2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§2-3 二次函数与幂函数（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§2-3 二次函数与幂函数（试题部分）

‎§2.3　二次函数与幂函数 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 二次函数 ‎①了解二次函数的图象与性质;‎ ‎②结合二次函数的图象,求二次函数的最值、单调区间;‎ ‎③掌握三个“二次”之间的关系 ‎2017北京,11,5分 求二次函数的值域 利用代数式的 几何意义解题 ‎★★☆‎ 幂函数 了解幂函数的概念,结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=‎1‎x,y=x‎1‎‎2‎的图象,了解它们的变化情况 ‎2016课标全国Ⅲ,7,5分 比较大小 指数运算 ‎★★☆‎ ‎2018上海,7,5分 幂函数的图象和性质 ‎—‎ 分析解读 本节内容在高考中主要以二次函数和幂函数为载体考查相关知识,如求二次函数的最值,函数零点,以函数性质为命题背景考查二次函数与幂函数图象的应用.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　二次函数 ‎1.(2019河南省实验中学质量预测模拟三,5)已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为(　　)　　　 　　　　　　 　　　　　 ‎ A.{0,-3} B.[-3,0]‎ C.(-∞,-3]∪[0,+∞) D.{0,3}‎ 答案　A　‎ ‎2.(2019湖南宁乡一中、攸县一中4月联考,7)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的单调性,则k的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-2] B.[2,+∞)‎ C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018福建泉州高中毕业班1月单科质量检查,15)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围为　　　　. ‎ 答案　[2,+∞)‎ 考点二　幂函数 ‎1.(2018安徽巢湖柘皋中学第三次月考,3)已知p:|m+1|<1,q:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递减,则p是q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019湖北宜昌调研,9)若幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4),且a=m‎1‎‎4‎,b=log3m,c=cos m,则a,b,c的大小关系是(　　)‎ A.b0,‎t-1≥0,‎解得1≤t<2,故D=[1,2).‎ ‎(2)g(x)=x2+2mx-m2=(x+m)2-2m2,故g(x)的图象的对称轴为直线x=-m.‎ ‎①当-m≥2,即m≤-2时,g(x)在[1,2)上单调递减,不存在最小值;‎ ‎②当1<-m<2,即-22时,g(a)=f(-1)=a‎2‎‎4‎-a+2.‎ 综上,g(a)=‎a‎2‎‎4‎‎+a+2,　a≤-2,‎‎1,-22.‎ ‎(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则s+t=-a,‎st=b,‎ 由于0≤b-2a≤1,因此‎-2tt+2‎≤s≤‎1-2tt+2‎(-1≤t≤1).‎ 当0≤t≤1时,‎-2‎t‎2‎t+2‎≤st≤t-2‎t‎2‎t+2‎,‎ 由于-‎2‎‎3‎≤‎-2‎t‎2‎t+2‎≤0和-‎1‎‎3‎≤t-2‎t‎2‎t+2‎≤9-4‎5‎,‎ 所以-‎2‎‎3‎≤b≤9-4‎5‎.‎ 当-1≤t<0时,t-2‎t‎2‎t+2‎≤st≤‎-2‎t‎2‎t+2‎,‎ 由于-2≤‎-2‎t‎2‎t+2‎<0和-3≤t-2‎t‎2‎t+2‎<0,‎ 所以-3≤b<0.‎ 故b的取值范围是[-3,9-4‎5‎].‎ ‎3.(2015广东,21,14分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).‎ ‎(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(3)当a≥2时,讨论f(x)+‎4‎x在区间(0,+∞)内的零点个数.‎ 答案　(1)f(0)=a2+|a|-a(a-1)=|a|+a.‎ 当a≤0时, f(0)=0≤1对于任意的a≤0恒成立;‎ 当a>0时, f(0)=2a,令2a≤1,解得0a,‎ 则f '(x)=‎‎2x-(2a+1),　x≤a,‎‎2x-(2a-1),x>a.‎ 当x≤a时, f '(x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1<0,‎ 所以f(x)在区间(-∞,a]上单调递减;‎ 当x>a时, f '(x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+1>0,‎ 所以f(x)在区间(a,+∞)上单调递增.