2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用补集的定义求出，再利用交集的定义得出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集和交集的混合运算，要充分理解补集和交集的定义，在求解无限数集之间的运算时，可以利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题．故本题答案选．‎ ‎3．若函数，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用分段函数的解析式先计算出的值，再计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，因此，‎ ‎，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数值的计算，解题时要充分利用分段函数的解析式，对于多层函数值的计算，采用由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4．若是不全相等的实数，求证：．‎ 证明过程如下：‎ ‎，，，，‎ 又不全相等，‎ 以上三式至少有一个“”不成立，‎ 将以上三式相加得，‎ ‎．‎ 此证法是（ ）‎ A．分析法 B．综合法 C．分析法与综合法并用 D．反证法 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 因为，综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，所以，本题用的是综合法，故选B.‎ ‎5．已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）‎ A.可以预测，当时， B.‎ C.变量、之间呈负相关关系 D.该回归直线必过点 ‎【答案】B ‎【解析】将的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；将的坐标代入回归直线方程可计算出实数 的值，可判断出B选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误；根据回归直线过点可判断出D选项的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，当时，，A选项正确；‎ 对于B选项，，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，B选项错误；‎ 对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量、之间呈负相关关系，C选项正确；‎ 对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项正确.故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．设，，，则、、的大小顺序为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小，从而可得出这三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于指数函数为增函数，则.‎ 由于对数函数在上为增函数，则，即.‎ 由于对数函数在上为增函数，则，即.‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用中间值、，结合指数函数和对数函数的单调性来得出各数的大小关系，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎7．函数的图象大致为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.‎ ‎【详解】‎ 根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.‎ ‎8．已知是定义在上的函数，满足，，当时，，则函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知，函数是以为周期的周期函数，且为奇函数，求出函数在区间上的最大值即可作为函数在上的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，则函数为奇函数，则.‎ 由，所以，函数是以为周期的周期函数，‎ 且，又，所以，.‎ 当时，，‎ 那么当时，，‎ 所以，函数在区间上的值域为，‎ 因此，函数的最大值为，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、周期性与函数的最值，解题时要充分注意函数的最值与单调性、周期性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9．函数为上的偶函数，且在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】将不等式变为，由偶函数的性质得出，由函数在上单调递减得出，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，由得，‎ 由于函数为偶函数，则，，‎ 函数在上单调递减，，可得或，‎ 解得或，因此，满足的的取值范围是，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，同时也考查了对数不等式的求解，在解题时，若函数为偶函数，可利用性质，可将问题转化为函数在上的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10．设函数，则零点的个数为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】在同一坐标系中作出函数和函数的图象，观察两个函数的交点个数，可得出函数的零点个数.‎ ‎【详解】‎ 令，得，即，‎ 则函数的零点个数等于函数和函数的交点个数，‎ 在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：‎ 由上图可知，函数和函数有两个交点，‎ 因此，函数的零点个数为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法：‎ ‎（1）代数法：解方程的根；‎ ‎（2）图象法：求函数的零点个数，可转化为两个函数和函数图象的交点个数.‎ ‎11．已知幂函数的图象过点，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，然后再计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 设，由题意可的，即，，则，‎ 所以，，‎ 因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12．已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】在函数分别令和，可得出建立关于和的方程组，求出这两个值，可得出函数的解析式，再利用导数求出函数的最小值，可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，，‎ 存在实数使得不等式成立，.‎ ‎，令，得，由于函数单调递增，‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，‎ ‎，因此，实数的取值范围是，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解，同时也考查了利用导数研究不等式能成立问题，转化技巧如下：‎ ‎（1），（或）（或）；‎ ‎（2），（或）（或）.‎ 二、填空题 ‎13．函数在上的最大值与最小值的和为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】判断出函数在上的单调性，可求出该函数的最大值和最小值，相加即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由于函数在上单调递减，则该函数的最大值为 ‎，最小值为，‎ 因此，函数在上的最大值与最小值的和为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数在区间上最值的求解，解题时要充分分析函数的单调性，利用函数单调性得出函数的最大值和最小值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎14．函数的单调递增区间为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过换元，找到内外层函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法，得到单调区间.‎ ‎【详解】‎ 函数，设t=,函数化为，外层函数是减函数，要求整个函数的增区间，只需要求内层函数的减区间，即t=的减区间，为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了复合函数单调区间的求法，满足同增异减的规则，难度中等.‎ ‎15．