2018届二轮复习 三角函数的图象与性质 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 三角函数的图象与性质 学案（ 江苏专用）

专题5：三角函数的图象与性质 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．(1)若tanα＝，α∈(π，π)，则sinα＝ ，cosα＝ ．‎ 答案：－；－ ‎ (2)已知tana ＝2，则＝ ，sin2a－2sinacosa＋2＝ ．‎ 答案：；2‎ ‎ (3)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则cosα－sinα＝ ，tanα＝ ．‎ 答案：；－ ‎2． (1) 函数的定义域为 ． ‎ 答案：[kπ＋ ，kπ＋]‎ ‎ (2) 函数的值域为 ．‎ 答案：[－ ，1]‎ ‎ (3) 函数单调减区间为 ．‎ 答案：[＋，＋]‎ ‎ (4)函数 的对称轴为 ；中心对称点为 ． ‎ 答案：x＝＋；(－，0)‎ ‎3．(1)函数y＝2sin2x＋sinxcosx ＋3 cos2x的值域为 ．‎ 答案：[，]‎ ‎ (2)函数y＝4sin2x－12cosx－1 x Î[－ ， ]的值域为 ．‎ 答案：[－13，8]‎ ‎ (3)函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2(x∈[0，π])的值域为 ．‎ 答案：[，3＋]‎ ‎ (4)函数y＝的值域为 ．‎ 答案：[0，＋∞)‎ 提示：方法一：看作斜率，数形结合处理；‎ ‎ 方法二：导数法处理． ‎ ‎4．(1)已知函数y＝Asin(2x＋φ)的对称轴为x＝，则φ的值为 ．‎ 答案：kπ＋ ‎ (2)已知函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数，求φ的值为 ．‎ 答案：kπ＋ ‎5．已知函数(其中)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为，则的解析式 ．‎ 答案：f(x)＝2sin(2x＋)‎ 二、方法联想 ‎1．三角函数求值 ‎(1) 知一求其余三角函数值；‎ ‎(2)关于sinα与cosα的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次．‎ ‎(3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα间关系式 sinα＋cosα sinα－cosα sinαcosα sinα和cosα tanα sin2α 注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．‎ ‎ 变式1、已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝ ．‎ 答案：－ 解析：构造方程组，求解sinθ，cosθ ‎(构造方程组求解sinθ，cosθ)‎ 变式2、若tanα＝ ，则cosα＋2sin2α＝________‎ 答案： ‎ 解析：根据正切，求正余弦；或者添分母1＝sin2α＋cos2α构造齐次分式．‎ ‎（已知三角函数正切值，求二次齐次式值）‎ 变式3、定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是 .‎ 答案：7‎ 解析：由，‎ 因为，所以共7个 ‎（已知三角函数值求角）‎ ‎2．y＝Asin(ωx＋φ)的性质 对于y＝Asin(ωx＋φ)，将ωx＋φ看成整体，转化为由y＝sinx，解决其定义域、值域、对称轴、中心对称点问题．‎ 变式1、为得到函数的图像,只需将函数的图像向左平移 个单位. 答案：‎ ‎(先平移后伸缩)‎ 变式2、函数的值域是 . ‎ 答案：‎ ‎(转化为二次函数)‎ ‎3. 形如y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的形式 方法 先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为y＝Asin(2ωx＋φ)形式求值域．‎ 形如①含有 sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；②含有sinx±cosx，sinxcosx 方法 利用换元法转化为二次函数值域问题．‎ 形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式 方法1 化为sin(ωx＋φ)＝M形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|≤1，|cosx|≤1)求值域．‎ 方法2 导数法 ‎ 变式、已知函数f(x)＝cosωx＋sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π. 当x∈[0，]时，求函数f(x)的值域.‎ 答案：[0，＋1] ‎ ‎（化为一个三角函数，求解函数的值域）‎ ‎4．三角函数对称问题 方法 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)‎ ‎①若x＝x0为对称轴Ûf(x0)＝±A．‎ ‎②若(x0，0)为中心对称点Ûf(x0)＝0．‎ 推论：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)‎ ‎①若函数y＝f(x)为偶函数Ûf(0)＝±A．‎ ‎②若函数y＝f(x)为奇函数Ûf(0)＝0．‎ 变式1、已知函数,若是偶函数,则 . ‎ 答案：‎ ‎(函数名的转换)‎ 变式2、已知函数f(x)＝sin(2x＋)(0≤x＜π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝ ‎ 答案： ‎ 解析：直接求角或者利用三角函数的对称性 ‎（已知三角函数值求角）‎ 变式3、已知函数f(x)＝sin(wx＋j)(ω＞0,－≤φ≤),x＝－ 为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴,且f(x)在(,)单调,则ω的最大值为________‎ 答案：9‎ ‎ (已知三角函数对称轴和单调性等性质，求参数范围)‎ ‎5．求f(x)＝Asin(wx＋j)＋B(A＞0)的解析式 方法 (1)由周期T＝得w；‎ ‎(2)由得 ‎ ‎(3)将点代入求j(尽量代入最高点或最低点)．‎ 变式1、设函数,若存在实数,使得对任意,都有成立,则的最小值为 .‎ 答案：2‎ ‎(最值与周期)‎ 三、例题分析 例1 已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα， 5sinα－4cosα)，α∈()，且a⊥b． ‎ ‎(1)求tanα的值；‎ ‎(2)求cos()的值．‎ 解 (1) tanα＝－．