【数学】2020届江苏一轮复习通用版21-3离散型随机变量的均值与方差作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版21-3离散型随机变量的均值与方差作业

‎21.3　离散型随机变量的均值与方差 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 离散型随机变量的均值与方差 求期望与方差 ‎2017江苏,23‎ 离散型随机变量的概率分布及期望 独立事件的概率 ‎★★★‎ 分析解读　　离散型随机变量主要考查期望,一般不涉及方差,模型考查也基本上是书中所涉及的模型.以中档题为主.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　离散型随机变量的均值与方差 ‎1.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是‎1‎‎2‎外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是‎2‎‎3‎.假设各局比赛结果相互独立.‎ ‎(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;‎ ‎(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)记甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜分别为事件A,B,C.由题意得 P(A)=‎2‎‎3‎‎3‎=‎8‎‎27‎,‎ P(B)=C‎3‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎·‎1‎‎3‎·‎2‎‎3‎=‎8‎‎27‎,‎ P(C)=C‎4‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎·‎1‎‎3‎‎2‎·‎1‎‎2‎=‎4‎‎27‎.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=3)=P(A)+P(B)=‎16‎‎27‎,‎ P(X=2)=P(C)=‎4‎‎27‎,‎ P(X=1)=C‎4‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎·‎1‎‎3‎‎2‎·‎1‎‎2‎=‎4‎‎27‎,‎ P(X=0)=1-P(1≤X≤3)=‎1‎‎9‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎9‎ ‎4‎‎27‎ ‎4‎‎27‎ ‎16‎‎27‎ 从而E(X)=0×‎1‎‎9‎+1×‎4‎‎27‎+2×‎4‎‎27‎+3×‎16‎‎27‎=‎20‎‎9‎.‎ 答:甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率分别为‎8‎‎27‎,‎8‎‎27‎,‎4‎‎27‎.甲队得分X的数学期望为‎20‎‎9‎.‎ ‎2.(2018江苏扬州考前模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=2‎2‎,从正四棱柱的8个顶点中任取3个点构成三角形,记三角形的面积为X.‎ ‎(1)求P(X=4)的值;‎ ‎(2)求X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)共有C‎8‎‎3‎种等可能基本事件,其中满足X=4的有2C‎4‎‎3‎=8种,‎ 记“X=4”为事件A,则P(A)=‎2‎C‎4‎‎3‎C‎8‎‎3‎=‎1‎‎7‎.‎ ‎(2)X的可能取值为2,2‎2‎,2‎3‎,4,2‎5‎,‎ P(X=2)=‎2‎C‎4‎‎3‎C‎8‎‎3‎=‎1‎‎7‎,P(X=2‎2‎)=‎4‎C‎4‎‎3‎C‎8‎‎3‎=‎2‎‎7‎,P(X=2‎3‎)=‎4‎C‎4‎‎3‎C‎8‎‎3‎=‎2‎‎7‎,P(X=4)=‎2‎C‎4‎‎3‎C‎8‎‎3‎=‎1‎‎7‎,P(X=2‎5‎)=‎2‎C‎4‎‎3‎C‎8‎‎3‎=‎1‎‎7‎,‎ 则X的分布列为 X ‎2‎ ‎2‎‎2‎ ‎2‎‎3‎ ‎4‎ ‎2‎‎5‎ P ‎1‎‎7‎ ‎2‎‎7‎ ‎2‎‎7‎ ‎1‎‎7‎ ‎1‎‎7‎ 所以E(X)=‎1×2+2×2‎2‎+2×2‎3‎+4×1+1×2‎‎5‎‎7‎=‎6+4‎2‎+4‎3‎+2‎‎5‎‎7‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　离散型随机变量的期望的综合问题 ‎1.某公司有10万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利10%,可能损失10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为‎1‎‎2‎,‎1‎‎4‎,‎1‎‎4‎;如果投资乙项目,一年后可能获利20%,可能损失20%,这两种情况发生的概率分别为α和β(α+β=1).‎ ‎(1)如果把10万元投资甲项目,用X表示投资收益(收益=回收资金-投资资金),求X的概率分布列及数学期望E(X);‎ ‎(2)若10万元资金投资乙项目的收益不低于投资甲项目的收益,求实数α的取值范围.‎ 解析　(1)把10万元资金投资甲项目,一年后可能获利1万元,可能损失1万元,可能不赔不赚.‎ 所以X的所有可能取值为1,-1,0.(单位:万元)‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎-1‎ ‎0‎ P ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎4‎ 所以X的数学期望E(X)=1×‎1‎‎2‎+(-1)×‎1‎‎4‎+0×‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎(万元).‎ ‎(2)把10万元资金投资乙项目,一年后可能获利2万元,可能损失2万元.‎ 设Y表示10万元资金投资乙项目的收益,则Y的分布列为 Y ‎2‎ ‎-2‎ P α β 所以E(Y)=2α-2β=2α-2(1-α)=(4α-2)万元.‎ 由题意,得E(Y)≥E(X),即4α-2≥‎1‎‎4‎,解得α≥‎9‎‎16‎.‎ 由概率的意义知0≤α≤1,所以α的取值范围是‎9‎‎16‎‎,1‎.‎ ‎2.(2017江苏南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.‎ ‎(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;‎ ‎(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布列及数学期望.‎ 解析　(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A,‎ 则事件A的对立事件A为“没有演唱1首原创新曲”.‎ 所以P(A)=1-P(A)=1-C‎5‎‎4‎C‎8‎‎4‎=‎13‎‎14‎.‎ ‎(2)设乐队共演唱了Y首原创新曲,‎ 则随机变量Y~H(4,3,8),‎ P(Y=k)=C‎3‎kC‎5‎‎4-kC‎8‎‎4‎,其中k=0,1,2,3.