江苏省常州市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省常州市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019学年度第一学期期中质量调研 高二数学试题 注意事项：‎ ‎1.本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分，本试卷满分160分，考试时间120分钟.‎ ‎2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔镇写在答题卡指定位置.‎ ‎3.答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效.‎ ‎4.如有作图需要，可用2B铅笔作等，并加黑加粗，描写清楚.‎ ‎5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔.‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.‎ ‎1.复数是实数，则______.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的虚部为0求得，再由的范围得答案.‎ ‎【详解】是实数，‎ ‎，即，‎ 又 或，‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题.‎ ‎2.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，求导函数f′（x）=12x2-2ax-2b ‎∵在x=1处有极值 ‎∴a+b=6‎ ‎∵a＞0，b＞0‎ ‎∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号 所以ab的最大值等于9‎ 故答案为：9‎ ‎3.______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等比数列前n项和求和，再由虚数单位的运算性质及复数的代数运算化简求值.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了虚数单位的运算性质，复数的除法运算，属于中档题.‎ ‎4.5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为______.‎ ‎【答案】240.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把5本书取出两本看做一个元素，这一元素和其他的三个元素分给四个同学，相当于在四个位置全排列，根据分步乘法计数原理即可得出结果.‎ ‎【详解】从5本书中取出两本看做一个元素共有种不同的取法，‎ 这一元素与其他三个元素分给四个同学共有种不同的分法，‎ 根据分步乘法计数原理，共有种不同的分法.‎ 故答案为：240‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列组合的综合应用，分步乘法计数原理，属于中档题.‎ ‎5.已知（为常数）在上有最小值3，那么此函数在上的最大值为______.‎ ‎【答案】43.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，判断函数单调性和极值，结合（为常数）在上有最小值3，求出的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值.‎ ‎【详解】，‎ ‎,‎ 令，解得或，‎ 当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，‎ 所以在时有极小值，也是上最小值，‎ 即，‎ 函数在上的最大值在或时取得，‎ ‎，‎ 函数在上的最大值为43.‎ 故答案为：43‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.‎ ‎6.来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作，每个场地由两名来自不同年级的裁判组成，则不同的安排方案共有______种.‎ ‎【答案】48.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两步完成，第一步先将6个裁判分为三组，第二步将分好的三组裁判安排到三个比赛场地，由分步乘法计数原理可得答案.‎ ‎【详解】第一步，将6个裁判分为3组，由于每个场地的裁判来自不同的年级，只能分为高一，高二；高一，高三；高二，高三这样三组，共有种分组方法；‎ 第二步，将分好的三组裁判安排到不同的三块场地，共有种不同的安排方法，‎ 由分步乘法计数原理知，不同的安排方法共种.‎ 故答案为：48‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，涉及分步乘法计数原理，属于中档题.‎ ‎7.若关于的方程在上有根，则实数的取值范围______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分离参数可得，利用导数可知在上的值域，即可求出m的取值范围.‎ ‎【详解】由上有根得在上有根，‎ 令，，‎ 则，‎ 当时，，当时，，‎ 所以在上是增函数，在上是减函数.‎ 当时，，‎ 又因为当时，，当时，，‎ 所以，‎ 故，‎ 由在上有根，‎ 可知.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.‎ ‎8.已知函数（为常数）在处取得极值，则值为______.‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，根据函数在处取得极值应有，即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以根据函数在处取得极值应有，‎ 即，‎ 解得，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，属于中档题.‎ ‎9.若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填.‎ 点睛：已知函数在所给区间上单调递增，求有关参数取值范围，往往采用以下两种方法：‎ ‎①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；‎ ‎②将问题转化为在所给区间上恒成立进行求解.‎ ‎10.质点运动的速度，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是______.‎ ‎【答案】108m.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令速度为0求出t的值 0和6，求出速度函数在上的定积分即可.‎ ‎【详解】由，得或，‎ 当时，质点运动的路程为，‎ 故答案为：108m ‎【点睛】本题主要考查了定积分，定积分在物理中的应用，属于中档题.‎ ‎11.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有______种.‎ ‎【答案】350.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意分两类，一类是2台组装机3台原装机，另一类是3台组装机2台原装机，再根据加法计数原理即可求解.