数学理卷·2018届重庆市江津中学高三4月月考(2018

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数学理卷·2018届重庆市江津中学高三4月月考(2018

数学试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.或 ‎3.等差数列的前项和为,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.执行如图的程序框图,则输出的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知实数满足不等式组,则的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.某中学为提升学生的英语学习能力,进行了主题为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定:每场竞赛的前三名得分分别为(,且),选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名,在第四场竞赛中,已知甲最终得分为分,乙最终得分为分,丙最终得分为分,且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名,则“读”这场竞赛的前三名是( )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.甲和丙都有可能 ‎8.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架(如图),小红欲从处行走至处,则小红行走路程最近的路程共有( )‎ A.种 B.种 C. 种 D.种 ‎9. ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图,半径为的扇形中,是弧上的一点,且满足 分别是线段上的动点,则的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点,圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知实数满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知向量,且,则等于 .‎ ‎14.在展开式中,只有第项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 .‎ ‎15.下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形,现将四边形沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的体积为 .‎ ‎16.设椭圆的两个焦点是,过的直线与椭圆交于,若 ‎,且,则椭圆的离心率为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 设数列的前项和是,且是等差数列,已知.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎18. 为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如下:‎ ‎(1)已知该校有名学生,试估计全校学生中,每天学习不足小时的人数.‎ ‎(2)若从学习时间不少于小时的学生中选取人,设选到的男生人数为,求随机变量的分布列.‎ ‎(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.‎ ‎(只需写出结论)‎ ‎19. 如图,在四棱锥中,侧面底面,底面是平行四边形 为的中点,点在线段上.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)试确定点的位置,使得直线与平面所成的角与直线与平面 所成的角相等.‎ ‎20. 已知分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆上异于两点的任意一点,直线的斜率分别记为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点,问:的面积是否为定值?请说明理由.‎ ‎21. 已知,函数.‎ ‎(1)若函数在上为减函数,求实数的取值范围;‎ ‎(2)令,已知函数,若对任意,总存在,使得成立,求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数).‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;‎ ‎(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线,若分别是曲线和曲线上的动点,求的最小值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知.‎ ‎(1)当时,解不等式.‎ ‎(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DCDDC 6-10:CBBAC 11、12:AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)记,又为等差数列,公差记为,‎ ‎,得,得 时,时也满足.综上.‎ ‎(2)由(1)得 ‎.‎ ‎18.解:(1)由折线图可得共抽取了人,其中男生中学习时间不足小时的有人,女生中学习时间不足小时的有人.‎ 可估计全校中每天学习不足小时的人数为:人.‎ ‎(2)学习时间不少于本的学生共人,其中男学生人数为人,故的所有可能取值为.‎ 由题意可得;;‎ ‎;;.‎ 所以随机变量的分布列为 均值.‎ ‎(3)由折线图可得差.(只需写出结论)‎ ‎19.(1)证明:在平面四边形中,连接,因为,‎ 由余弦定理得,得,‎ 所以,即,又,‎ 所以,‎ 又,所以,‎ 所以平面,所以.‎ ‎(2)侧面底面,所以底面,所以直线两两相互垂直,以为原点,直线为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系,则 ‎,所以,设,则,所以,易得平面 的法向量.设平面的法向量为,由,‎ 得,令,得.因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,所以,即,所以,即,解得,所以.‎ ‎20.(1)设,则;‎ ‎(2)由题知,直线,直线,设,‎ 则,由,‎ 同理可得,故有,‎ 又,故.‎ ‎21.(1)因为,‎ 要使在为减函数,则需在上恒成立.‎ 即在上恒成立,因为在为增函数,所以在的最小值为,所以.‎ ‎(2)因为,所以.‎ ‎,‎ 当时,在上为递增,‎ 当时,在上为递减,‎ 所以的最大值为,所以的值域为.‎ 若对任意,总存在.使得成立,则,‎ 函数在的值域是在的值域的子集.‎ 对于函数,‎ ‎①当时,的最大值为,所以在上的值域为,由得;‎ ‎②当时,的最大值为,所以在上的值域为,由得(舍).‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎22.(1)的极坐标方程是,整理得的直角坐标方程为.‎ 曲线,故的普通方程为.‎ ‎(2)将曲线经过伸缩变换后得到的方程为,则曲线 的参数方程为(为参数).设,则点到曲线的距离为.‎ 当时,有最小值,所以的最小值为.‎ ‎23.(1)当时,等式,即,‎ 等价于或或,解得或,‎ 所以原不等式的解集为;‎ ‎(2)设,则,‎ 则在上是减函数,在上是增函数,‎ 当时,取最小值且最小值为,‎ ‎,解得实数的取值范围为.‎
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