2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知函数，是的导函数，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求得函数的导数，然后根据列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故，解得.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查基本初等函数导数的计算，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎2．命题“对任意,都有”的否定是（ ）‎ A．对任意，都有 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，注意到要否定结论，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 原命题是全称命题，其否定是特称命题，是特称命题的是C,D两个选项.在C,D两个选项中，C选项没有否定结论，不符合题意.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查全称命题的的识别，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.‎ ‎3．复数，则其对应复平面上的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用复数乘法运算化简题目所给复数，由此得到复数对应的点的坐标，进而求得复数对应复平面上的点位于的象限.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，对应点的坐标为，位于第一象限，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查复数的乘法运算，考查复数对应点以及对应点所在的象限，属于基础题.‎ ‎4．由直线，，与曲线 所围成的封闭图形的面积为( )‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过计算定积分，求得封闭图像的面积.‎ ‎【详解】‎ 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用定积分计算曲边图形的面积，考查定积分的计算，属于基础题.‎ ‎5．已知函数，，则下列说法正确的是( )‎ A．函数的最大值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为3 D．函数的最小值为3‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据利用导数判断函数在区间上的单调性，由此求得函数的最大值和最小值，从而判断选项是否正确.‎ ‎【详解】‎ ‎，令，解得，故函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以函数在处取得极小值也即是最小值为.而 ‎，故最大值为.由此可知，D选项正确，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求函数在给定区间上的最大值和最小值，考查利用函数导数求函数的单调区间，属于中档题.要求一个函数的最大值和最小值，可以利用导数来进行求解，首先明确函数的定义域，然后对函数进行求导，根据导函数的正负判断原函数的单调区间，结合极值点和区间端点的函数值，得到最大值和最小值.‎ ‎6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）‎ A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】：自然数，，中恰有一个偶数的反面是．，，中至少有两个偶数或都是奇数，因此选B。‎ ‎7．已知函数，则的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于，排除B选项.由于，‎ ‎，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.‎ ‎8．设函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得函数的定义域，对函数求导，利用其导函数有两个零点，结合判别式以及二次函数的零点分布情况，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 的定义域为.，令其分子为，在区间上有两个零点，故，解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知函数的极值点个数来求解析式中参数的取值范围，考查二次函数零点分布有关问题的求解策略.属于中档题.有关函数极值点问题，首先要求得函数的定义域，在定义域的范围内来研究.对函数求导并通分后，根据通分后所得二次函数中所含参数的位置，结合二次函数对称轴以及零点位置，来求得参数的取值范围.‎ ‎9．已知函数与，、分别是函数、图象上的动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得函数图像上与平行的切线方程，然后利用两条平行线间的距离公式求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 令，解得，即切点为，切线方程为，即 ‎，由两条平行线间的距离公式得.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查利用导数求切线方程，考查两条平行线间的距离公式.属于中档题.‎ ‎10．下列命题中，真命题是（ ）‎ A．设，则为实数的充要条件是为共轭复数；‎ B．“直线与曲线C相切”是“直线与曲线C只有一个公共点”的充分不必要条件；‎ C．“若两直线，则它们的斜率之积等于”的逆命题；‎ D．是R上的可导函数，“若是的极值点，则”的否命题．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用特殊值排除A选项.直线与预先相切，不一定只有一个公共点，排除B选项.写出C选项的逆命题，根据两直线垂直的条件判断C选项正确.写出D选项的否命题，根据极值点的概念，判断D选项不正确.