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文档介绍
河北省衡水中学2016届高三下学期一调考试(理)数学试题
2015-2016学年度下学期高三年级一调考试 数学试卷(理科) 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数,且有,则( ) A.5 B. C.3 D. 2.已知全集,集合,那么集合( ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中,双曲线中心在原点,焦点在轴上,一条渐近线方程为,则它的离心率为( ) A. B. C. D.2 4.执行所示框图,若输入,则输出的等于( ) A.120 B.240 C.360 D.720 5.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲,乙,丙三所高校的自主招生考试,没人限报一所高校,若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这5名同学不同的报考方法种数共有( ) A.144种 B.150种 C.196种 D.256种 6.在中,三边之比,则( ) A.1 B. 2 C.-3 D. 8.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,有,则( ) A. B. C. D. 9.某几何体的三视图如右图,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球面的表面积为( ) A. B. C. D. 10.已知和分别为数列与数列的前项和,且,则当取得最大值时,的值为( ) A.4 B.5 C.4或5 D.5或6 11.在正方体中,为正方形四边上的动点,为底面正方形的中心,分别为中点,点为平面内一点,线段与互相平分,则满足的实数的值有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.已知函数,设函数,且函数的所有零点均在区间,则的最小值为( ) A.6 B.8 C.9 D.10 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知的展开式中(且)的系数为0,则 . 14.设满足约束条件,若目标函数的最大值为1,则的最小值为 . 15.在平面直角坐标系中,双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的交点,则的离心率为 . 16.在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)已知数列满足(为实数,且),,且成等差数列. ⑴求的值和的通项公式; ⑵设,求数列的前项和. 18(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生体检表,并得到如图的频率分布直方图. ⑴若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数; ⑵学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1-50名和951-1000名的学生进行调查,得到右表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系; ⑶在⑵中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1-50的学生人数为,求的分布列和数学期望. 附: 19.(本小题满分12分)如图,在中,是的中点,,将沿折起,使点与图中点重合. ⑴求证:平面; ⑵当三棱锥的体积取最大时,求二面角的余弦值; ⑶在⑵条件下,试问在线段上是否存在一点,使与平面所成角的正弦值为?证明你的结论. 20.(本小题满分12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形. ⑴求椭圆的方程; ⑵设点是椭圆上一动点,求线段的中点的轨迹方程; ⑶过点分别作直线交椭圆于两点,设两直线的斜率分别为,且,探究是否过定点,并说明理由. 21.(本小题满分12分)已知函数. ⑴当时,求函数在上的极值; ⑵若,求证:当时,. (参考数据:) 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,圆与圆内切于点,其半径分别为3与2,圆的弦交圆于点(不在上),是圆的一条直径. ⑴求的值; ⑵若,求到弦的距离. 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,设倾斜角为的直线(为参数)与曲线(为参数)相交于不同的两点. ⑴若,求线段中点的坐标; ⑵若,其中,求直线的斜率. 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知,函数 ⑴求的值; ⑵求的最小值. 参考答案 一、 选择题 1-5 BDACB 6-10 BBDBC 11-12 CD 二、填空题 13. 2 14. 8 15. 16. 三、 解答题 又因为,所以 由 当时, 当时, 所以数列的通项公式为; (2)由(1),得、 设数列的前项和为,则 上述两式相减,得 所以数列的前项和为 18.(1)设各组的频率为 由图可知,第一组有3人,第二组有7人,第三组有27人, 因为后四组的频数成等差数列 所以后四组频数依次为27,24,21,18 所以视力在5.0以下的频率为 0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82 故全年级视力在5.0以下的人数约为; (2) 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系; (3)依题意9人中年级名次在名和名的人数分别为3人和6人 所以可能的取值为0,1,2,3 ,,, 的分布列为 0 1 2 3 . 19.(1) ,且是的中点 ,即 又平面 (2)在平面内,作于点 则由(1)可知,又平面 即是三棱锥的高 又当与重合时,三棱锥的体积最大 过点作于点,连接 由(1)知,平面 平面, 平面, 所以即为二面角的平面角 在中, (3)存在,且为线段的中点,以为坐标原点,建立,如图所示的空间直角坐标系 设, 又平面的一个法向量为 解得: 20.(1)由已知可得 所以所求椭圆方程为; (2)设点的中点坐标为,即 由,得,代入上式,得; (3)若直线的斜率存在,设方程为,依题意 设,由 ,由已知 所以,即 所以 故直线的方程为 所以直线过定点; 若直线的斜率存在,设方程为 设 由已知 此时方程为,显然过点 综上,直线过定点. 21.(1) 在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以极小值为,无极大值; (2)构造函数 在区间上单调递增 ,在区间上有唯一零点 ,即,由的单调性 有 构造函数在去甲上单调递减 即,. 22.(1)设交圆于点,连接 因为圆与圆内切于点,所以点在上, 所以分别是圆与圆的直径 所以 (2)若,由⑴的结果可知,,面在中,,又由,得到弦的距离为1. 23.(1)将曲线,化为普通方程,得 当,设点对应的参数为 直线的参数方程为(为参数) 代入曲线的普通方程 即 设直线上的点对应的参数分别为 则 所以点的坐标为; (2)将代入曲线的普通方程 得 因为,得 由于 故,所以直线的斜率为. 24.(1)因为 当且仅当时,等号成立 又所以,所以的最小值为4,所以; (2)由(1)知,由柯西不等式,得 故 当且仅当时等号成立 故的最小值为.查看更多