高考文科数学复习：夯基提能作业本 (35)
第三节 函数的奇偶性与周期性
A组 基础题组
1.下列函数为奇函数的是( )
A.y=x B.y=ex
C.y=cos x D.y=ex-e-x
2.(2017湖北襄阳模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是( )
A.y=-1x B.y=3-x-3x
C.y=x|x| D.y=x3-x
3.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是( )
A.-∞,12 B.-∞,12∪32,+∞
C.12,32 D.32,+∞
5.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时, f(x)=2x(1-x),则f52的值为( )
A.12 B.14 C.-14 D.-12
6.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时,
f x+12=f x-12.则f(6)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
7.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0
f(a),则实数a的取值范围是 .
10.已知函数f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
11.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时, f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;
(3)写出在(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.
B组 提升题组
12.(2016安徽江南十校联考)设f(x)=x+sin x(x∈R),则下列说法错误··的是( )
A.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上单调递增
C.f(x)的值域为R D.f(x)是周期函数
13.(2016吉林长春模拟)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f23π6=( )
A.12 B.32 C.0 D.-12
14.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )
A.13,1 B.-∞,13∪(1,+∞)
C.-13,13 D.-∞,-13∪13,+∞
15.(2015广东惠州六校联考)定义在R上的奇函数f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x)分别满足f(x)=2x-1(0≤x<1),1x(x≥1),g(x)=log2x(x>0),若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则实数b的取值范围是( )
A.[-2,2] B.-2,-12∪12,2
C.-12,0∪0,12 D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
16.(2016安徽芜湖一中月考)设f(x)是定义在实数R上的函数,若y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时, f(x)=12x-1,则f23, f32, f13的大小关系是( )
A.f23>f32>f13 B.f23>f13>f32
C.f32>f23>f13 D.f13>f32>f23
17.设f (x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上, f (x)=ax+1,-1≤x<0,bx+2x+1,0≤x≤1,其中a,b∈R.若f 12=f 32,则a+3b的值为 .
18.(2016内蒙古包头九中期中)若关于x的函数f(x)=tx2+2x+t2+sinxx2+t(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为 .
19.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时, f(x)=12x,求在[0,2 014]上使f(x)=-12的所有x的个数.
答案全解全析
A组 基础题组
1.D 对于A,定义域不关于原点对称,则y=x既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于B,y=ex既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于C,y=cos x是偶函数,故不符合要求;对于D,令y=f(x)=ex-e-x.∵f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),∴y=ex-e-x为奇函数,故选D.
2.C 对于A,y=f(x)=-1x的定义域为{x|x≠0},满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上不单调;
对于B,y=f(x)=3-x-3x的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上是单调减函数;
对于C,y=f(x)=x|x|的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,是定义域R上的单调增函数,满足题意;
对于D,y=f(x)=x3-x的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在R上不是单调函数.故选C.
3.B 由已知得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),则有-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,解得g(1)=3.
4.C ∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=f(2),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f(2).故有2|a-1|<2,即|a-1|<12,解得1212时,由f x+12=f x-12可得当x>0时, f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故选D.
7.答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,
又∵f(x)的周期为2,
∴f(2)=0,
又∵f-52=f-12=-f12=-412=-2,
∴f-52+f(2)=-2.
8.答案 -28
解析 ∵函数f(x)=x2+3x(x≥0),g(x)(x<0)为奇函数,
∴g(x)=-f(-x)=-(x2-3x)=-x2+3x,
∴g(-1)=-1-3=-4,
∴f(g(-1))=f(-4)=g(-4)=-16-12=-28.
9.答案 (-2,1)
解析 ∵f(x)是奇函数,∴当x<0时, f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,所以由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-20,
所以f(x)=x2+mx, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知a-2>-1,a-2≤1,
所以10时, f(x)=ln(1+x)-11+x2,
∴f '(x)=11+x+2x(1+x2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),
∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13f32>f13.
17.答案 -10
解析 ∵T=2,
∴f32=f-12=-12a+1.
∵f12=12b+212+1=b+43,
f32=f12,
∴-12a+1=b+43,
∴32a+b=-1.①
又由题意知f(1)=f(-1),
∴b+22=-a+1,∴b=-2a.②
由①②解得a=2,b=-4,
∴a+3b=-10.
18.答案 2
解析 f(x)=tx2+2x+t2+sinxx2+t=t+2x+sinxx2+t,易知函数y=2x+sinxx2+t是奇函数,
∵函数f(x)的最大值为M,最小值为N,
∴M-t=-(N-t),则2t=M+N=4,∴t=2.
19.解析 (1)证明:∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)当0≤x≤1时, f(x)=12x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,
∴f(-x)=12(-x)=-12x.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-12x,即f(x)=12x.
故f(x)=12x(-1≤x≤1).
另设1
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