江苏省镇江八校2020届高三上学期大联考数学试题

江苏省镇江八校2020届高三上学期大联考数学试题

‎2019-2020届镇江八校第2次大联考 一、填空题：‎ ‎1.已知集合A={1，3}，B={2，3}，则A∪B=_____________.‎ ‎【答案】{1，2，3}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集的定义即可得出答案.‎ ‎【详解】A={1，3}，B={2，3}，A∪B={1，2，3}.‎ 故答案为: {1，2，3}‎ ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.‎ ‎2.设复数是纯虚数，且满足(其中为虚数单位)，则实数a=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 复数实数化，实部为零，虚部不为零，即可求出实数的值.‎ ‎【详解】,‎ 因为复数是纯虚数，所以，解得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查复数的分类，注意纯虚数虚部不为零，属于基础题.‎ ‎3.根据如图所示的伪代码，当输出的值为3时，实数的值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件语句，对分类讨论.‎ ‎【详解】若，舍去，‎ 若.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查条件语句的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知射击运动员甲、乙在四次射击中分别打出了10，，10，8环与10，，9，9环的成绩，若运动员甲所打的四次环数的平均数为9，那么运动员乙所打四次环数的方差是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由运动员甲所打的四次环数的平均数为9，求出的值，再求出乙所打的四次环数的平均数，即可求出乙所打四次环数的方差.‎ ‎【详解】甲所打的四次环数的平均数为9，，‎ ‎，则乙所打的四次环数的平均数9，‎ 乙所打四次环数的方差为 ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查平均数、方差的计算，属于基础题.‎ ‎5.在编号为1，2，3，4且大小和形状均相同的四张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出一次随机抽取其中的两张所有情况，找出两张卡片编号之和是偶数，根据古典概型计算公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】一次随机抽取其中的两张，由以下情况：‎ 共有6种抽取方法，‎ 其中抽取的两张卡片编号之和是偶数有2种抽取方法，‎ 其概率为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.‎ ‎6.设双曲线()的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由渐近线的倾斜角，求出斜率，再求出，即可求出离心率.‎ ‎【详解】双曲线()的一条渐近线的倾斜角为30°,‎ 所以.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，注意双曲线焦点的位置，属于基本题.‎ ‎7.已知圆锥的侧面积为8π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 侧面展开图半径为圆锥的母线，由已知条件求出圆锥的母线，再求出底面半径，即可求出圆锥的体积.‎ ‎【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，依题意，‎ ‎，‎ 侧面展开图的弧长为，‎ 圆锥的体积为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的结构特征，求圆锥的体积，属于基础题.‎ ‎8.已知是等比数列前项和，若，，则_________.‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，求出等比数列的公比，利用等比数列片段和的关系，即可求出结果.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，依题意，‎ ‎，‎ 解得，或（舍去），‎ ‎.‎ 故答案为：17‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，以及前项和的性质，属于基础题.‎ ‎9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且，则cosA=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为基底，分别把表示出来，然后根据已知条件即可求出.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，属于基础题.‎ ‎10.已知函数，若，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】(-1，3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证，原不等式转化为，再利用在是单调递增，不等式再转化为 ，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在上是单调递增，‎ 原不等式等价于，即，‎ 解得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查利用函数对称性和单调性解不等式，难点在于要看出函数的对称性，属于中档题.‎ ‎11.已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角，求出的范围，即可求得结论.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.‎ ‎12.已知A，B为圆C:上两个动点，且AB=2，直线:，若线段AB的中点D关于原点的对称点为D′，若直线上任一点P，都有，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称关系，为已知圆关于原点对称圆C′弦长为2弦的中点，转为圆C′的圆心与直线的距离关系，即可得结论.‎ ‎【详解】设圆C关于原点对称的圆为圆C′:，‎ 则A，B关于原点对称的点在圆上，‎ 的中点为AB的中点D关于原点的对称点为D′，‎ ‎，‎ 设C′到直线的距离为d.则，‎ 即，‎ 解得或 的取值范围是 ‎【点睛】本题考查图形的对称关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题.‎ ‎13.已知正数，满足，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件等式，将用表示，转为关于的函数，然后用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ 当且仅当，即时取等号.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查含有条件等式的最值问题，解题的关键要灵活应用条件等式，转化为基本不等式求最值，属于中档题.