数学卷·2018届河南省周口市郸城一中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届河南省周口市郸城一中高二上学期第一次月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年河南省周口市郸城一中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．在△ABC中，已知A=30°，B=60°，a=5，则b等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A的度数等于（　　）‎ A．120° B．60° C．150° D．30°‎ ‎3．在△ABC中，b=asinB，则△ABC一定是（　　）‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎4．已知数列{an}，满足a1=1，an+1=2an+3，则a5等于（　　）‎ A．64 B．63 C．32 D．61‎ ‎5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的第几项？（　　）‎ A．26 B．24 C．22 D．20‎ ‎6．已知数列{an}满足a1=3，，则a2016=（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．﹣1‎ ‎7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（　　）‎ A．79 B．69 C．5 D．﹣5‎ ‎8．若数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则sin（a2+a12）的值（　　）‎ A． B． C．10 D．5‎ ‎9．在等差数列{an}中，a5=3，a10=18，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=（　　）‎ A．80 B．81 C．82 D．83‎ ‎10．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1=﹣1，若am=a1•a2•a3•a4•a5，则m等于（　　）‎ A．12 B．11 C．10 D．9‎ ‎11．等比数列{an}的前n项的和分别为Sn，S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（　　）‎ A．24 B．16 C．12 D．8‎ ‎12．设Sn为等差数列{an}的前n项的和，a1=﹣2016， =2，则S2016的值为（　　）‎ A．﹣2015 B．﹣2016 C．2015 D．2016‎ ‎　‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在△ABC中，已知a=2，A=120°，则△ABC的外接圆的半径为　　．‎ ‎14．数列{an}的通项公式an=，若前n项的和为10，则n=　　．‎ ‎15．若数列{an}的前n项的和为Sn，且an=3Sn﹣2，则{an}的通项公式　　．‎ ‎16．若数列{an}为等差数列，首项a1＜0，a2015+a2016＞0，a2015•a2016＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，若a=6，b=6，A=30°，解三角形．‎ ‎18．（Ⅰ）在8与215中间插入两个数，使它们成等差数列，求这两个数．‎ ‎（Ⅱ）在96与3中间插入4个数，使它们成等比数列，求这四个数．‎ ‎19．在等差数列{an}中，a1=50，S9=S17，求前n项的和Sn的最大值．‎ ‎20．已知一个等差数列{an}的前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和．‎ ‎21．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．‎ ‎22．已知向量=（an，2n），=（2n+1，﹣an+1），n∈N*，向量与垂直，且a1=1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{an•bn}的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎23．数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．‎ ‎（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省周口市郸城一中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．在△ABC中，已知A=30°，B=60°，a=5，则b等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵A=30°，B=60°，a=5，‎ ‎∴由正弦定理可得：b===5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A的度数等于（　　）‎ A．120° B．60° C．150° D．30°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由条件可得 b2+c2﹣a2=﹣bc，再由余弦定理可得 cosA==，以及 0°＜A＜180°，可得A的值．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，‎ ‎∴整理可得：b2+c2﹣a2=bc．‎ 再由余弦定理可得 cosA===，‎ 又 0°＜A＜180°，可得A=60°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，b=asinB，则△ABC一定是（　　）‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】由正弦定理可得b=，又b=asinB，解得sinA=1，从而可求A=90°，即可得解．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得：b=，‎ 又b=asinB，‎ 所以：sinA=1，‎ 所以可得：A=90°，可得三角形一定为直角三角形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知数列{an}，满足a1=1，an+1=2an+3，则a5等于（　　）‎ A．64 B．63 C．32 D．61‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】两边同加3，可得an+1+3=2（an+3），从而{an+3}是以a1+1=4为首项，q=2为公比的等比数列，故可求．‎ ‎【解答】解：由题意an+1=2an+3，可得an+1+3=2（an+3）‎ ‎∴{an+3}是以a1+3=4为首项，q=2为公比的等比数列 ‎ an+3=4•2n﹣1=2n+1 故an=2n+1﹣3，‎ a5=61．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的第几项？（　　）‎ A．26 B．24 C．22 D．20‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】利用0.96=，解得n即可得出．‎ ‎【解答】解：假设0.96是该数列的第n项，‎ 可得0.96=，解得n=24．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知数列{an}满足a1=3，，则a2016=（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由a1=3，，求得a2==1，a3==2，a4==3，…，数列{an}是周期为3的周期数列，a2016=a672×3=a3=2．