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文档介绍
2018届二轮复习 函数与导数 教案（全国通用）
春季课程:函数与导数 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 掌握函数的性质，如三要素、单调性、奇偶性、周期性等基本初等函数（包括二次函数、指对数函数、幂函数）和函数应用，导数的概念和运算，用导数研究函数的性质（单调性和极值）和简单的定积分运算． 教学目标 其中函数的性质是考察的核心，常见的思想方法有函数与方程的思想、分类讨论思想、数形集合思想、化归与转化思想等． 教学重点 掌握函数的单调性求法，会求函数的函数的极值，会求解最值问题.会利用导数求解函数的单调性，会求解函数的最值. 教学难点 函数图像与性质之间的关系.熟练掌握函数的单调性、极值、最值的求法，分类讨论思想的应用. 教学过程 一、考纲解读 函数是高中数学最核心的知识，也是高考中最重要的内容，纯粹的函数试题一般有4个客观题1个解答题，分值在35分左右。当然还有函数与导数、函数与数列、函数与不等式等综合问题: 基本初等函数与性质: (1)函数的概念和函数的基本性质是重要考点 (2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点 (3)幂函数不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。 函数与方程应用 (1)函数与方程是经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点； (2)函数模型及其应用是考查热点 试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查. 导数及应用 (1)导数的几何意义是考查热点，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题； (2)导数的运算是导数应用的基础，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步； (3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度. (4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广. (5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在. 二、复习预习 复习相关概念:函数的性质，如三要素、单调性、奇偶性、周期性等基本初等函数（包括二次函数、指对数函数、幂函数）和函数应用，导数的概念和运算，用导数研究函数的性质（单调性和极值）和简单的定积分运算． 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，函数的单调性与函数的导数的关系. 三、知识讲解 考点1 基本初等函数和性质 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.特别是两性质的应用更加突出.考生需要理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识 考点2 函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (2)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根． (3) 应用函数模型解决实际问题的一般程序 ⇒⇒⇒ . 考点3 函数与导数 (1)函数的单调性与导数 如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sin x . (2)函数的导数与极值 对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，因为f′(x)≥0恒成立，f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值． (3)闭区间上函数的最值 在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值． 四、例题精析 例1 [2014·山东卷] 函数f(x)＝的定义域为( ) A. B．(2，＋∞) C. ∪(2，＋∞) D. ∪[2，＋∞) 【规范解答】 答案:C 解析:根据题意得,解得故选C. 【总结与反思】本题结合函数的定义域求法综合考查不等式的解法.要求考生掌握基本初等函数的定义域,尤其是分式型,偶次方根型,以及对数型. 不等式log2x >1或log2x <-1若采用图像法解决更准更快. 例2已知偶函数f（x）在［0，＋∞）单调递减，f（2）＝0．若f（x－1）＞0，则x的取值范围是__________． 【规范解答】∵ 偶函数y＝f（x）在［0，＋∞）单调递减，且f（2）＝0． ∴ f（x）＞0的解集为│x│＞2 ∴ f（x－1）＞0的解集为│x－1│＞2，解得x∈（－∞，－1）∪（3，＋∞） 【总结与反思】 (1)本题考查函数的奇偶性、单调性，及不等式的解法； (2)本题可以利用数形结合的思想来解，先绘出f（x）的草图，f（x－1）的图象由f（x）的图象向右平移一个单位得到. 也可以采取换元法令x-1=t,再结合图像处理,最后在求出x范围 例3[2014·全国卷]设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是 ( ) .是偶函数 .||是奇函数 .||是奇函数 .||是奇函数 【规范解答】解法1.选C（验证推理）设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C. 解法2.选C（特值验证）从题意条件我们不难想到将函数，特殊化，设， 则A选项中不是偶函数，排除A；B选项中||=很明显是偶函数，排除B。选项C中||=是奇函数，为正确选项 【总结与反思】 （1）本题考查函数的基本性质、奇偶性、考查逻辑推理能力，是一道基础题。 （２）解法1 通过对四个选项一一验证，结合奇偶性的定义来判断，需要严谨的推理过程。解法2取特值的方式，这样更具体，直观化，方便解题。 （3）函数的基本性质是高考的热点也是难点，在考查时，奇偶性常与其他性质(如单调性、周期性)综合在一起，从近几年高考题可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现． 例4[2014·全国卷]已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为 .