高考文科数学复习：夯基提能作业本 (49)

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第八节　直线与圆锥曲线 A组　基础题组 ‎1.直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1的交点个数是(　　)‎ A.至多一个 B.2 C.1 D.0‎ ‎2.已知经过点(0,‎2‎)且斜率为k的直线l与椭圆x‎2‎‎2‎+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是(　　)‎ A.‎-‎2‎‎2‎,‎‎2‎‎2‎ B.‎-∞,-‎‎2‎‎2‎∪‎‎2‎‎2‎‎,+∞‎ C.(-‎2‎,‎2‎) D.(-∞,-‎2‎)∪(‎2‎,+∞)‎ ‎3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(　　)‎ A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条 ‎4.经过椭圆x‎2‎‎2‎+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·OB等于(　　)‎ A.-3 B.-‎1‎‎3‎ ‎ C.-‎1‎‎3‎或-3 D.±‎‎1‎‎3‎ ‎5.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为‎3‎的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(　　)‎ A.4 B.3‎3‎ C.4‎3‎ D.8‎ ‎6.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为　　　　　　. ‎ ‎7.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),F(‎2‎,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为　　　　　. ‎ ‎8.设双曲线x‎2‎‎9‎-y‎2‎‎16‎=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为　　　　. ‎ ‎9.椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)过点‎1,‎‎3‎‎2‎,离心率为‎1‎‎2‎,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)当△F2AB的面积为‎12‎‎2‎‎7‎时,求直线的方程.‎ ‎10.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求‎|OH|‎‎|ON|‎;‎ ‎(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.‎ B组　提升题组 ‎11.设抛物线E:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(　　)‎ A.y=x-1或y=-x+1‎ B.y=‎3‎‎3‎(x-1)或y=-‎3‎‎3‎(x-1)‎ C.y=‎3‎(x-1)或y=-‎3‎(x-1)‎ D.y=‎2‎‎2‎(x-1)或y=-‎2‎‎2‎(x-1)‎ ‎12.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MA·MB=0,则k=　　　　. ‎ ‎13.已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),离心率为‎6‎‎3‎.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A、B两点,线段AB的中点为D,O为坐标原点,直线OD交椭圆于M,N两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)当四边形MF1NF2为矩形时,求直线l的方程.‎ ‎14.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.‎ ‎(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.B　∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,‎ ‎∴‎4‎m‎2‎‎+‎n‎2‎>2,∴m2+n2<4,‎ ‎∴m‎2‎‎9‎+n‎2‎‎4‎0,解得k<-‎2‎‎2‎或k>‎2‎‎2‎,即k的取值范围为‎-∞,-‎‎2‎‎2‎∪‎2‎‎2‎‎,+∞‎.故选B.‎ ‎3.B　∵2p=2,|AB|=3,∴|AB|>2p,故这样的直线有且只有两条.‎ ‎4.B　依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45°(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程x‎2‎‎2‎+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=‎4‎‎3‎,所以两个交点坐标分别为(0,-1),‎4‎‎3‎‎,‎‎1‎‎3‎,∴OA·OB=-‎1‎‎3‎,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也有OA·OB=-‎1‎‎3‎.‎ ‎5.C　∵y2=4x,∴F(1,0),准线l:x=-1,∴过焦点F且斜率为‎3‎的直线l1的方程为y=‎3‎(x-1),与y2=4x联立,解得x=‎1‎‎3‎,‎y=-‎‎2‎‎3‎‎3‎或x=3,‎y=2‎3‎,‎由题易知A(3,2‎3‎),∴AK=4,‎ ‎∴S△AKF=‎1‎‎2‎×4×2‎3‎=4‎3‎.‎ ‎6.答案　x2=3y 解析　设点M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由x‎2‎‎=ay,‎y=2x-2‎消去y,得x2-2ax+2a=0,‎ 所以x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=‎2a‎2‎=3,即a=3,‎ 因此所求的抛物线方程是x2=3y.‎ ‎7.答案　x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1‎ 解析　由题意得c=‎2‎,‎b‎2‎a‎=1,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎解得a=2,‎b=‎2‎,‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎8.答案　‎‎32‎‎15‎ 解析　易知c=5,取过点F平行于一条渐近线的直线方程为y=‎4‎‎3‎(x-5),即4x-3y-20=0,联立直线与双曲线方程,求得yB=-‎32‎‎15‎,则S=‎1‎‎2‎×(5-3)×‎32‎‎15‎=‎32‎‎15‎.‎ ‎9.解析　(1)因为椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)过点‎1,‎‎3‎‎2‎,‎ 所以‎1‎a‎2‎+‎9‎‎4‎b‎2‎=1.①‎ 又因为离心率为‎1‎‎2‎,所以ca=‎1‎‎2‎,‎ 所以b‎2‎a‎2‎=‎3‎‎4‎.