2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练12+实际问题的函数建模

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练12+实际问题的函数建模

课时分层训练(十二)　实际问题的函数建模 ‎ (对应学生用书第188页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2018·福州模拟)在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：‎ x ‎0.50‎ ‎0.99‎ ‎2.01‎ ‎3.98‎ y ‎－0.99‎ ‎0.01‎ ‎0.98‎ ‎2.00‎ 则对x，y最适合的拟合函数是(　　)‎ A．y＝2x　　 B．y＝x2－1‎ C．y＝2x－2 D．y＝log2 x D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2 x，可知满足题意．]‎ ‎2．(2018·东城模拟)某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1 500元，则购买该商品的实际付款额为1 500×0.8－200＝1 000元．设购买某商品的实际折扣率＝×100%，某人欲购买标价为2 700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为(　　) 【导学号：00090056】‎ A．55% B．65%‎ C．75% D．80%‎ B　[当购买标价为2 700元的商品时，‎ 产品的八折后价格为：2 700×0.8＝2 160，‎ 故实际付款：2 160－400＝1 760，‎ 故购买某商品的实际折扣率为：×100%≈65%，故选B.]‎ ‎3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图292甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．‎ 图292‎ ‎ 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)‎ A．① B．①②‎ C．①③ D．①②③‎ A　[由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]‎ ‎4．(2018·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(　　)‎ A．85元 B．90元 C．95元 D．100元 C　[设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]，‎ ‎∴当x＝95时，y最大．]　‎ ‎5．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为(　　)‎ A．5　　　　 B．8 ‎ C．9　　　　 D．10‎ A　[∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，‎ ‎∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，‎ 可得n＝ln，∴f(t)＝a· ，‎ 因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，‎ f(k)＝a·＝a，即＝，‎ ‎∴k＝10，‎ 由题可知m＝k－5＝5，故选A．]‎ 二、填空题 ‎6．在如图293所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.‎ 图293‎ ‎20　[设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.]‎ ‎7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)‎ ‎8　[设过滤n次才能达到市场要求，‎ 则2%n≤0.1%，即n≤，‎ 所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.]‎ ‎8．(2018·成都模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．‎ ‎ 【导学号：00090057】‎ ‎24　[由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝＝＝.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.]‎ 三、解答题 ‎9．(2018·抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．‎ ‎(1)求f(50)的值；‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？‎ ‎[解]　(1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， 1分 ‎∴f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5万元. 3分 ‎(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250， 4分 依题意得⇒20≤x≤180， 6分 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180). 7分 令t＝∈[2，6]，则f(x)＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，‎ ‎ 9分 当t＝8，即x＝128时，f(x)max＝282万元. 11分 所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 12分 ‎10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．‎ ‎(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；‎ ‎(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？‎ ‎[解]　(1)设旅行团人数为x，由题得00)．‎ ‎(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；‎ ‎(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，‎ 当θ＝5时，2t＋＝， 2分 令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，‎ 即2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或x＝(舍去)，‎ ‎∴2t＝2，即t＝1，‎ ‎∴经过1 min，物体的温度为5 ℃. 5分 ‎(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，‎ 即m·2t＋≥2恒成立，‎ 亦即m≥2恒成立. 7分 令＝x，则0

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