现有如下假设：‎ 所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.‎ 下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号）‎ ‎①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险 ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险 ‎∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确；‎ ‎∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工 ‎∴有些女工投了健康保险，故②正确；‎ ‎∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险 ‎∴有些女工没有投健康保险，故③正确；‎ ‎∵所有工会成员都投了健康保险 ‎∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误.‎ 故答案为①②③.‎ ‎16．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.‎ 当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，‎ ‎13，f′(x)>0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1.‎ 三、解答题 ‎17．（Ⅰ）若，求，；‎ ‎（Ⅱ）在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用复数的乘法法则可得出复数，再利用共轭复数的定义和模长公式可求出和；‎ ‎（Ⅱ）根据题意得出，解出这个不等式组可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），‎ 因此，，；‎ ‎（Ⅱ）由已知得：，解得，或.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的乘法、共轭复数、复数的模以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．设，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值及的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），的定义域为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用可求出实数的值，再由真数大于零可求出函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设，求出在上的取值范围，再由对数函数的单调性得出函数在区间上的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由得，解得，‎ 由得，因此，函数的定义域为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 令，由得，‎ 则原函数为，，由于该函数在上单调递减，‎ 所以，因此，函数在区间上的最小值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的计算、对数函数的定义域以及对数型复合函数的最值，对于对数型复合函数的最值，要求出真数的取值范围，并结合同底数的对数函数单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在分以下的学生后，共有男生名，女生名.现采用分层抽样的方法，从中抽取了名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为组，得到如下所示频数分布表.‎ 分数段 男 女 ‎（Ⅰ）规定分以上为优分（含分），请你根据已知条件作出列联表.‎ 优分 非优分 合计 男生 女生 合计 ‎（Ⅱ）根据你作出的列联表判断是否有以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.‎ 附表及公式：‎ ‎，其中.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）没有.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由分以上为优分并结合表格中的数据可得出列联表；‎ ‎（Ⅱ）根据列联表中的数据计算出的观测值，再将观测值与进行大小比较，可对题中的结论正误进行判断.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由已知得列联表如下：‎ 优分 非优分 合计 男生 女生 合计 ‎（Ⅱ），‎ 因为，所以没有以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查列联表的完善以及独立性检验基本思想的应用，解题的关键就是结合的计算公式以及临界值表，计算出犯错误的概率，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围.‎ 试题解析：．‎ ‎（Ⅰ）由题意得，解得．‎ ‎（Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，‎ ‎∴关于的方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴即 ‎∴‎ ‎∴a的取值范围是 ‎【考点】导数的几何意义.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数与图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数的增区间为，减区间；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后分别解不等式和可得出函数的增区间和减区间；‎ ‎（Ⅱ）令得出，问题转化为：当直线与函数在区间上的图象有两个交点时，求实数的取值范围，并利用导数分析函数在区间上的单调性、极值和端点函数值，利用数形结合思想可得出实数的取值范围，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，，定义域为，‎ 且.‎ 令，即，解得；‎ 令，即，解得.‎ 因此，函数的增区间为，减区间；‎ ‎（Ⅱ）由已知得：在有两个不相等的实数根.‎ 令，，由得.‎ 当时，，此时，函数为减函数；‎ 当时，，此时，函数为增函数.‎ 所以，函数在处取得极小值，‎ 又，且，‎ 当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题，在求解含单参数的函数零点个数问题时，可充分利用参变量分离法转化为参数直线与定函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎22．以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）在曲线的极坐标方程两边同时乘以，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设、在直线上对应的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，列出和，由可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，‎ 曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）设、在直线上对应的参数分别为、，‎ 将直线的参数方程代入，整理得，‎ 则，，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查直线截圆所得弦长的计算，可将直线的参数方程与圆的普通方程联立，利用的几何意义结合韦达定理求解，也可以计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理计算出弦长，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，然后分、和三种情况分别解不等式，可得出该不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）由题意得出，然后利用绝对值三角不等式求出函数的最小值，解出不等式，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）若，，即，‎ 当时，，即有；‎ 当时，，不成立；‎ 当时，，解得.‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2），使得成立，即有，‎ 由绝对值三角不等式可得，‎ 则，即，解得.‎ 因此，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式成立中的参数取值范围的求解，要结合已知条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