黑龙江省大庆市大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（文）试题

黑龙江省大庆市大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（文）试题

www.ks5u.com 大庆实验中学2018-2019学年度下学期期末考试 高一数学（文）试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，则下列不等式成立的是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的基本性质即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.‎ ‎2.平面平面，直线， ，那么直线与直线的位置关系一定是（ ）‎ A. 平行 B. 异面 C. 垂直 D. 不相交 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线与直线没有公共点.‎ ‎【详解】由题平面平面 ，直线，‎ 则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题。‎ ‎3.的值等于（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊角的三角函数值，得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，属于简单题.‎ ‎4.若函数的最小正周期为2，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可求得结果.‎ ‎【详解】由题意知：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题，属于基础题.‎ ‎5.若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数关系中，正弦与余弦的平方和为1这个公式，可以求出，再利用同角三角函数的商关系，求出的值.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系，考查了数学运算能力.‎ ‎6.已知函数，函数的最小值等于（ ）‎ A. B. C. 5 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将化为，由基本不等式即可求出最小值.‎ ‎【详解】因为，当且仅当，‎ 即时，取等号.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.‎ ‎7.过点且与直线垂直的直线方程是 ．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为，代入点解得直线方程.‎ ‎【详解】设与直线垂直的直线为：‎ 代入可得：，解得：‎ 所求直线方程为：，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题，属于基础题.‎ ‎8.在等差数列中，已知，则数列前9项之和等于（ ）‎ A. 9 B. 18 C. 36 D. 52‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.‎ ‎【详解】在等差数列中，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.‎ ‎9.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用扇形的弧长为底面圆的周长求出后可求高.‎ ‎【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为，则，所以，‎ 所以圆锥的高为，选C ‎【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该扇形的圆心角的弧度数为 .‎ ‎10.设为两条不同的直线，为三个不重合平面，则下列结论正确的是( )‎ A. 若，，则 B. 若， 则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】A选项，若，，则可能平行、相交或异面；故A错；‎ B选项，若， ，则或，故B错；‎ C选项，若，，因为为三个不重合平面，所以或，故C错；‎ D选项，若，，则，故D正确；‎ 故选D ‎【点睛】本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果.‎ ‎11.如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过中位线定理可以得到在正方体中，可以得到所以这样找到异面直线与所成角，通过计算求解。‎ ‎【详解】分别是中点，所以有而，因此 异面直线与所成角为在正方体中，,‎ ‎ 所以，故本题选C。‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线所成的角。‎ ‎12.在等比数列中，，，则（）‎ A. 140 B. 120 C. 100 D. 80‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，计算出，然后将，得到答案.‎ ‎【详解】等比数列中，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，属于简单题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，则________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的模长公式，计算得到答案.‎ ‎【详解】因为向量，‎ 所以，‎ 所以答案为.‎ ‎【点睛】本题考查向量的模长公式，属于简单题.‎ ‎14.在中，，，则的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到，由三角形的内角和，求出，再由正弦定理求出的值.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 在中，由正弦定理得 ‎，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎15.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原几何体，为一个底面是直角梯形的四棱锥，根据三视图的数据，分别求出其底面积和高，求出体积，得到答案.‎ ‎【详解】由三视图还原几何体如图所示，‎ 几何体是一个底面是直角梯形的四棱锥，‎ 由三视图可知，其底面积为，‎ 高 所以几何体的体积为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原几何体，求四棱锥的体积，属于简单题.‎ ‎16.若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.‎ 考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．‎ 三.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知，且为第二象限角．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用诱导公式，二倍角公式即可计算得解；‎ ‎（Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求tan2α的值，根据两角和的正切函数公式即可计算得解．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由已知，得，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，得， ‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎18.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1），（2），最小值为−16．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.‎ ‎【详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2． ‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（II）由（I）得． 所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，考查了等差数列前n项和的最值问题；求等差数列前n项和的最值有两种方法：①函数法，②邻项变号法.‎ ‎19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若A为锐角，，的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（1）或； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；‎ ‎(2)由余弦定理和三角形面积公式联立，即可求出结果.‎ ‎【详解】（I） ‎ 由正弦定理得，‎ ‎ ，即又， 或。‎ ‎（II），由余弦定理得，‎ 即 ，‎ 而的面积为 。‎ ‎ 的周长为5+。‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.‎ ‎20.设数列为等比数列，且，，‎ ‎（1）求数列的通项公式：‎ ‎（2）设，数列的前项和，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知条件转化为等比数列的基本量和，得到的值，从而得到数列的通项；（2）根据题意写出，然后得到数列的通项，利用列项相消法进行求和，得到其前项和，然后进行证明.‎ ‎【详解】设等比数列的首项为，公比为，‎ 因为，‎ 所以，所以 所以； ‎ ‎（2），‎ 所以，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，裂项相消法求数列的和，属于简单题.‎ ‎21.四棱柱中，底面为正方形，,为中点，且．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析;(2) ．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，即利用线面垂直进行证明，而证明线面垂直，则利用线面垂直判定定理，即从已知的线线垂直出发给予证明，本题利用平几知识，如等边三角形性质、正方形性质得线线垂直，（2）求点到直线距离，一般方法利用等体积法转化为求高.‎ 试题解析：（1）等边中, 为中点, ‎ 又,且 ‎ ‎ 在正方形中，‎ ‎ ‎ ‎(2) 中，,‎ 由(1)知, ‎ ‎ ‎ 等体积法可得 点到平面的距离为．‎ ‎22.已知直线截圆所得的弦长为．直线的方程为．‎ ‎（1）求圆方程；‎ ‎（2）若直线过定点，点在圆上，且，为线段的中点，求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用直线截圆得到的弦长公式可得半径r，从而得到圆的方程；（2）由已知可得直线l1恒过定点P（1,1），设MN的中点Q（x，y），由已知可得，利用两点间的距离公式化简可得答案.‎ ‎【详解】（1）根据题意，圆的圆心为（0，0），半径为r，‎ 则圆心到直线l的距离，‎ 若直线截圆所得的弦长为，‎ 则有，解可得，则圆的方程为；‎ ‎（2）直线l1的方程为，即，‎ 则有，解得，即P的坐标为（1，1），‎ 点在圆上，且，为线段的中点，则，‎ 设MN的中点为Q（x，y），‎ 则，即，‎ 化简可得：即为点Q的轨迹方程.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查直线恒过定点问题和轨迹问题，属于中档题.‎ ‎ ‎