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，若，则为实数，不一定是共轭复数，故A选项错误.对于B选项. “直线与曲线C相切”时，与曲线除了切点外，可能还有其它的公共点，故B选项错误.对于C选项，其逆命题为“若两条直线斜率的乘积为，则”，根据两条直线相互垂直的条件可知，这是真命题，C选项正确.对于D选项，原命题的否命题是“若不是的极值点，则”，这是错误的，如，时，，而不是的极值点，因为导数为非负数，原函数在上递增.所以原命题的否命题是假命题.综上所述，本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数加法运算，考查充分、必要条件的判断，考查逆命题、否命题的真假性.属于中档题.‎ ‎11．已知分别是双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点，若，且在线段 上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，由此得到，根据，以及勾股定理列方程，求得的长度.设两条渐近线夹角，求得的值，由此求得的值，即的值，进而求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎.由于双曲线焦点到渐近线的距离为，由于，直线和垂直，由此得到三角形是直角三角形，，根据勾股定理及已知条件列方程组得，解得，设两条渐近线夹角，则，故，解得，即，故双曲线的离心率.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线的焦点到渐近线的距离，考查方程的思想，考查二倍角公式以及齐次方程，考查双曲线的离心率.综合性较强，属于中档题.本题的突破口在于三角形是直角三角形，根据双曲线焦点到渐近线的距离为，利用勾股定理及题目的已知条件，将渐近线的斜率求解出来，进而求得离心率.‎ ‎12．已知函数，则在的单调递增区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用定积分求得函数的解析式，再利用导数求得函数在上的递增区间.‎ ‎【详解】‎ 依题意.，故函数在上导数小于零，递减，在上导数大于零，递增.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查定积分的计算，考查利用导数求函数的单调递增区间，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．设函数,观察：，，，…，根据以上事实，由归纳推理可得：________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过观察题目所给条件，的解析式是，由此求得的解析式.‎ ‎【详解】‎ 通过观察题目所给条件，函数表达式的分母中，的系数和的下标相同，即的解析式是，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查合情推理，考查利用观察法得到函数的解析式，属于基础题.‎ ‎14．____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求得和的值，相加求得表达式的结果.‎ ‎【详解】‎ 由于表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分，故 . .故原式.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题.‎ ‎15．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】∵抛物线的焦点到直线的距离等于到抛物线的焦点的距离.‎ ‎∴P到直线和直线的距离之和的最小值是到直线的距离,‎ 即 点睛：求抛物线上点到抛物线外一直线与准线（或与准线平行的直线）的距离之和的最小值问题，通常把抛物线上点到准线距离转化为到焦点的距离，从而所求距离最小值为焦点到直线的距离．‎ ‎16．已知，，使得，则实数的取值范围为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出函数的图像，根据在区间上，函数图像最高点，高于图像的最高点列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 画出函数的图像如下图所示，要，，使得成立，则需要函数图像最高点，高于图像的最高点.即 ‎，即.对于，，故，所以，即的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查任意、存在两个关键词同时存在的不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数求解函数的最小值，综合性较强，属于较难题目.解题的突破口在于将不等式两边看作两个函数，利用两个函数的图像的的高低，来解决不等式的问题.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题函数在上单调递减；命题曲线为双曲线．‎ ‎（Ⅰ）若“且”为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（I）对函数求导，利用分离常数法求得命题中的取值范围，利用双曲线的标准方程的概念求得命题中的取值范围. 若“且”为真命题则均为真命题，求中两个的取值范围的交集，得到题目所求的取值范围.（II）若“或”为真命题，“且”为假命题，则一真一假，分别根据“真假”或者“假真”两类，结合（I ‎）的数据，求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）若为真命题，在恒成立，即在恒成立，∵在的最大值是3， ①‎ 若为真命题，则，解得，②‎ 若“且”为真命题，即，均为真命题，所以，解得，‎ 综上所述，若“且”为真命题，则实数的取值范围为； ‎ ‎（Ⅱ）若“或”为真命题，“且”为假命题，即，一真一假，‎ 当真假时，，解得，‎ 当假真时，，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假性求参数，考查导数和双曲线的有关知识，属于中档题.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.‎ ‎【答案】(1) (2) 切线方程为,切点为 ‎【解析】（I）先求得函数在处的导数，利用点斜式写出切线方程.