【数学】2020届一轮复习人教B版独立重复试验与二项分布（理）学案

【数学】2020届一轮复习人教B版独立重复试验与二项分布（理）学案

独立重复试验与二项分布 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．‎ ‎ 2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、n次独立重复试验 每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。‎ 要点诠释：‎ 在次独立重复试验中，一定要抓住四点：‎ ‎①每次试验在同样的条件下进行；‎ ‎②每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生； ‎ ‎③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；‎ ‎④各次试验之间相互独立。‎ 总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。‎ 要点二、独立重复试验的概率公式 ‎1.定义 如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：‎ ‎（k=0，1，2，…，n）．‎ 令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为 令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。‎ 要点诠释：‎ ‎1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．‎ ‎2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．‎ 要点三、n次独立重复试验常见实例：‎ ‎1.反复抛掷一枚均匀硬币 ‎2.已知产品率的抽样 ‎3.有放回的抽样 ‎4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：‎ 抽样问题中的独立重复试验模型：‎ ‎①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；‎ ‎②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；‎ ‎③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。‎ 要点四、离散型随机变量的二项分布 ‎1. 定义：‎ 在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是 ‎，（）．‎ 于是得到离散型随机变量的概率分布如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P ‎…‎ ‎…‎ 由于表中第二行恰好是二项展开式 中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作．‎ 要点诠释：‎ 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：‎ 其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的；‎ 其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次；‎ 其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。‎ ‎2．如何求有关的二项分布 ‎（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；‎ ‎（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；‎ ‎（3）用表格形式列出随机变量的分布列。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、独立重复试验的概率 ‎ 例 1．某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）：‎ ‎ （1）5次预报中恰有2次准确的概率；‎ ‎ （2）5次预报中至少有2次准确的概率；‎ ‎ （3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．‎ ‎【思路点拨】5次预报相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可．‎ ‎【解析】（1）5次预报中恰有2次准确的概率为 ‎ ．‎ ‎（2）5次预报中至少有2次准确的概率为 ‎ ．‎ ‎ （3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为 ‎ ．‎ ‎【总结升华】 解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】甲每次投资获利的概率是p=0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：‎ ‎ （1）有5次获利的概率；‎ ‎ （2）6次都获利的概率；‎ ‎ （3）至少5次获利的概率．‎ ‎【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，0.8），且 ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ （1）他5次获利的概率约等于0.39．‎ ‎ （2）他6次都获利的概率约等于0.26．‎ ‎ （3）{X≥5}表示他至少5次获利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}．‎ ‎ 由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以 ‎ P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈0.39+0.26=0.65．‎ ‎ 故他至少5次获利的概率约等于0.65．‎ ‎【变式2】（2015春 大庆校级期中）若随机变量，则p（ξ＜3）=________‎ ‎【答案】‎ ‎∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【变式3】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？‎ ‎【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ‎∴从低层到顶层停不少于3次的概率 设从低层到顶层停次，则其概率为，‎ ‎∴当或时，最大，即最大，‎ 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．‎ 例2． 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．‎ ‎ （1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？‎ ‎ （2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？‎ ‎ 【思路点拨】本题考查概率基础知识、独立重复试验等．（1）中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜．（2）中用同样的方法分类．‎ ‎ 【解析】（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。则 ‎ ．‎ ‎（2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则 ‎．‎ ‎【总结升华】 本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛3局，甲以2：1获胜，须前两局中甲胜一局负一局，第三局甲胜． ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知乒乓球选手甲、乙进行比赛，而且他们在每一局中获胜的概率都是，规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜。‎ ‎（1）试求甲分别打完四局、五局、六局、七局才获胜的概率；‎ ‎（2）设比赛局数为X，求离散型随机变量X的分布列。‎ ‎【答案】（1）根据比赛规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜，则：‎ ‎①记事件A1=“甲连胜四局”，‎ 所以甲打完四局就获胜的概率为：‎ ‎；‎ ‎②记事件A2=“在前四局比赛中甲胜三局且第五局也胜”，‎ 所以甲打完五局才获胜的概率为：‎ ‎；‎ ‎③记事件A3=“在前五局比赛中甲胜三局且第六局也胜”，‎ 所以甲打完六局才获胜的概率为：‎ ‎；‎ ‎④记事件A4=“前六局比赛中甲胜三局且第七局也胜”，‎ 所以甲打完七局才获胜的概率为：‎ ‎。‎ ‎（2）由题意可知，比赛局数X的可能取值为4，5，6，7，并且每种情况比赛总有一人获胜，‎ 故离散型随机变量X的分布列为 X ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P 类型二、离散型随机变量的二项分布 例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。‎ ‎ （Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；‎ ‎ （Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列。‎ ‎【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分服从二项分布，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。‎ ‎【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则 ‎ ‎（Ⅱ）由题意，的可能取值为3．4．5．6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为 ‎ 的分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎ 【总结升华】‎ ‎①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量服从二项分布，然后运用n次独立重复试验的概率公式计算。‎ ‎②注意n次独立重复试验中，离散型随机变量X服从二项分布，即，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．‎ ‎【答案】依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，‎ P(ξ=0)=(95%)=0.9025，P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095，‎ P()=(5%)=0.0025．‎ ‎ 因此，次品数ξ的概率分布是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.9025‎ ‎0.095‎ ‎0.0025‎ ‎【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题3】‎ ‎【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。‎ ‎（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．