【数学】2018届一轮复习人教A版绝对值不等式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版绝对值不等式学案

‎1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.‎ ‎2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；‎ ‎|x－a|＋|x－b|≥c.‎ 知识点一　绝对值三角不等式 ‎ ‎1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当______时，等号成立．‎ ‎2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当______________时，等号成立．‎ 答案 ‎1．ab≥0　2.(a－b)(b－c)≥0‎ ‎1．判断正误 ‎(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(　　)‎ ‎(2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　　)‎ ‎(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.‎ 答案：[－2,4]‎ 知识点二　含绝对值的不等式的解法 ‎ ‎1．含绝对值的不等式|x|a的解法 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎________________‎ ‎________________‎ R ‎2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)|ax＋b|≤c⇔______________；‎ ‎(2)|ax＋b|≥c⇔______________.‎ ‎3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ 答案 ‎1．{x|－aa，或x<－a}‎ ‎{x|x∈R，且x≠0}‎ ‎2．(1)－c≤ax＋b≤c　(2)ax＋b≥c或ax＋b≤－c ‎3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.‎ 解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.‎ 答案：2‎ ‎4．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(－∞，1)‎ C．(1,4) D．(1,5)‎ 解析：|x－1|－|x－5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差．而数轴上满足|x－1|－|x－5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x－1|－|x－5|<2的解集是(－∞，4)．‎ 答案：A 热点一　绝对值三角不等式的应用 ‎ ‎【例1】　已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.‎ ‎【证明】　∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.即|x＋5y|≤1.‎ ‎【总结反思】‎ 绝对值不等式证明的常见方法 ‎(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．‎ ‎(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．‎ ‎(3)转化为函数问题，数形结合进行证明.‎ ‎ ‎ ‎(2016·江苏卷)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|0)”型不等式的解法 ‎【例2】　(1)|5－4x|>9的解集是________．‎ ‎(2)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．‎ ‎【解析】　(1)因为|5－4x|>9，所以5－4x>9或5－4x<－9，所以4x<－4或4x>14，所以x<－1或x>，所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)由于||x－2|－1|≤1，即－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，所以－2≤x－2≤2，所以0≤x≤4.‎ ‎【答案】　(1)　(2)0≤x≤4‎ 考向2　“|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x＋b|≤c(c>0)”型不等式的解法 ‎【例3】　(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(Ⅰ)画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集．‎ ‎【解】　(Ⅰ)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)>1的解集为{x|15}．‎ 所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或15}.‎ ‎【总结反思】‎ 含绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法：对a∈(0，＋∞)，|x|a⇔x<－a或x>a.‎ ‎(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．‎ ‎(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．‎ ‎(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.‎ ‎ ‎ ‎(1)若不等式|x－a|＋3x≤0(其中a>0)的解集为{x|x≤1}，则实数a的值是________．‎ ‎(2)解不等式|2x＋1|－|x－4|>0.‎ 解析：(1)不等式|x－a|＋3x≤0等价于或即或因为a>0，所以不等式组的解集为.由题设可得－ ‎＝－1，故a＝2.‎ ‎(2)解：令f(x)＝|2x＋1|－|x－4|，当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5>0得x>－5，所以x≥4时，不等式成立．当－≤x<4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3>0，得x>1，所以，10，得x<－5，所以，x<－5时，不等式成立．综上，原不等式的解集为{x|x>1或x<－5}．‎ 答案：(1)2‎ 热点三　绝对值不等式的恒成立问题 ‎ ‎【例4】　(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(Ⅱ)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ ‎【解】　(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|‎ ‎＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(Ⅱ)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．‎ 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞).‎ ‎【总结反思】‎ 不等式恒成立问题的常见类型及其解法 ‎(1)分离参数法 运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．‎ ‎(2)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．‎ 提醒：不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题，如f(x)>m的解集为∅，则f(x)≤m恒成立.‎ ‎ ‎ ‎(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤6的解集．‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)原不等式等价于 或 或 解之得4，解此不等式得a<－3或a>5.‎ ‎1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≤0时，等号成立，对|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时左边等号成立，当且仅当ab≤0时右边等号成立．‎ ‎2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0，则不等式解集为R.‎