（II）设出切点的坐标，利用导数求得切线的斜率，写出切线的方程，将原点坐标代入切线方程求得切点的坐标以及切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），所以 ‎ ，即 ‎（Ⅱ）设切点为，则 ‎ 所以切线方程为 ‎ 因为切线过原点，所以 ，‎ 所以，解得， ‎ 所以，故所求切线方程为，‎ 又因为，切点为 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求曲线上某点的切线方程，考查已知切线过某点来求切线方程的方法，属于中档题.‎ ‎19．已知直线过点，圆，直线与圆交于不同两点．‎ ‎（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在过点且垂直平分弦的直线？若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（I）方法一，设出直线的方程，联立直线方程和圆的方程，利用判别式大于零列不等式，求得的取值范围.方法二，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，解不等式求得点的取值范围.（II）根据弦的垂直平分线过圆心及点的坐标，求得垂直平分线的直线方程，但此方程和直线不垂直，由此判断出不存在这样的直线.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）法1：直线l的方程为，则 由得 由得，故 法2：直线l的方程为，即，‎ 圆心为C（3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离，‎ 因为直线与有交于A，B两点，故，故 ‎ ‎（Ⅱ）假设存在直线垂直平分于弦，此时直线过，‎ 则，故的斜率，由（1）可知，不满足条件．‎ 所以，不存在直线垂直于弦．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的几何性质，考查两直线垂直的条件，属于中档题.‎ ‎20．已知函数（），其中．‎ ‎（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若的最小值为1，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） (2) ‎ ‎【解析】（I）对函数求导，根据求得的值，验证函数的单调性可知的值符合题意.（II）对函数求导.对分成，两类，结合函数的单调性以及最小值为，通过讨论，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）求导函数可得．‎ ‎∵在处取得极值，∴，∴ ，解得；‎ 经检验，时在处取得极小值，符合题意，所以 ‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∵，，∴，．‎ 当时，在区间上，递增，的最小值为. ‎ 当时，由，解得；由，解得．‎ ‎∴的单调减区间为，单调增区间为． ‎ 于是，在处取得最小值，不符合题意．‎ 综上可知，若f（x）的最小值为1，则实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知函数的极值求函数的解析式，考查已知函数的最小值求参数的取值范围.属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆 的左右焦点分别为、，经过的直线与椭圆交于、两点，且的周长为8．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（I）根据焦点坐标求得，根据的周长为求得的值，利用求得的值，由此求得椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，消去并写出韦达定理.将转化为，并利用基本不等式求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为为椭圆的焦点，‎ 所以，由椭圆的定义知，‎ 的周长为，‎ 解得，所以，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，‎ 由，整理得，则， ‎ ‎，当时，，‎ 当时，，‎ ‎（当且仅当时等号成立）综上所述，的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的定义以及椭圆的标准方程，考查直线和椭圆相交所得弦以及三角形面积，考查利用基本不等式求表达式的最值的方法.解题的突破口在于利用椭圆的定义，根据三角形的周长求得的值.直线和椭圆相交形成的弦和面积的问题，往往通过联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理以及弦长公式来求解.‎ ‎22．已知函数（其中，），记函数的导函数为．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）的单调减区间为，无递增区间；（2）见解析 ‎【解析】（I）求得也即的表达式，对求导，由此求得的单调区间.（II）解法一：利用的单调性，求得的零点，由此求得关于的关系式.由于是的导函数，根据的单调性，可求得的最大值，利用这个最大值列不等式，用基本不等式等号成立的条件，求得的值.解法二：对分成或两类，利用求出的的范围比较后求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎∴，∵，，∴恒成立，‎ ‎∴的单调减区间为，无递增区间；‎ ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知在上单调递减，所以在上必存在实数根，不妨记，即，可得 （）‎ 当时，，即，当时，，即，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以， ‎ 把（）式代入可得，‎ 依题意恒成立，又由基本不等式有，当且仅当时等号成立，解得，所以．‎ 代入（）式得，，所以，又∵，所以解得．‎ 综上所述，存在实数，使得对任意正实数恒成立 解法二：要使对恒成立，‎ ‎①即时，，解得，所以，‎ ‎②即时，，解得，所以，‎ 依题意可知，①、②应同时成立，则，又∵，所以解得．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于较难的题目.题目求导了两次，即的导数得到，又求了的导数，利用的导数得到的单调性以及零点，进而研究的单调性以及最值.‎