‎ ‎【详解】由题意，可分两类：‎ 第一类，2台组装机3台原装机共有不同取法种，‎ 第二类，3台组装机2台原装机共有不同取法种，‎ 根据加法计数原理，共有种不同的取法.‎ 故答案为：350‎ ‎【点睛】本题主要考查了加法计数原理，组合的应用，属于中档题.‎ ‎12.的展开式中的系数是_____________．(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 原式可变形为，只需考虑展开式中的系数，所以系数为9+126=135，填135.‎ ‎【点睛】‎ 二项式展开，如果式子比较复杂，可以考虑先化简再展开。‎ ‎13. 给出右边的程序框图，那么输出的数是_______‎ ‎【答案】2450‎ ‎【解析】‎ 由框图知，当时；当时；当时；.当时.‎ 故答案为2450‎ ‎【考点】算法框图的识别；逻辑思维；等差数列求和.‎ ‎14.观察下列几个三角恒等式 ‎①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1‎ ‎②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1‎ ‎③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+tan（﹣15）°tan5°＝1．‎ 一般的，若tanα，tanβ，tanγ均有意义，你可以归纳出结论：_____‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察所给的等式，发现左边都是两个角的正切的乘积形式，一共有三项，且三个角的和为定值：直角，右边的值都为常数1，由此推广到一般结论即可 ‎【详解】观察所给等式，若角，，满足，且，，都有意义，‎ 则，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理的应用，推理过程由特殊再到一般，属于基础题 二、解答题：本大题共6小题，共90分 ‎15.已知复数，求实数m的值，使得复数z分别是：‎ ‎(1)0；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．‎ ‎【答案】（1）m＝2；（2）m≠2且m≠1；（3）m＝－；（4）m＝0或m＝2。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据复数的分类和复数的表示，列出方程组，即可求解答案.‎ 详解】由题意得z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.‎ ‎(1)当即m＝2时，z=0.‎ ‎(2)当m2－3m＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．‎ ‎(3)当即m＝－时，z为纯虚数．‎ ‎(4)当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，‎ 即m＝0或m＝2时，z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的分类，列出相应的方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎16.已知 展开式中的倒数第三项的系数为45，‎ 求：（1）含的项；‎ ‎（2）系数最大的项．‎ ‎【答案】(1) 210x3(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由已知得：，即，‎ ‎∴，解得（舍）或，‎ 由通项公式得： ，‎ 令，得，‎ ‎∴含有的项是.‎ ‎（2）∵此展开式共有11项，∴二项式系数（即项的系数）最大项是第6项，‎ ‎∴‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数在区间上的最大、最小值；.‎ ‎（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的导数可确定函数为增函数，即可求解（2）构造函数，利用导数证明在区间上为减函数，故最大值即可证明.‎ ‎【详解】（1）由有，‎ 当时，,‎ 在区间上为增函数，‎ ‎，，‎ ‎（2）设，‎ 则，‎ 当时，，‎ 且故时，‎ ‎，得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，求函数最值，属于中档题.‎ ‎18.设函数在及时取得极值．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出，利用，列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得的最大值为，由解不等式即可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ），‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．‎ 当时，；当时，；‎ 当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，‎ 的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.‎ ‎19.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：‎ 已知甲、乙两地相距100千米。‎ ‎（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？‎ ‎（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？‎ ‎【答案】(1) 17.5 L. (2) 当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.‎ ‎【解析】‎ 本试题主要考查了导数在物理中的运用。‎ 解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,‎ 要耗油(.‎ 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. ‎ ‎(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=()·,‎ ‎(x)=其中0＜x≤120‎ 令(x)=0，得x=80.‎ 当x∈(0,80)时，(x)＜0,h(x)是减函数;‎ 当x∈(80120)时，(x)＞0,h(x)是增函数.‎ ‎∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.‎ 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.‎ 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，‎ 最少为11.25升.‎ ‎20.设函数 ‎（Ⅰ）试问函数能否在处取得极值，请说明理由;‎ ‎（Ⅱ）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）f(x)在x=-1处无极值. （2）或c=‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：‎ ‎ ‎