‎ ‎【解答】解：由a1=3，，‎ 则a2==1，‎ a3==2，‎ a4==3，‎ a5==1，‎ ‎…‎ ‎∴数列{an}是周期为3的周期数列，‎ 由2016=672×3‎ ‎∴a2016=a672×3=a3=2，‎ ‎∴a2016=2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（　　）‎ A．79 B．69 C．5 D．﹣5‎ ‎【考点】余弦定理；平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：‎ cosB==，又||=5，||=7，‎ 则=||•||cos（π﹣B）=﹣||•||cosB ‎=﹣5×7×=﹣5．‎ 故选D ‎　‎ ‎8．若数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则sin（a2+a12）的值（　　）‎ A． B． C．10 D．5‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】求出a7；a2+a12值，即可求出三角函数值．‎ ‎【解答】解：数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，‎ 可得a7=；a2+a12=，‎ sin（a2+a12）=sin=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．在等差数列{an}中，a5=3，a10=18，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=（　　）‎ A．80 B．81 C．82 D．83‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得：an，数列{an}的前n项和Sn，令an≤0，解得n≤4，可得：|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=﹣2S4+S10．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5=3，a10=18，‎ ‎∴，解得a1=﹣9，d=3．‎ ‎∴an=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12，‎ ‎∴数列{an}的前n项和为：Sn==n2﹣n，‎ 令an≤0，解得n≤4，‎ ‎∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=﹣a1﹣a2﹣a3﹣a4+a5+…+a10=﹣2S4+S10=﹣2×‎ ‎+=81．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1=﹣1，若am=a1•a2•a3•a4•a5，则m等于（　　）‎ A．12 B．11 C．10 D．9‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】据等比数列的性质得，a1•a5=a2•a4=a32，据此将am=a1•a2•a3•a4•a5进行变形，从而求得m的值．‎ ‎【解答】解：据等比数列的性质得，a1•a5=a2•a4=a32，‎ 又am=a1a2a3a4a5，所以am=a35，‎ 因为am=a1qm﹣1=﹣qm﹣1，a3=a1q2=﹣q2，‎ 所以qm﹣1=（q2）5，所以m﹣1=10，即m=11，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．等比数列{an}的前n项的和分别为Sn，S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20=（　　）‎ A．24 B．16 C．12 D．8‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，由S5=2，S10=6，利用求和公式可得：q5=2．则a16+a17+a18+a19+a20=q15（a1+a2+…+a5），即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S5=2，S10=6，‎ ‎∴=2， =6，‎ 解得：q5=2．‎ 则a16+a17+a18+a19+a20=q15（a1+a2+…+a5）=23×2=16．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．设Sn为等差数列{an}的前n项的和，a1=﹣2016， =2，则S2016‎ 的值为（　　）‎ A．﹣2015 B．﹣2016 C．2015 D．2016‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】=（）﹣（）=d=2，由此能求出S2016的值．‎ ‎【解答】解：设差数列{an}的公差为d，Sn为等差数列{an}的前n项的和，‎ 由等差数列的前n项和公式得，‎ ‎∴，‎ ‎∵a1=﹣2016， =2，‎ ‎∴=（）﹣（）=d=2，‎ ‎∴S2016=2016×（﹣2016）+=2016（﹣2016+2015）=﹣2016．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在△ABC中，已知a=2，A=120°，则△ABC的外接圆的半径为　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知可先求sinA的值，由正弦定理即可求△ABC的外接圆的半径．‎ ‎【解答】解：∵a=2，A=120°，‎ ‎∴sinA=，‎ ‎∴由正弦定理可得：△ABC的外接圆的半径R===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．数列{an}的通项公式an=，若前n项的和为10，则n=　120　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】首先观察数列{an}‎ 的通项公式，数列通项公式分母可以有理化，把分母有理化后，把前n项和表示出来，进而解得n．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an==﹣，‎ ‎∵前n项和为10，‎ ‎∴a1+a2+…+an=10，即（﹣1）+（﹣）+…+﹣=﹣1=10，‎ 解得n=120，‎ 故答案为：120．‎ ‎　‎ ‎15．若数列{an}的前n项的和为Sn，且an=3Sn﹣2，则{an}的通项公式　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知数列递推式求得数列首项，并得到{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：由an=3Sn﹣2，①‎ 得a1=3S1﹣2=3a1﹣2，解得a1=1；‎ 当n≥2时，an﹣1=3Sn﹣1﹣2，②‎ ‎①﹣②得：an﹣an﹣1=3an，即（n≥2），‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．若数列{an}为等差数列，首项a1＜0，a2015+a2016＞0，a2015•a2016＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是　4029　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由已知推导出数列{an}中前2015项都为负，从第2016项起为正，由等差数列前n项和的对称性知：S4030＞0，由此能求出使前n项和Sn＜0成立最大自然数n．