‎ ‎(3)令h(x)=f(x)+‎4‎x,由(2)得,‎ h(x)=‎x‎2‎‎-(2a+1)x+2a+‎4‎x,　0a,‎ 则h'(x)=‎‎2x-(2a+1)-‎4‎x‎2‎,　0a,‎ 当0a时,因为a≥2,‎ 所以x>2,即0<‎4‎x‎2‎<1,‎ 所以h'(x)=2(x-a)+‎1-‎‎4‎x‎2‎>0,‎ 所以h(x)在区间(a,+∞)上单调递增.‎ 因为h(1)=4>0,‎ h(2a)=2a+‎2‎a>0,‎ ‎1)若a=2,则h(a)=-a2+a+‎4‎a=-4+2+2=0,‎ 此时h(x)在(0,+∞)上有唯一一个零点;‎ ‎2)若a>2,则h(a)=-a2+a+‎4‎a=-a‎3‎‎-a‎2‎-4‎a=-a‎2‎‎(a-1)-4‎a<0,此时h(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上各有一个零点,共两个零点.‎ 综上,当a=2时, f(x)+‎4‎x在区间(0,+∞)内有一个零点;‎ 当a>2时, f(x)+‎4‎x在区间(0,+∞)内有两个零点.‎ 考点二　幂函数 ‎1.(2014浙江,8,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是(　　)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2014课标Ⅰ,15,5分)设函数f(x)=ex-1‎‎,　x<1,‎x‎1‎‎3‎‎,x≥1,‎则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　　　. ‎ 答案　(-∞,8]‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:40分钟　分值:55分 一、选择题(每小题5分,共30分)‎ ‎1.(2019湖北荆州质量检查(一),8)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则实数a的取值范围是(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] ‎ C.(-∞,0] D.[0,+∞)‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019河北沧州全国统一模拟考试,8)已知函数f(x)=‎2‎‎3‎‎|x|‎-x‎2‎‎3‎且满足f(2a-1)>f(3),则a的取值范围为(　　)‎ A.a>2 B.a<2 ‎ C.-12‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018河南天一大联考,4)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f‎1‎‎3‎‎1‎‎2‎,b=f(ln π),c=f(‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎),则a,b,c的大小关系为(　　)‎ A.a2)在区间[-2,-1]上单调递减,那么mn的最大值为(　　)‎ A.16 B.18 C.25 D.30‎ 答案　B　‎ ‎5.(2019第二次全国大联考,11)已知函数f(x)=2-|x|,若关于x的不等式f(x)≥x2-x-m的解集中有且仅有1个整数,则实数m的取值范围为(　　)‎ A.[-3,-1) B.(-3,-1) C.[-2,-1) D.(-2,-1)‎ 答案　C　‎ ‎6.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,4)已知幂函数y=f(x)的图象过点(‎2‎,2‎2‎),且f(m-2)>1,则m的取值范围是(　　)‎ A.m<1或m>3 B.13‎ 答案　D　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎7.(2019江西南昌第一次模拟,16)若对任意的t∈[1,2],函数f(x)=t2x2-(t+1)x+a总有零点,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　‎‎-∞,‎‎9‎‎16‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎8.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,19)已知二次函数f(x)=2x2+bx+c满足f(0)=f(2)=3.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上是单调函数,求实数a的取值范围.‎ 答案　(1)由f(0)=f(2)=3可得c=3,‎‎8+2b+c=3,‎解得c=3,‎b=-4,‎∴f(x)=2x2-4x+3.‎ ‎(2)易知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,且2a0,‎ ‎∴f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3.‎ 即x<0时,f(x)=x2+2x-3.‎ 故f(x)=‎x‎2‎‎-2x-3,x≥0,‎x‎2‎‎+2x-3,x<0.‎ ‎(2)当x≥0时,f(x)=x2-2x-3,‎ 此时其图象的对称轴为直线x=1,‎ ‎∴单调增区间为[1,+∞),单调减区间为[0,1].‎ 当x<0时,f(x)=x2+2x-3,‎ 此时其图象的对称轴为直线x=-1,‎ ‎∴单调增区间为[-1,0),单调减区间为(-∞,-1].‎ 综上,y=f(x)的单调增区间为[-1,0)和[1,+∞),单调减区间为(-∞,-1]和[0,1].‎