四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二第二学月考试 理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数满足：，则的虚部是（）‎ A．－2 B．2 C． D．‎ ‎2．已知函数f（x）在x0处的导数为1，则等于 ‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的两焦点坐标分别为 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．设向量，，则“”是“”的 ‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．设，其正态分布密度曲线如图所示，且，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 ‎ 附：（随机变量服从正态分布，则，）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 A．种 B． 种 C．种 D．种 ‎7．抛物线在处的切线与y轴及抛物线所围成的图形面积为 A．1 B． C． D．2‎ ‎8．已知直线经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为 A． B． C． D．‎ ‎9．若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数等于 A．0 B．1 C． D． ‎ ‎10．设函数在上可导，其导函数为，如图是函数的图象，则的极值点是 A．极大值点，极小值点 B．极小值点，极大值点 C．极值点只有 D．极值点只有 ‎11．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知，，且对恒成立，则的最大值是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎14．__________．‎ ‎15．已知函数，若，则实数的取值范围是__________．‎ ‎16．已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．(12分)从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若某大学专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查，记抽到的学生中视力在的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎18．(12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎19．(12分)如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面PAD所成角为45º，是的中点，E是BC上的动点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PE⊥AF；‎ ‎（Ⅱ）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值．‎ ‎20．(12分)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，线段的中垂线为 ‎.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.‎ ‎21．(12分)设函数 ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：当时，.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.‎ ‎（Ⅰ）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数的图象的对称轴为.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为，正数，满足，求证：.‎ ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二第二学月考试 理科数学试题参考答案 ‎1-5:BACAB 6-10:DCABC 11-12:DC ‎13． 14．4 15．(1,3) 16．.‎ ‎17．解：（1）；‎ ‎（2）的可能取值为0，1，2，3，概率为：，‎ ‎，所以其分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则.‎ ‎18．解：（Ⅰ）当时，，，，‎ 即曲线在处的切线的斜率为，又，‎ 所以所求切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，易知，‎ ‎①若，则恒成立，在上单调递增；‎ 又，所以当时，，符合题意.‎ ‎②若，由，解得，则当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.所以时，函数取得最小值.‎ 则当，即时，则当时，，符合题意.‎ 当，即时，‎ 则当时，单调递增，，不符合题意.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎19．（1）建立如图所示空间直角坐标系．设，则，于是，，‎ 则，所以． ‎ ‎（2）设则,‎ 若，则由得， 设平面的法向量为， ‎ 由，得：，于是，而设二面角D-PE-B为，则为钝角 所以，‎ ‎20（1）由已知，有，即.∵，∴.设点的纵坐标为.‎ 则 ，即.∴，.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：.设，，，.联立，消去，得.此时.‎ ‎∴，.‎ 由弦长公式，得 .整理，得.‎ 又，∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ ‎∴当，即直线的斜率为时，取得最小值.‎ ‎21．（Ⅰ）、的定义域为 由得 得.①当时，恒成立，‎ 在上单调递增.‎ ‎②当时，的根为 当，即时，递减，递增 当，即时，递增，递减.‎ 综上所述：‎ 当时，递减，递增；‎ 当时，递增，递减；‎ 当时在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）所以令 所以只需要在上的最大值小于0.‎ ‎，令.令.‎ 递减，，不等式成立.‎ ‎22．（1）的普通方程为，把，代入上述方程得，，∴的方程为.令，，‎ 所以的极坐标方程为 .‎ ‎（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，‎ 由得，由得.而，∴.而，∴或.‎ ‎23．（1）∵函数的对称轴为，∴，∴ ，‎ 由，得，或，或，解得或 ‎，‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）由绝对值不等式的性质，可知，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴ （当且仅当，时取等号）.即.‎