四川省泸县四中2020届高三下学期第一次在线月考数学（文）试题

四川省泸县四中2020届高三下学期第一次在线月考数学（文）试题

‎2020年春四川省泸县四中高三第一学月考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知i为虚数单位，在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．函数的最小正周期为 ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎4．函数的图像是 A． B． C．D．‎ ‎5．已知数列为等比数列，则“”是“数列单调递增”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知，，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7．已知，，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎8．若实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎9．已知是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，若对任意的，关于的方程总有两个不同的实数根，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎11．三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为3的正三角形.若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，是的导函数，若存在有唯一的零点，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，则_____________．‎ ‎14．计算：=__________．‎ ‎15．甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有，，，，，六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是就行；乙说：，，，都行；丙说：我喜欢，但是只要不是就行；丁说：除了，之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为__________．‎ ‎16．在中，角所对的边分别为，若，且的面积.则角__________．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知数列的各项均为正数，前项和为，，．‎ ‎（I）求数列的项；‎ ‎（II）求数列的前项和.‎ ‎18．（12分）某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9:00到21:00这个时间段送的50单外卖.以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图.‎ 时间区间 每单收入（元）‎ ‎6‎ ‎5.5‎ ‎6‎ ‎6.4‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；‎ ‎（Ⅱ）在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单，且男性订的外卖中有20单带饮品，女性订的外卖中有10单带饮品，请完成下面的列联表，并回答是否有的把握认为“带饮品和男女性别有关”？‎ ‎19．（12分）20.如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.‎ ‎（I）设棱的中点为，证明： 平面；‎ ‎（II）若，，，且 平面平面，求三棱锥的体积.‎ ‎20（12分）已知椭圆的方程为，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于-1的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为．‎ ‎（I）证明：直线的斜率为定值；‎ ‎（II）求面积的最大值．‎ ‎21（12分）设．（）‎ ‎（I）讨论的单调区间；‎ ‎（II）当时，在上的最小值为，求在上的最大值．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（II）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值．‎ ‎23．已知函数.（10分）‎ ‎（I）在平面直角坐标系中作出函数的图象；‎ ‎（II）若当时，不等式恒成立，求的最大值.‎ ‎2020年春四川省泸县四中高三第一学月考试 文科数学参考答案 ‎1．D 2．D 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．D 9．D 10．B 11．A 12．A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）由得，，‎ 两式相减得，因为数列为正项数列，所以，又，‎ 故数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以.‎ ‎（2）由（1）知，，由及得 故数列是以为首项，公差为2的等差数列，‎ 所以，所以 ‎.‎ ‎18.（Ⅰ）由频率分布直方图得：，‎ ‎∴.‎ ‎∵样本容量，‎ ‎∴在这个时间段的频数为，‎ 同理可求得，，，，这5个时间段的频数分别为14，10，5，8.5.‎ ‎∴外卖小哥送50单的收入为 ‎（元）．‎ ‎（Ⅱ）由题意得列联表如下：‎ 带饮品 不带饮品 总计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 由表中数据可得．‎ ‎∴有的把握认为“带饮品和男女性别有关”．‎ ‎19．解：（1）证明：连接是的中点，是的中点，‎ 可由棱柱的性质知，且；‎ 四边形是平行四边形 分别是、的中点 平面平面 ‎ 平面 ‎（2）在面内作于点，平面 平面 平面，，， 是边长为的正三角形 于是 .‎ ‎20．（1）设，，则，直线的斜率，‎ 由，两式相减，，‎ 由直线，所以，直线的斜率为定值.‎ ‎（2）连结，∵，关于原点对称，所以，‎ 由（1）可知的斜率，设方程为.‎ ‎∵在第三象限，∴且，到的距离，‎ 由，整理得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴ ‎ ‎，.‎ ‎∴当时，取得最大值.‎ ‎21.（1）若，即时，恒成立，在上单调递减；‎ ‎（2）若，即时，令，得两根 ‎，‎ 当或时，单调递减；当时，，单调递增．‎ 综上所述：当时，的单调递减区间为；‎ 当时，的单调递减区间为和，‎ 单调递增区间为；‎ ‎（Ⅱ）随的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递减 ‎ 极小值 ‎ 单调递增 ‎ 极大值 ‎ 单调递减 ‎ 当时，有，所以在上的最大值为 又，即．‎ 所以在上的最小值为．‎ 得，从而在上的最大值为．‎ ‎22．（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为 ‎；‎ ‎（2）直线的参数方程为：（为参数），‎ 将其带入上述方程中得：，则，‎ 所以.‎ ‎23．解：（1），‎ 其图象如下图：‎ ‎（2）若，由（1）知函数的图象与轴的交点的纵坐标为3，‎ 各部分所在直线的斜率的最小值为-3，‎ 故当且仅当且时时，不等式恒成立，‎ 所以，所以，‎ 故的最大值为-6.‎