‎ 解：（1）B(5, )，ξ的分布列为P(ξ=k)=，k=0，1，2，3，4，5； ‎ ‎（2）η的分布列为P(η=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=，k=0，1，2，3，4；P(η=5)=P(5个均为绿灯)=；‎ ‎（3）所求概率=P(ξ≥1)=1－P(ξ=0)=1－≈0.8683.‎ ‎【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X次球，求X的分布列及P（X=12）．‎ ‎【答案】由题意知，X是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是，取得白球的概率是，所以X=k（k=10，11，12…）表示取了k次球，且第k次取到的是红球，前（k－1）次取得9次红球．‎ ‎∴X的分布列为 ‎（k=10，11，…），‎ ‎ （表格略）‎ ‎ ． ‎ ‎【变式4】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布．‎ ‎ 【答案】‎ 错解： X的可能取值是1，2，3，4．‎ ‎ P（X=1）=0.8；；‎ ‎ ；‎ ‎ ．‎ ‎ 所以X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.8‎ ‎0.32‎ ‎0.096‎ ‎0.0256‎ ‎ 错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k－1）次试验中都出现．‎ ‎ 正解 X的可能取值是1，2，3，4．‎ ‎ P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.2×0.8=0.16；‎ ‎ P（X=3）=0.22×0.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008．‎ 所以X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.8‎ ‎0.16‎ ‎0.032‎ ‎0.008‎ 类型三、独立重复试验与二项分布综合应用 例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. ‎ ‎（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；‎ ‎（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？‎ ‎【思路点拨】‎ 本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.‎ ‎【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=‎ 答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；‎ ‎(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立，‎ 故 答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 ‎ ‎【总结升华】‎ 射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】一名射击爱好者每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，‎ ‎(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？‎ ‎【答案】已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；‎ ‎(1)要使，,必须，即射击次数必须不小于次.‎ ‎(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次 ‎【变式2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：‎ ‎（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率；‎ ‎（2）其中恰有3次击中目标的概率；‎ ‎（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，‎ 相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，‎ 又因为各次射击的结果互不影响，‎ 故所求概率为；‎ ‎（2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。‎ 相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有种情况。‎ 故所求概率为；‎ 法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型。‎ 该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为 ‎；‎ ‎（3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，‎ 把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况。‎ 故所求概率为。‎ ‎【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题5】‎ ‎【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列.‎ ‎【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)=‎ P()=P(A)P()P()=‎ 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 ‎（2）ξ的可能值为0,1,2,3‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 例5．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 ‎．‎ ‎ （1）求油罐被引爆的概率；‎ ‎ （2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X的概率分布．‎ ‎【思路点拨】 ‎ 从正面去分析可知：5发子弹必须击中2次，于是有以下几种情况：第1枪击中，第2枪也击中；第3枪击中，前两枪只击中1次；第4枪击中，前3枪只击中1次；第5枪击中，前4枪只击中1次．而利用对立事件去分析更好理解．‎ ‎【解析】 （1）解法一：记B表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X=2，3，4，5．‎ ‎ X=2表明第一次击中，第二次也击中，‎ ‎ ；‎ ‎ X=3表明前2次击中一次，第3次击中，‎ ‎ ；‎ ‎ X=4表明前3次击中一次，第4次击中，‎ ‎ ；‎ ‎ X=5表明前4次击中一次，第5次击中，‎ ‎ ．‎ ‎ 所以，．‎ ‎ 解法二：利用．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．‎ ‎ 所以．‎ ‎（2）X=2，3，4时同（1），当X=5时，击中次数分别为0，1，2．‎ ‎∴．‎ 所以X的概率分布为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎【总结升华】 要特别注意X=5的意义，当X=5时，表示5枪都未中或5枪中只中1枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P（X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1－p，且各发动机互不影响．如果至少50％的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的P而言，四发动机比二发动机更安全？‎ ‎【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为 ‎ ，‎ ‎ 二发动机飞机成功飞行的概率为 ‎ ．‎ ‎ 要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要，‎ 化简整理，得．‎ ‎∴当发动机不出故障的概率大于时，四发动机飞机比二发动机飞机安全．‎ ‎【变式2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。‎ ‎ （I）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格的概率。‎ ‎ （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任意取2件进行检验，只有2件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数X的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率。‎ ‎【答案】‎ ‎（I）记“厂家任意取出4件产品检验，其中至少有一件是合格品“为事件A，‎ 则 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，‎ 所以的概率分布为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 例6.（2015 桐城市一模）一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）。现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回。若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中。‎ ‎ （1）求每次中奖的概率p（用m表示）；‎ ‎（2）若m=3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；‎ ‎（3）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？‎ ‎【答案】（1）（2）（3）2‎ ‎【思路点拨】（1）因为取出2球的颜色相同则为中奖，可得每次中奖的概率；‎ ‎（2）m=3，每次中奖的概率，可得三次摸奖恰有一次中奖的概率为；‎ ‎ （3）求出三次摸奖恰有一次中奖的概率为，利用导数确定单调性，可得时，f（p）取得最大值，从而求出m的值。‎ ‎【解析】（1）∵取出2球的颜色相同则为中奖，‎ ‎∴每次中奖的概率；‎ ‎（2）若m=3，每次中奖的概率，‎ ‎∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为；‎ ‎（3）三次摸奖恰有一次中奖的概率为，‎ ‎∴f＇（p）=3(p―1)(3p―1)，‎ ‎∴f（p）在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴时，f（p）取得最大值，即 ‎∴m=2，即m=2时，f（p）取得最大值。‎ ‎【总结升华】（1）本题主要体现了超几何分布的概念及其应用（2）和（3）主要考查二项分布与n次独立重复试验.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】在某批很大数量的产品中，有20%为二等品，从中任意地抽取产品二次，求取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率。‎ ‎【答案】从大数量的产品中任意地抽取产品二次，相当于2次独立重复试验，‎ 抽出的二等品的件数，‎ 所以取出的2件产品中至多有1件是二等品的概率：‎ ‎。‎