2019-2020学年福建省厦门外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省厦门外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省厦门外国语学校高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．从编号为001，002，…，460的460个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，030，则样本中第5个产品的编号应该为（）‎ A．099 B．122 C．145 D．168‎ ‎【答案】A ‎【解析】系统抽样所有样本编号成等差数列.‎ ‎【详解】‎ 由系统抽样所有样本编号成等差数列，可以理解为求的值.‎ 由，所以编号为099选择A.‎ ‎【点睛】‎ 考查系统抽样特点：所有样本编号成等差数列，从而转化为数列题，属于简单题.‎ ‎2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，利用互斥事件概率的加法，即可求解从中任意取出2粒恰好是同一色的概率，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，围棋盒子中有多粒黑子和白子，‎ 从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，‎ 由互斥事件的概率的加法公式，‎ 可得从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率的求解，其中解答中认真审题，熟练应用互斥事件的概率加法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3．已知甲、乙两组数据用茎叶图表示如图所示，若它们的中位数相同， 平均数也相同，则图中的的比值等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】从茎叶图提取甲、乙两组数据中的原始数据，并按从小到大排列，分别得到中位数，并计算各自的平均数，再根据中位数、平均值相等得到关于的方程.‎ ‎【详解】‎ 甲组数据：，中位数为，‎ 乙组数据：，中位数为：，‎ 所以，‎ 所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中位数、平均数的概念与计算，对甲组数据排序时，一定是最大，乙组数据中一定是最小.‎ ‎4．已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，根据抛物线的定义可得，联立方程组，利用根与系数的关系，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，‎ 又由直线，可得直线过抛物线的焦点，‎ 设，根据抛物线的定义可得 ‎ 所以，‎ 又由，整理得，则，‎ 所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的焦点弦的求解，其中解答中熟练应用抛物线的焦点弦的性质，合理利用一元二次方程的根与系数的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知函数给出下列两个语句，命题，使得方程无实数解；命题当时，，则下列为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数，求得命题为真命题，命题也为真命题，再由复合命题的真值表，即可判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 则当时，，当时，令，解得，‎ 所以命题：，使得方程无实数解是真命题；‎ 当时，可得，所以命题为真命题，‎ 根据复合命题的真值表，可得命题为真命题，命题为假命题，‎ 命题为假命题；命题为假命题，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中根据分段函数的解析式，以及指数函数的性质，得到命题为真命题，命题也为真命题，再利用复合命题的真值表判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎6．设椭圆：的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,要求直线的斜率，即求，又，即在中求出，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 因为点为以为直径的圆与在第一象限的交点，所以,‎ 设 则在中有 解得 所以 ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆的定义求直线的斜率。熟练掌握椭圆的定义，解出所需量属于本题的关键，属于中档题。‎ ‎7．已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．不要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分别根据数列单调递增的性质证明充分性和必要性，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 充分性：时，，即，此时，‎ 又，故，所以成立，满足充分条件；‎ 必要性：若为递增数列，则恒成立，，故，此时，满足必要条件，‎ 故答案选.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的单调性，充分必要条件，分别判断函数的充分性和必要性是解题的关键.‎ ‎8．已知双曲线：（，），设左、右焦点分别为，，，在双曲线右支上存在一点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形，且所在直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设，设直线与相切点，则，在中，故，则由双曲线的定义可得，所以，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是依据题设条件中的“以，为邻边的平行四边形为菱形”可以推断，即是等腰三角形，进而依据所在直线与圆相切推知切点是的中点，且，进而推得，最后运用双曲线的定义建立方程求出离心率。‎ 二、多选题 ‎9．(多选题)下列说法中正确的是（ ）‎ A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.‎ B．若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥.‎ C．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中.‎ D．若回归直线的斜率，则变量与正相关.‎ ‎【答案】AD ‎【解析】利用频率分布直方图和回归直线方程，以及互斥事件和对立事件的概念，逐项判定，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 对于A中，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的；‎ 对于B中，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确；‎ 对于C中，某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，所以是不正确的；‎ 对于D中，若回归直线的斜率，根据回归系数的含义，可得变量与正相关是正确的．‎ 故选：AD．