②‎ 联立①②解得a2=4,b2=3.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)当直线的倾斜角为π‎2‎时,A,B点的坐标为‎-1,‎‎3‎‎2‎,‎-1,-‎‎3‎‎2‎,则S‎△ABF‎2‎=‎1‎‎2‎|AB|·|F1F2|=‎1‎‎2‎×3×2=3≠‎12‎‎2‎‎7‎.‎ 当直线的倾斜角不为π‎2‎时,设直线方程为y=k(x+1),代入x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-‎8‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎,x1x2=‎4k‎2‎-12‎‎4k‎2‎+3‎,‎ 所以S‎△ABF‎2‎=‎1‎‎2‎|y1-y2|·|F1F2|‎ ‎=|k|‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=|k|‎‎-‎‎8‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎‎2‎‎-4·‎‎4k‎2‎-12‎‎4k‎2‎+3‎ ‎=‎12|k|‎k‎2‎‎+1‎‎4k‎2‎+3‎=‎12‎‎2‎‎7‎,‎ 所以17k4+k2-18=0,‎ 解得k2=1k‎2‎‎=-‎18‎‎17‎舍去,‎ 所以k=±1,‎ 所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.‎ ‎10.解析　(1)由已知得M(0,t),Pt‎2‎‎2p‎,t.‎ 又N为M关于点P的对称点,故Nt‎2‎p‎,t,ON的方程为y=ptx,‎ 代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,‎ 解得x1=0,x2=‎2‎t‎2‎p.‎ 因此H‎2‎t‎2‎p‎,2t.‎ 所以N为OH的中点,即‎|OH|‎‎|ON|‎=2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.‎ 理由如下:‎ 直线MH的方程为y-t=p‎2tx,‎ 即x=‎2tp(y-t).‎ 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,‎ 解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.‎ B组　提升题组 ‎11.C　设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A、B作AA1垂直准线于A1,BB1垂直准线于B1,由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得‎|BC|‎‎|AB|‎=‎|BC|‎‎4t=‎1‎‎2‎,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=π‎6‎,∴直线的倾斜角α=π‎3‎或‎2‎‎3‎π.‎ 又F(1,0),∴直线AB的方程为y=‎3‎(x-1)或y=-‎3‎(x-1).故选C.‎ ‎12.答案　2‎ 解析　如图所示,设F为焦点,取AB的中点P,过A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为G,H,连接MF,MP,由MA·MB=0,知MA⊥MB,则|MP|=‎1‎‎2‎|AB|=‎1‎‎2‎(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠PAM,又|AG|=|AF|,AM为公共边,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-‎1‎kMF=2.‎ ‎13.解析　(1)由题意可知c=2,‎ca‎=‎6‎‎3‎,‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎解得a=‎6‎,b=‎2‎.‎ 故椭圆C的方程为x‎2‎‎6‎+y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)由题意可知直线l的斜率存在,设为k,则其方程为y=k(x-2)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(-x3,-y3),‎ 由x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎y=k(x-2)‎得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,‎ 所以x1+x2=‎12‎k‎2‎‎1+3‎k‎2‎,‎ 则y1+y2=k(x1+x2-4)=‎-4k‎1+3‎k‎2‎,‎ 所以AB的中点D的坐标为‎6‎k‎2‎‎1+3‎k‎2‎‎,‎‎-2k‎1+3‎k‎2‎,‎ 因此直线OD的方程为x+3ky=0(k≠0).‎ 由x+3ky=0,‎x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎得M,N点的坐标为‎18‎k‎2‎‎1+3‎k‎2‎,‎2‎‎1+3‎k‎2‎,-‎18‎k‎2‎‎1+3‎k‎2‎,-‎2‎‎1+3‎k‎2‎.‎ 因为四边形MF1NF2为矩形,所以F‎2‎M·F‎2‎N=0,‎ 即(x3-2,y3)·(-x3-2,-y3)=0,‎ 所以4-x‎3‎‎2‎-y‎3‎‎2‎=0.‎ 所以4-‎2(9k‎2‎+1)‎‎1+3‎k‎2‎=0.解得k=±‎3‎‎3‎.‎ 故直线l的方程为y=±‎3‎‎3‎(x-2).‎ ‎14.解析　由题设知F‎1‎‎2‎‎,0‎.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0,‎ 且Aa‎2‎‎2‎‎,a,Bb‎2‎‎2‎‎,b,P‎-‎1‎‎2‎,a,‎ Q‎-‎1‎‎2‎,b,R‎-‎1‎‎2‎,‎a+b‎2‎.‎ 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.‎ ‎(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.‎ 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1=a-b‎1+‎a‎2‎=a-ba‎2‎‎-ab=‎1‎a=‎-aba=-b=k2.所以AR∥FQ.‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=‎1‎‎2‎|b-a||FD|=‎1‎‎2‎|b-a|x‎1‎‎-‎‎1‎‎2‎,S△PQF=‎|a-b|‎‎2‎.‎ 由题设可得2×‎1‎‎2‎|b-a|x‎1‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎|a-b|‎‎2‎,所以x1=0(舍去)或x1=1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x,y).‎ 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得‎2‎a+b=yx-1‎(x≠1).‎ 而a+b‎2‎=y,所以y2=x-1(x≠1).‎ 当AB与x轴垂直时,E与D重合.‎ 所以,所求轨迹方程为y2=x-1.‎