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a2015•a2016＜0，a2015+a2016＞‎ ‎0，‎ ‎∴a2015＜0，a2016＞0，‎ ‎∴数列{an}中前2015项都为负，从第2016项起为正，‎ 由等差数列前n项和的对称性知：S4030＞0，‎ ‎∴S4029＜0，‎ ‎∴使前n项和Sn＜0成立最大自然数n是4029．‎ 故答案为：4029．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，若a=6，b=6，A=30°，解三角形．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理求得sinB，可得 B=60° 或120°．根据三角形的内角和公式求出角C的值，再由余弦定理求出c的值．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，a=6，b=6，A=30°，由正弦定理可得sinB===，‎ ‎∴B=60° 或120°．‎ 当 B=60° 时，可得 C=90°，‎ ‎∴c==12．‎ 当 B=120° 时，可得 C=30°，‎ ‎∴c==6．‎ 综上可得 a=6，b=6，c=12，A=30°，B=60°，C=90°．或a=6，b=6，c=6，A=30°，B=120°，C=30°．‎ ‎　‎ ‎18．（Ⅰ）在8与215中间插入两个数，使它们成等差数列，求这两个数．‎ ‎（Ⅱ）在96与3中间插入4个数，使它们成等比数列，求这四个数．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设插入的两个数分别为a，b，结合已知求得公差，再由等差数列的定义求得a，b；‎ ‎（Ⅱ）设在96与3中间插入4个数分别为a，b，c，d，由等比数列的通项公式求得公比，再由等比数列的定义求得四个数．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设插入的两个数分别为a，b，则8，a，b，215成等差数列，‎ 设公差为d，则，‎ ‎∴a=8+69=77，b=77+69=146．‎ 故两个数为77，146；‎ ‎（Ⅱ）设在96与3中间插入4个数分别为a，b，c，d，‎ 则96，a，b，c，d，3成等比数列，设公比为q，‎ ‎∴，‎ ‎∴，b=，c=，d=．‎ 故四个数为48，24，12，6．‎ ‎　‎ ‎19．在等差数列{an}中，a1=50，S9=S17，求前n项的和Sn的最大值．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质化简S17=S9，再利用等差数列的通项公式化简，用含a1的式子表示出d，把a1的值代入即可求出d的值，然后由a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而表示出等差数列的前n项和为关于n的二次函数，配方后即可求出Sn的最大值．‎ ‎【解答】解：由S17=S9，‎ 得到=，‎ 即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=50，‎ 解得：d=﹣=﹣4，‎ 所以an=a1+（n﹣1）d=﹣4n+54，‎ 则Sn===﹣2n2+27n=﹣2（n﹣）2+，‎ 因为n是正整数，‎ 所以当n=7时，Snmax=91．‎ ‎　‎ ‎20．已知一个等差数列{an}的前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ 由题意可得：10a1+d=100，100a1+d=10，‎ 联立解得a1=，d=﹣．‎ ‎∴前110项的和=110a1+d=﹣55×109×=﹣110．‎ ‎　‎ ‎21．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB，由sinB≠0，可得cosA=，结合A的范围，即可解得A的值．‎ ‎（Ⅱ）由b=2c及余弦定理可求得cosA=，解得c，b，由三角形面积公式即可得解．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） 由（2b﹣c）cosA=acosC，得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，‎ 得：2sinBcosA=sin（A+C），所以2sinBcosA=sinB，…‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴sinB≠0，‎ 所以cosA=，因为0＜A＜π，‎ 所以解得：A=．…‎ ‎（Ⅱ） 因为b=2c．所以cosA===，解得c=，‎ ‎∴b=2．…‎ 所以S△ABC=bcsin A=×2××=．…‎ ‎　‎ ‎22．已知向量=（an，2n），=（2n+1，﹣an+1），n∈N*，向量与垂直，且a1=1‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{an•bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由向量与垂直，得2nan+1=2n+1an，∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求an ‎（2）由an•bn=n•2n﹣1，则Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，利用错位相减法可求其和．‎ ‎【解答】解：（1）∵向量与垂直，∴2nan+1﹣2n+1an=0，‎ ‎ 即2nan+1=2n+1an，…‎ ‎∴=2∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列…‎ ‎∴an=2n﹣1． …‎ ‎（2）∵bn=log2a2+1，∴bn=n ‎∴an•bn=n•2n﹣1，…‎ ‎∴Sn=1+2×2+3×22+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1 …①‎ ‎∴2Sn=1×2+2×22+…（n﹣1）×2n﹣1+n×2n …②…‎ 由①﹣②得，﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=‎ ‎=（1﹣n）2n﹣1…‎ ‎∴Sn=1﹣（n+1）2n+n•2n+1=1+（n﹣1）•2n．…‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎23．数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．‎ ‎（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将an+2=2an+1﹣an+2变形为：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1﹣an并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得，‎ an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，‎ 由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2，‎ 即bn+1﹣bn=2，‎ 又b1=a2﹣a1=1，‎ 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ 由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，‎ 则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，‎ 所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1‎ ‎==（n﹣1）2，‎ 又a1=1，‎ 所以{an}的通项公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．‎ ‎　‎ ‎2017年1月15日