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图和回归直线方程的应用，以及互斥事件与对立事件的应用，其中解答熟记统计知识和互斥事件和对立事件的基本概念，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎10．有如下命题，其中真命题的标号为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】BD ‎【解析】A选项中构造幂函数，再利用增函数性质进行比较大小；B 选项中借助函数与的图象比较大小；C选项中，的值恒大小，而的值可正可负；D选项中恒小于，而恒大于.‎ ‎【详解】‎ 对A选项，构造幂函数，因为，所以幂函数在单调递增，‎ 因为，所以恒成立，故A是错误的；‎ 对B选项，如图所示，的图象为虚线部分，的图象为实线部分，显然，使得成立，故B正确；‎ 对C选项，，恒成立，而当时，，所以不会恒成立，故C是错误；‎ 对D选项，，由指数函数的图象知，函数值恒小于，由对数函数的图象知，函数值恒大于，所以恒成立，故D正确；‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简易逻辑中的全称命题与特称命题，与幂函数、指数函数、对数函数知识进行交会，综合考查三个函数的图象与性质，求解过程中注意引入中间变量0或1进行比较大小.‎ 三、填空题 ‎11．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2，‎ 所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；‎ 从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，‎ 在[50，60）年龄段抽取的人数为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】画出数轴，利用满足的概率，可以求出的值即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 区间的长度是6，‎ 在区间上随机地取一个数，‎ 若满足的概率为，‎ 则有，解得，‎ 故答案是：2.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.‎ ‎13．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.‎ ‎【详解】‎ 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.‎ 若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，‎ 若选出的2名学生都是女生，有种情况，‎ 所以所求的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.‎ ‎14．.若为真命题，则实数的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意转化为，利用，可将函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 当时， ‎ 又 ，设 ，‎ 设 当时，取得最大值.‎ 若为真命题，‎ ‎ ，‎ 即,‎ 的最大值是5.‎ 故填:5.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据全称命题的真假，求参数取值范围的问题，考查了转化与化归的思想，若存在，使，即，若，使恒成立，所以，需注意时任意还是存在问题.‎ ‎15．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆的方程为，根据题意可得点在以为直径的圆上运动且这个圆上的点都在椭圆内部．由此建立、、的不等式，解出．再利用离心率的公式加以计算，可得此椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：设椭圆的方程为，焦点为、‎ ‎，如图所示．‎ 若点满足，则，‎ 可得点在以为直径的圆上运动，‎ 满足的点总在椭圆内部，‎ 以为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即椭圆短轴的端点在椭圆内．‎ 由此可得，即，解之得．‎ 因此椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的范围．着重考查了向量数量积的运算性质、椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于中档题．‎ ‎16．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线与圆于四点，则 ______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设过抛物线的焦点F的直线，与联立，结合抛物线的第一定义和韦达定理及圆的性质，求出的乘积 ‎【详解】‎ 抛物线的焦点为，准线为，可设直线方程为，直线，与联立得：，可得,,‎ ‎,‎ 答案为1.‎ ‎【点睛】‎ 抛物线的弦长问题通常转化为到准线距离,本题既考查了直线与圆，又考查了直线与抛物线的应用问题 四、解答题 ‎17．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.‎ ‎（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；‎ ‎（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；‎ ‎（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.‎ ‎【答案】(1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) ；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析 ‎【解析】（1）设有名男同学，利用抽样比列方程即可得解 ‎（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可 ‎（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解 ‎【详解】‎ ‎（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人 ‎（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，‎ ‎，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，‎ ‎∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 ‎（3），‎ ‎，‎ 因，所以第二位同学的实验更稳定.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式，还考查了样本数据的平均数及方差计算，考查方差与稳定性的关系，属于中档题 ‎18．已知：；：函数在区间上有零点.‎ ‎（Ⅰ）若，求使为真命题时实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）判断函数的单调性和根据零点存在定理求解；‎ ‎（Ⅱ）根据是成立的充分不必要条件得集合是集合的子集求解，注意是否有等号成立.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）当时，:‎ ‎∵函数在区间上单调递增 且函数在区间上有零点 ‎∴‎ 解得，‎ 则：.