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1） 【规范解答】解法1：选B （零点唯一性） 由已知，，令，得或， 当时，； 且，有小于零的零点，不符合题意。 当时， 要使有唯一的零点且＞0，只需，即，． 解法2：选B （数形结合） 由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在y轴右侧记，，由，，， ，要使有唯一的正零根，只需 【总结与反思】 （1）本题了本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题. （2）解法1：由于参数的存在，使得分类讨论势在必行，当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→-∞，可知：存在＞0，使得要使满足条件f（x）存在唯一的零点，且＞0，则必须极小值，解出即可. 解法2：通过数形结合来解决方程根的个数的策略，避免对的讨论，比解法1更快. （3）本题是一道典型的用导数来研究函数性质的问题，一直以来都是高考难题，通常放在小题最后两道题，这类题往往考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论、化归与转化思想. 例5 [2014·湖北卷] 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当时，若则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【规范解答】若，则当时，，又f（x）是定义在R上的奇函数，故时，，其在R上是单增函数，故，恒成立，满足题意。 若，则 作图可知，的右边的零点为， 因为函数为奇函数，所以当时，的左边的零点为, 因为对任意实数，都有所以的图像恒在的图像下方，如图，必有右边的零点，且左边的零点必在右边的零点的右边，即，解得. 综上，实数. 【总结与反思】 本题考查函数的性质，涉及绝对值、零点、逻辑量词以及不等式解法，深入考查数形结合、分类讨论思想.属于难题. 例6若函数上的一组正交函数，给出三组函数： ①；②；③ 其中为区间的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【规范解答】对①则为区间上的正交函数, 对②则不为区间上的正交函数, 对③，则为区间上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组，故选B. 【总结与反思】 本题为新定义题型,重点考查微积分基本定理的运用以及三角恒等变形.考生需要熟练掌握原函数的求法,而对于①需要先利用三角恒等变形转化后才能容易得到原函数. 例7设函数，曲线在点处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：. 【规范解答】(Ⅰ) 函数的定义域为， 由题意可得，故 （Ⅱ）由(Ⅰ)知(，从而等价于 设函数，则，所以当时，，当时， 故在单调递减，在单调递增,从而在的最小值为(. 设函数，则,所以当时，，当时，() 故在单调递增，在单调递减,从而在的最小值为. 综上：当时，，即. 【总结与反思】 本题考查了导数的几何意义，分类讨论思想，等价转换思想，利用导数求函数的最值、证明不等式，是一道导数的综合题，还考查运算求解能力、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，难度较大. 例8已知函数f（x）＝ex―e―x―2x （Ⅰ）讨论f（x）的单调性 （Ⅱ）设g（x）＝f（2x）－4b f（x），当x＞0，g（x）＞0，求b的最大值 （Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001） 【规范解答】（Ⅰ） f（x）＝ex―e―x―2x，x∈R f′（x）＝ex＋e―x―2＝ ex＋―2≥2―2＝0 ∴ f（x）在R上单调递增． （Ⅱ） g（x）＝f（2x）－4b f（x）＝e2x―e―2x―4x－4b（ex―e―x―2x）＞0，x＞0． 令h（x）＝e2x―e―2x―4x－4b（ex―e―x―2x），x＞0，则h（0）＝0. h′（x）＝2e2x＋2e―2x―4－4b（ex＋e―x―2）， ∴ x∈（0，m）， m＞0，使h′（x）≥0．即e2x＋e―2x―2－2b（ex＋e―x―2）≥0． 同理 令m（x）＝e2x＋e―2x―2－2b（ex＋e―x―2）， x∈（0，m）， m＞0，则m（0）＝0. m′（x）＝2e2x－2e―2x―2b（ex－e―x）， x∈（0，t），t＞0，使m（0）≥0. 即2e2x－2e―2x―2b（ex－e―x）≥0，即（ex＋e―x）（ex－e―x）－b（ex－e―x）≥0且ex－e―x＞0 即ex＋e―x≥b， ex＋e―x＞2＝2≥b， ∴ b的最大值为2 （Ⅲ）设x＝ln＞0，则f（ln）＞0，即f（ln）＝－－2 ln＝－ ln2＞0 解得ln2＜．由（Ⅱ）知f（2x）＞8 f（x），令x＝ ln＞0，则f（2 ln）＞8 f（ln）， 即f（ln2）＞8 f（ln），即2－－2 ln2＞8（－－2 ln），解得 6 ln2＞4－，即ln2＞－ 所以－＜ln2＜ 【总结与反思】 本题是压轴题，试题对考生能力的要求很高．利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以一道大题的形式出现，并且有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想，常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。 例9设a>0，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)． (1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． 【规范解答】(1)由已知，得x>0，f′(x)＝x－(a＋1)＋， y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1， 所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋＝1， 所以a＝0，此时f(2)＝2－2＝0， 故所求的切线方程为y＝x－2. (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝. ①当0查看更多
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