‎ ‎14.已知函数，若方程恰有两个实数解，且，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】(1，3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数形结合方法，转化为函数图像、函数图像以及的交点关系.‎ ‎【详解】令，‎ 化简，‎ 设方程两根为，‎ 此时，不合题意，‎ 因为，所以’，‎ 故为与的交点横坐标，‎ 由图可知∈(1，3).‎ 故答案为: (1，3)‎ ‎【点睛】本题考查方程的零点，转化为函数图像交点的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题.‎ 二、解答题.‎ ‎15.如图，在三棱锥中，,平面平面分别为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由分别为中点可得，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得，根据平面平面得到平面，故，再结合，可得平面，从而可得平面平面．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为分别为中点，‎ 所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为为中点，‎ 所以，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 故平面，‎ 因为平面，‎ 所以．‎ 因为，‎ 因此．‎ 因为平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎16.设向量，，为锐角．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若,求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）本题以向量为背景，实际考察三角函数及三角恒等变换，将向量数量积用坐标表示，求出的值，然后根据，求出的值，从而根据为锐角求出的值；（Ⅱ）根据的坐标表示，可以求出，可以根据同角三角函数基本关系式求出的值，再利用二倍角公式，求出的值，再将按两角和正弦公式展开，即可而求的值．另外，也可以根据齐次式求出的值，再将 按两角和正弦公式展开，从而求的值．注意公式的准确使用．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ 又∵为锐角，∴．‎ ‎（Ⅱ）法一：∵，∴．‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎∴‎ 法二 ∵，∴．‎ 易得，．‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎∴‎ 考点：1．向量平行垂直的坐标表示；2．同角三角函数基本关系式；3．三角恒等变换公式的应用．‎ ‎17.在平面直角坐标系中，已知椭圆C:(>>0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)，过点F且不与轴重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入椭圆方程，结合关系，即可求出椭圆标准方程；‎ ‎（2）设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出两点的坐标关系，进而求出点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线方程.‎ ‎【详解】(1)由题意可知，=1，且 又因为，‎ 解得，，‎ 所以椭圆C的标准方程为；‎ ‎(2)若直线AB的斜率不存在，则易得，，‎ ‎∴，得P(，0)，‎ 显然点P不在椭圆上，舍去；‎ 因此设直线的方程为，设，，‎ 将直线的方程与椭圆C的方程联立，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ 则由 得 將P点坐示代入椭圆C的方程，‎ 得(*)；‎ 将代入等式(*)得 ‎∴‎ 因此所求直线AB的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.‎ ‎18.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CD⊥AB，∠DCE=，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN=.已知CD=4m，CE=2m.‎ ‎(1)当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；‎ ‎(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用余弦定理求出，进而求出，结合已知条件，求出，用正弦定理求出；‎ ‎（2）由面积公式，余弦定理结合基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)当M，D重合时，‎ 由余弦定理知，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴在ΔEMN中，由正弦定理可知，‎ 解得；‎ ‎(2)易知E到地面的距离=5m 由三角形面积公式可知，‎ ‎∴，又由余弦定理可知，，‎ 当且仅当EM=EN时，等号成立，‎ ‎∴，解得 答:(1)路灯在路面的照明宽度为m；‎ ‎(2)照明宽度MV的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及到正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式，是一道综合题.‎ ‎19.已知数列的前项和满足.‎ ‎(1)证明数列为等差数列，并求出数列的通项公式.‎ ‎(2)若不等式，对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎(3)记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出所有符合条件的有序实数对(，)；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析，；(2) ；(3) 存在， (1，1)，(1，2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由与关系，得出的递推关系，再用等差数列的定义，证明为等差数列，求出其通项，即可求得的通项公式；‎ ‎（2）不等式，对任意恒成立，分离参数转为 对任意恒成立，转为求数列的最大值，即可求出结果；‎ ‎（3）求出通项公式，以及前项和为，代入化简，转化为关于的不等式，结合为正整数，可求出的值.‎ ‎【详解】(1)当=1时，，得，‎ 当时，，，‎ 两式相减得：，‎ ‎∴，即，‎ 又，‎ ‎∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知，即 ‎∵‎ ‎∴不等式，对任意恒成立，‎ 等价于对任意恒成立，‎ 记 法一：则时，‎ ‎∴时，；时，.‎ 或(法二)：时，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴或时，取最大值为，‎ ‎∴，即 ‎∴入的取值范围是:.