‎ ‎∵为真命题，‎ ‎∴或，‎ 解得 则的取值范围是.‎ ‎（Ⅱ）∵：，：，且是成立的充分条件 ‎∴‎ ‎∴‎ 又因为是成立的不必要条件，所以（1）、（2）等号不能同时成立 ‎∴‎ 综上得，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假和充分必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎19．已知双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为.‎ ‎（1）求此双曲线的方程；‎ ‎（2）设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为，列出方程组，即可求解.‎ ‎（2）由（1）知双曲线的渐近线方程为，根据得点P的坐标代入双曲线的方程，求得，进而利用三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1，‎ 可得，解得，故双曲线方程.‎ ‎（2）由（1）知双曲线的渐近线方程，‎ 设，，其中，，‎ 由得点P的坐标为，将点P的坐标代入，‎ 整理得，‎ 设，则，从而，‎ 又，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理利用向量的坐标运算求得点的坐标，得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：‎ 间隔时间/分 ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 等候人数y/人 ‎23‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎31‎ 调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值都不超过，则称所求方程是“恰当回归方程”．‎ ‎（1）从这组数据中随机选取2组数据，求选取的这 组数据的间隔时间不相邻的概率；‎ ‎（2）若选取的是后面组数据，求关于的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；‎ 附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.‎ ‎【答案】（1）；（2），是；（3）18.‎ ‎【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；‎ ‎（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设“从这组数据中随机选取组数据后，剩下的组数据不相邻”为事件.‎ 记这六组数据分别为，，‎ 剩下的两组数据的基本事件有，共种，‎ 其中相邻的有共种，所以.‎ ‎（2）后面组数据是：‎ 间隔时间（分钟）‎ 等候人数（人）‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 当时，,；‎ 当时,,；‎ 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型计算公式，求线性回归直线方程及其应用等知识，其中解答中认真审题，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系中，设点，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点,过、分别作直线、，使，，.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程；‎ ‎(2)已知⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，若直线在轴上的截距为，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】(1)依题意知，得出，利用抛物线的定义，即可求得抛物线的方程；‎ ‎（2）设，求得直线与的方程，进而得到直线的方程，即可作出求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题意知，点是线段的中点，且⊥，所以是线段的垂直平分线，‎ 即，由抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，‎ 又由，直线:，所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）设，因为，所以，‎ 可得，直线的方程为，‎ 同理，直线的方程为，‎ 所以，，‎ 所以直线的方程为，‎ 令，可得，‎ ‎∵关于的函数在单调递增，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系求得直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎22．如图所示，已知椭圆 过点，离心率为，左、右焦点分别为、，点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线、的斜线分别为、.‎ ‎（i）证明：；‎ ‎（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1） ；（2）（i）见解析；（ii）‎ ‎【解析】（1）利用椭圆过已知点和离心率，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得；‎ ‎（2）（i）把直线PF1、PF2的方程联立求得交点的坐标，代入直线x+y＝2上，整理得；‎ ‎（ii）设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出xA+xB和xAxB，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由kOA+kOB+kOC+kOD＝0推断出k1+k2＝0或k1k2＝1，分别讨论求得p．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆过点，，∴，故所求椭圆方程为；‎ ‎（2）（i）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，‎ 所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直线PF1、PF2的方程分别为y＝k1（x+1），y＝k2（x﹣1），‎ 联立方程解得，所以，由于点P在直线x+y＝2上，‎ 所以，故 ‎（ii）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），联立直线PF1和椭圆的方程得，化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12﹣2＝0，‎ 因此，所以，‎ 同理可得：，故由kOA+kOB+kOC+kOD＝0得k1+k2＝0或k1k2＝1，‎ 当k1+k2＝0时，由（1）的结论可得k2＝﹣2，解得P点的坐标为（0，2）‎ 当k1k2＝1时，由（1）的结论可得k2＝3或k2＝﹣1（舍去），‎ 此时直线CD的方程为y＝3（x﹣1）与x+y＝2联立得x＝，，所以，‎ 综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，P（0，2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题，椭圆的简单性质，也考查了综合运用知识解决问题的能力以及数形结合、分类讨论数学思想，属于中档题.‎