数学（文）卷·2017年天津市部分区高三下学期质量调查（一）（2017

数学（文）卷·2017年天津市部分区高三下学期质量调查（一）（2017

天津市部分区2017年高三量调查试卷（一）‎ 数学（文史类）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知集合，则集合为 A． B． C． D．‎ ‎2、从区间内随机取出一个数，使的概率为 A． B． C． D．‎ ‎3、底面为正方形且测棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的 组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎4、已知双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎5、已知的最小值为2，则是的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6、设函数，若对任意的都有成立，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎7、在中，是的中点，是上一点，且，则的值是 A． B． C． D．‎ ‎8、已知函数，若存在满足 ，‎ 且，则的最小值为 A．8 B．9 C．10 D．11‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎9、已知是虚数单位，若复数满足，则的实部为 ‎ ‎10、阅读如图所示的程序框图，运行的程序，则输出S的值为 ‎ ‎11、已知函数为的导数，‎ 则的值为 ‎ ‎12、已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴右侧，且截直线 所得弦的长为2，则圆的方程为 ‎ ‎13、已知，则的最大值为 ‎ ‎14、已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ 在中，内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎ （2）求的值.‎ ‎16、（本小题满分13分）‎ ‎ 某人欲投资两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测，两支股票可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损分别为和，若投资金额不超过15万元，根据投资意向，A股的投资不大于B股投资额的3倍，且确保可能的资金亏损不超过2.7万元，设该人分别用万元，万元投资 两支股票.‎ ‎（1）用列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎ （2）问该人对两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润.‎ ‎17、（本小题满分13分） ‎ ‎ 如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，.‎ ‎（1）若，求证：平面；‎ ‎ （2）求证：平面平面；‎ ‎（3）若，求与平面所成角.‎ ‎18、（本小题满分13分）‎ ‎ 已知正项数列中，，前n项和为，且满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，数列的前n项和 ，求证：.‎ ‎19、（本小题满分14分）‎ 已知椭圆，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎ （2）若点在椭圆C上，不过原点的直线与椭圆C相交于A、B两点，与直线OM相较于点N，且N是线段AB的中点，求面积的最大值.‎ ‎22、（本小题满分14分）‎ 已知函数 .‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎ （2）定义若函数有三个零点，分别为，且，则称为的中间零点，设是函数的中间零点.‎ ‎ ①当时，求的取值范围；‎ ‎②当时，设是函数的3个零点，是否存在实数，使 的某种排列成等差数列，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.‎ 天津市部分区2017年高三质量调查试卷（一）‎ 数 学（文史类）‎ 一、选择题：‎ ‎（1）-（4）BCAB（5）-（8）DCAC 二、填空题： ‎ ‎（9） （10） （11）2 （12） （13）（14）‎ 三、解答题:‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由正弦定理得，...............................1分 所以，....................................................2分 由余弦定理得， ‎ 即，............................................................................................................3分 所以，即，所以，...............................................5分 由可得．......................................................................................................6分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)得，，所以..................................................................7分 所以；...................................................................................9分 从而...................................................................................10分 ‎．…………………………………………13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ)由题意，得 即 上述不等式组表示的平面区域如图所示.…………5分 ‎(Ⅱ)目标函数，阴影部分(含边界)即为可行域．‎ ‎，即为，这是斜率为，且随变化的一组平行线．‎ 当直线经过可行域内的点M时，直线在轴上的截距最大，也最大．………………………………………………………………9分 这里点是直线和的交点．‎ 由方程组 解得 此时 (万元)．‎ 所以当时，取得最大值万元．……………… 12分 因此，该人用万元投资股票、万元投资股票，才能在确保亏损不超过万元的前提下，使可能的盈利最大，最大为万元．……………………………13分 ‎（17）（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ） 证明：取的中点，连接，‎ 因为是菱形的对角线与的交点，‎ 所以，且．‎ 又因为，且，‎ 所以，且，‎ 从而为平行四边形， ‎ 所以．…………………………………………………………2分 又平面，平面，‎ ‎∴平面．……………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）因为四边形为菱形,‎ 所以；‎ 因为，是的中点，‎ 所以．‎ 又，‎ 所以平面．…………………………6分 又平面，‎ 所以平面平面． …………………………8分 ‎ （Ⅲ） 作于，‎ 因为平面平面，‎ 所以平面,‎ 则为与平面所成角．…………………10分 由及四边形为菱形，得为正三角形，‎ 则，．‎ 又，‎ 所以为正三角形，从而．……………………………………11分 在中，由余弦定理，得，‎ 则，…………………………………………………………………12分 从而，‎ 所以与平面所成角的大小为．…………………………………13分 (18) ‎（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由，得，‎ 即，‎ 由数列的各项为正数，得，……………………………………3分 所以数列为等差数列．……………………………………………………………4分 由，，得，则数列的公差为，‎ 所以.…………………………………………………………6分 当时，，‎ 而不适合上式，所以数列的通项公式为……………………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），得，………………8分 则 ‎．……………………………………………………………………11分 一方面，；‎ 另一方面，是关于的增函数，则，‎ 因此，．……………………………………………………………………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意,得，…………………………………1分 则，结合，得，‎ 即，……………………………………………………2分 亦即，结合，解得.‎ 所以椭圆的离心率为.………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)得，则.‎ 将代入椭圆方程，解得.‎ 所以椭圆方程为.………………………………………………6分 易得直线的方程为.‎ 当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.‎ 设直线的方程为，与联立消，得 ‎,‎ 所以. ……………8分 设,则,.‎ ‎，所以的中点,‎ 因为在直线上，所以，解得. ……………11分 所以，得，‎ ‎ .‎ 当时最大，且，‎ 所以的最大值为. ……………14分 ‎（20）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）若，则，………………………2分 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.………………………………4分 ‎（Ⅱ）（i）……………………6分 因为是的中间零点，‎ 令，则需有 所以的取值范围为………………………………9分 ‎（ii）假设存在满足条件，不妨设，‎ 则，是的两根.‎ 所以，‎ ‎，.……10分 ①若成等差数列，则 ‎，‎ ‎.……11分 ②若成等差数列，同理可求 ‎. ……12分 ③若成等差数列，则 ‎，‎ ‎ ，‎ 所以，‎ 整理得，解得或.‎ 经检验，满足题意. ……13分 ④若成等差数列，则，‎ ‎，，‎ ‎，解得.‎ 经检验，满足题意.‎ 综上所述，或或.……14分