‎ ‎(2) ． ‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法： ‎ 三角函数求值 ‎ ①知一求其余三角函数值；‎ ‎ ②关于sinα与cosα的齐次式，同除cosa或cos2a，如果不是齐次，借助1＝sin2α＋cos2α构造齐次．‎ 方法选择与优化建议：‎ a⊥b化简后得到sinα与cosα的齐次式，同除以cos2a求得tanα值，所以选择方法②方便．‎ ‎(2)主要问题归类与方法： ‎ 三角变换问题 ‎ 方法选择与优化建议：‎ 注意条件已知角与未知角之间的联系，从α化到 例2 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数．‎ ‎(1)求φ的值；‎ ‎(2)求ω的值．‎ 解 (1)φ＝． (2)ω＝或2.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法： ‎ 三角函数图象轴对称问题 ‎ 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，说明f(x)的图象关于y 轴对称．‎ 方法选择与优化建议：‎ 从f(x)为偶函数很容易得到f(0)＝sinφ ＝±1，从而有φ＝kπ＋，这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆．‎ ‎(2)主要问题归类与方法： ‎ 三角函数图象中心对称问题 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)图象关于点M对称．‎ 方法选择与优化建议：‎ 从f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再结合函数的单调性推导出ω的值．‎ 例3、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A，B 及CD的中点P 处，已知AB＝20km，CB ＝10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且A，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP ，设排污管道的总长为km．‎ ‎(1)设∠BAO＝(rad)，将表示成的函数关系式；‎ ‎(2)请你选用(1)中的函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．‎ 解 (1) ‎ ‎(2)点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(2)主要问题归类与方法： ‎ 求三角函数的最值问题 化为只含有一个一次的三角函数y＝Asin(ωx＋φ)形式，‎ 或者通过换元等办法将函数化为二次函数等方法都无法解决函数的最值问题．[来源:学科网ZXXK]‎ 方法选择与优化建议：‎ 选择利用导数法求最值．‎ 四、反馈练习(专题5：三角函数的图象与性质)‎ ‎1.函数的最小正周期为 ‎ ‎［答案］(考查三角函数周期).‎ ‎2.函数且x≠的值域为______． ‎ ‎［答案］（－∞，－］∪［1，＋∞）(考查三角函数单调性).‎ ‎3.函数的值域为 ‎ ‎［答案］(考查三角函数值域).‎ ‎4. (2016江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 .‎ ‎［答案］7 (考查三角函数图像).‎ ‎5.已知函数，且，则函数的值域是_________.‎ ‎［答案］ (考查三角函数单调性).‎ ‎6.若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.‎ 答案　(考查三角函数单调性,最值).‎ ‎7.将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为 ．‎ ‎【答案】(考查三角函数图像变换).‎ ‎8. 【2015湖南】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则 ‎ ．‎ ‎【答案】 (考查三角函数图像变换，最值).‎ ‎9．已知函数的部分图像如图所示，则的值为 ‎ ‎［答案］ (考查三角函数图像).‎ ‎10.已知过原点的直线与函数y＝|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点，α 是交点中横坐标的最大值，则的值为________．‎ 来源:Z&xx&k.Com]‎ 答案：1(考查三角函数图像).‎ ‎11.（2016年全国I）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ; 答案：9    (考查三角函数图像与性质).  ‎ ‎12.函数的值域.‎ ‎［解答］令，由于， ∴，‎ 而，∴，且。‎ ‎，故.(考查三角函数值域).‎ ‎13. 已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.‎ 解: (1)因为 ‎ ‎ ‎ 故的最小正周期为 ‎ ‎(2)当时, ‎ 故所求的值域为 ‎ ‎(考查三角函数周期, 值域).‎ ‎14.已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x．‎ ‎（1）求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎（2）求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．‎ 答案 （1） （2）最大值1，最小值-2. (考查三角函数周期, 值域).‎ ‎15.设函数的图像过点（．‎ ‎（1）求；（2）求函数的单调增区间；‎ ‎（3）画出函数在区间上的图像．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎［解析］（1）∵f(x)的图像过点（．∴sin(2 ‎ ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知 ‎ 由题意得 ‎ 所以函数 ‎ ‎（3）‎ ‎0‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎ ‎ 故函数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(考查三角函数单调性,图像).‎ ‎ 16. 设函数，且图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ 答案 （1） （2）最大值，最小值-1. (考查三角函数图像,最值).‎ ‎17. （2016年天津）已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）讨论f(x)在区间[]上的单调性.‎ 解：令函数的单调递增区间是 由,得[来源:学,科,网]‎ ‎ 设，易知.‎ 所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.‎ ‎ (考查三角函数图像与性质).‎