【解析】选A.椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,
所以b===4,则椭圆短轴长为2b=8.
4.(多选)(2020·青岛模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,
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短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点,则下列说法正确的是 ( )
A.椭圆C的方程为+x2=1
B.椭圆C的方程为+y2=1
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周长为4
【解析】选ACD.由已知得,2b=2,b=1,=,
又a2=b2+c2,解得a2=3.
所以椭圆方程为x2+=1.
如图:
所以|PQ|===,△PF2Q的周长为4a=4.
5.已知点P(x1,y1)是椭圆+=1上一点,F1,F2是左、右焦点,若∠F1PF2取最大值时,则△PF1F2的面积是 ( )
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A. B.12
C.16(2+) D.16(2-)
【解析】选B.因为椭圆方程+=1,
所以a=5,b=4,c==3,
因此,椭圆的焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0),
根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2取最大值,
则此时△PF1F2的面积S=2××3×4=12.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·南阳模拟)已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,过点F且倾斜角为120°的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若△POF为正三角形,则椭圆C的离心率为__________.
【解析】因为|OF|=c,△POF为正三角形,
所以|PO|=c,
则点P的坐标为,
故有
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整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-2,
所以e==-1.
答案:-1
7.以椭圆C:+=1在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为________;该双曲线的渐近线方程为________.
【解析】椭圆C:+=1在x轴上的顶点为(±,0),焦点为(±1,0),设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
可得a=1,c=,b=2,
可得x2-=1.
双曲线的渐近线方程为:y=±2x.
答案:x2-=1 y=±2x
8.点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是________.
【解析】不妨设圆M与椭圆相切于左焦点F,
设M(-c,yM),由圆的性质可知:|MF|=|MQ|=|MP|=|yM|,则=-c2,
即|PQ|2=4-4c2,由△MPQ为钝角三角形,即∠PMQ为钝角,
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则cos∠PMQ==<0,所以2c2-<0.
又因为M(-c,yM)在椭圆上,代入化简得=,故2c2-<0,
化简得-4+1>0,
即e4-4e2+1>0,解得e2<2-或e2>2+,又e∈(0,1),所以e2<2-,故0
b>0)的离心率e=,且椭圆C经过点(2,).
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的方程.
【解析】(1)由题意得解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为+=1.
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(2)由题意点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,
得+=0,AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得+=0,得kAB==-.
所以直线l的方程为y-1=-(x-2),即3x+2y-8=0.
10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.
(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.
(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.
【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,,
由
得+(y1-y2)(y1+y2)=0,
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所以 (x1-x2)+(y1-y2)=0⇒=-,
即kAB=-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.
(2)由题意知AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.
由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
x1+x2=-=2,即9k2+9km+1=0,①
因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,所以k<0,m>0,②
Δ=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)>0,
即9k2-m2+1>0,③
结合①②得m=(-k)+ ≥,当且仅当k=-时,取等号,此时,k=-,m=满足③.
所以直线AB在y轴上截距的最小值为.
(15分钟 35分)
1.(5分)(2020·济南模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( )
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
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【解析】选D.设圆M的半径为r,
则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,
故所求的轨迹方程为+=1.
2.(5分)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为
( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选B.如图,由已知可设=n,则=2n,==3n,由椭圆的定义有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在△AF1B中,
由余弦定理推论得cos∠F1AB==.
在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·
2n·2n·=4,解得n=.
所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,
所以所求椭圆方程为+=1.
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3.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,直线l:2x-y=0交椭圆C于A,B两点,且|AF|+|BF|=6,若点F到直线l的距离不小于2,则椭圆C的离心率e的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.设F1是椭圆的左焦点,由于直线l:2x-y=0过原点,因此A,B两点关于原点对称,所以四边形AF1BF是平行四边形,所以|BF1|+|BF|=|AF|+|BF|=6,即2a=6,a=3,点F(c,0)到直线l的距离d=≥2,所以c≥,又cb>0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若∠AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.
【解析】(1)依题意有
解得
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所以所求椭圆C的方程为+=1.
(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=x+m.由
得x2+2mx+2m2-4=0.
因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,
解得-20,
所以f(t)在[1,+∞)上递增,
f(t)min=f(1)=16,
故m=0时,四边形ABCD面积取最大值6.
1.设点P为椭圆C:+=1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,则△GPF1的面积为 ( )
A.24 B.12 C.8 D.6
【解析】选C.因为点P为椭圆C上一点,|PF1|∶|PF2|=3∶4,|PF1|+|PF2|=2a=14,
所以|PF1|=6,|PF2|=8,又因为|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2是直角三角形,
=×|PF1|·|PF2|=24,因为△PF1F2的重心为点G,
所以=3,
所以△GPF1的面积为8.
2.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是 ( )
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A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选C.由题意知,c=1,a2-b2=1,故可设椭圆的方程为+=1,离心率的平方为①,
因为直线x-y+3=0与椭圆有公共点,将直线方程代入椭圆方程得(2b2+1)x2+6(b2+1)x+8b2+9-b4=0,
由Δ=36(b4+2b2+1)-4(2b2+1)(8b2+9-b4)≥0,所以b4-3b2-4≥0,解得b2≥4,
所以b2的最小值为4,所以①的最大值为,
此时a2=b2+1=5,
所以离心率最大的椭圆方程为+=1.
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