‎ ‎(3)由得 ‎∴数列的前项和为，‎ 则 ‎∵，得 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵是正整数，∴‎ 当时，即 解得，.‎ 综上存在所有符合条件的有序实数对(，)为:(1，1)，(1，2).‎ ‎【点睛】本题考查已知前项和求通项，等差数列的定义、通项公式，等比数列的前项和，数列的单调性，以及解不等式，是一道难度较大的综合题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)当时，求函数的极值；‎ ‎(2)若恒成立，求的取值范围；‎ ‎(3)设函数的极值点为，当变化时，点(，)构成曲线M.证明:任意过原点的直线，与曲线M均仅有一个公共点.‎ ‎【答案】(1) 的极大值为，无极小值；(2) ；(3) 证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，求出单调区间，即可求出极值；‎ ‎（2）恒成立，两种解法：①分离参数，构造新函数，转化为与新函数的最值关系；②转化为，对分类讨论求出，转化为解关于的不等式；‎ ‎（3）先确定出点(，)构成曲线M，直线与曲线M均仅有一个公共点转化为函数的零点，对分类讨论，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可得证.‎ ‎【详解】(1)当时，，‎ 则 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 所以当时，的极大值为，无极小值；‎ ‎(2)(法一)∵，‎ ‎∴由恒成立，得恒成立，‎ 令则，‎ 令，则，‎ ‎∵，故 ‎∴在(0，+∞)单增，又，‎ ‎∴，，，‎ 即，，，，‎ ‎∴，单减，)，单增，‎ ‎∴时，取极小值即最小值，‎ ‎∴；‎ 法二：‎ 由二次函数性质可知，存在，使得，‎ 即，且当时，，‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 由题意可知，，‎ 设，则，即单调递增.‎ ‎∴的解集为(0，1]，即，‎ ‎∴；‎ ‎(3)由(2)可知，‎ 则曲线M的方程为，‎ 由题意可知.对任意，‎ 证明：方程均有唯一解，‎ 设，‎ 则 ‎①当时，恒成立，‎ 所以在上单调递增，‎ ‎∵，‎ 所以存在满足时，使得，‎ 又因为单调递增.所以为唯一解；‎ ‎②当且，即时，‎ 恒成立，所以在上单调递增，‎ ‎∵，，‎ ‎∴存在使得，‎ 又∵单调递增，所以为唯一解；‎ ‎③当时，有两解，不妨设，‎ 因为，所以，列表如下:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 由表可知，当时，‎ 的极大值为，‎ ‎∵，所以.‎ ‎∴，‎ ‎∴存在，使得，‎ 又因为单调递增，所以为唯一解:‎ 综上，原命题得证.‎ ‎【点睛】本题考查函数的极值，恒成立问题，并利用导数方法证明函数零点的存在，是一道综合题.‎ 附加部分 选修4-2:矩阵与变换 ‎21.已知矩阵，向量，计算.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出矩阵的特征值以及特征向量，向量用特征向量表示，按求矩阵指数幂运算法则即可求出结论.‎ ‎【详解】因为，由 得或.‎ 当时，对应的一个特征向量为 当时，对应的一个特征向量为 设，解得 所以 ‎【点睛】本题考查矩阵的特征值，特征向量，考查矩阵指数运算，属于基础题.‎ 选修4--4:坐标系与参数方程 ‎22.‎ 在极坐标系中，圆C方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的方程，可得圆心和半径，再将直线的参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下点到直线的距离公式求解即得．‎ ‎【详解】⊙C的方程化为ρ＝4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ 由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 得x2+y2﹣4x﹣4y＝0，‎ 其圆心C坐标为（2，2），半径，‎ 又直线l的普通方程为x﹣y﹣2＝0，‎ ‎∴圆心C到直线l的距离，‎ ‎∴弦长.‎ ‎【点睛】本题考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，考查了圆中的弦长问题，属于中等题．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.设，证明：.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据柯西不等式，不等式左边乘以，即可得证.‎ ‎【详解】证明：由柯西不等式，得 即 ‎∴.‎ 当且仅当时等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查柯西不等式应用，属于基础题.‎ ‎24.如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.‎ ‎(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；‎ ‎(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出夹角，即可得结果；‎ ‎（2）求出平面DEC的法向量，其与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值.‎ ‎【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，‎ A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，，)，P(1，1，3)，‎ 设直线CE与直线PA夹角为，则 整理得；‎ 直线CE与直线PA夹角的余弦值；‎ ‎(2)设直线PC与平面DEC夹角为，‎ 设平面DEC的法向量为，‎ 因为，‎ 所以有 取，解得，，‎ 即面DEC的一个法向量为，，‎ ‎.‎ 直线PC与平面DEC夹角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.‎ ‎25.已知.‎ ‎(1)记其展开式中常数项为，当时.求的值；‎ ‎(2)证明:在的展开式中，对任意，与的系数相同.‎ ‎【答案】(1)19；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据展开式的通项公式，求出常数项，即可求得结果；‎ ‎（1）先由展开式写出通项，分类讨论与存在，再证明系数相等.‎ ‎【详解】(1)；‎ ‎(2)由项式定理可知，‎ 对任意给定，当时，‎ 的展开式中无与项；‎ 当时，‎ 若为奇数，则，‎ 即的展开式中无与项；‎ 若为偶数，设，‎ 则的展开式中，的系数为 的系数为，即与项的系数相同，‎ 即当且为偶数时，在的展开式中，‎ 与项的系数均相同，‎ 所以在的展开式中，与项的系数相同，原命题得证.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式定理，解题的关键是掌握二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于中档题.‎ ‎ ‎