‎ 所以Y的概率分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎14‎ ‎3‎‎7‎ ‎3‎‎7‎ ‎1‎‎14‎ 因为X=aY+2a(4-Y)=a(8-Y),‎ 当Y=0,1,2,3时,对应X=8a,7a,6a,5a.‎ 所以X的概率分布列为 X ‎5a ‎6a ‎7a ‎8a P ‎1‎‎14‎ ‎3‎‎7‎ ‎3‎‎7‎ ‎1‎‎14‎ 数学期望E(X)=5a×‎1‎‎14‎+6a×‎3‎‎7‎+7a×‎3‎‎7‎+8a×‎1‎‎14‎=‎13‎‎2‎a.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎　(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ m+n ‎(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;‎ ‎(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)D(ξ2);‎ ‎③E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).‎ 答案　①‎ ‎3.(2018课标全国Ⅰ理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(00;‎ 当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.‎ 所以f(p)的最大值点为p0=0.1.‎ ‎(2)由(1)知,p=0.1,‎ ‎(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,‎ 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.‎ ‎(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.‎ 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.‎ ‎4.(2017北京理,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;‎ ‎(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)‎ 解析　本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.‎ ‎(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为‎15‎‎50‎=0.3.‎ ‎(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.‎ 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ=0)=C‎2‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎1‎‎6‎,P(ξ=1)=C‎2‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎4‎‎2‎=‎2‎‎3‎,P(ξ=2)=C‎2‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎1‎‎6‎.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎6‎ ‎2‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ 故ξ的期望E(ξ)=0×‎1‎‎6‎+1×‎2‎‎3‎+2×‎1‎‎6‎=1.‎ ‎(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.‎ 方法总结　①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.‎ ‎5.(2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为‎1‎‎2‎,‎1‎‎3‎,‎1‎‎4‎.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ 解析　本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ P(X=1)=‎1‎‎2‎×1-‎1‎‎3‎×1-‎1‎‎4‎+1-‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×1-‎1‎‎4‎+‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎=‎11‎‎24‎,‎ P(X=2)=‎1-‎‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎4‎=‎1‎‎4‎,P(X=3)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎24‎.‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎4‎ ‎11‎‎24‎ ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎24‎ 随机变量X的数学期望E(X)=0×‎1‎‎4‎+1×‎11‎‎24‎+2×‎1‎‎4‎+3×‎1‎‎24‎=‎13‎‎12‎.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)‎ ‎=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)‎ ‎=‎1‎‎4‎×‎11‎‎24‎+‎11‎‎24‎×‎‎1‎‎4‎ ‎=‎11‎‎48‎.‎ 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为‎11‎‎48‎.‎ 技巧点拨　解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2016天津理,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)由已知,有P(A)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎1‎‎3‎.‎ 所以,事件A发生的概率为‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X=0)=C‎3‎‎2‎‎+C‎3‎‎2‎+‎C‎4‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎4‎‎15‎,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎C‎3‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎7‎‎15‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎4‎‎15‎.‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎4‎‎15‎ ‎7‎‎15‎ ‎4‎‎15‎ 随机变量X的数学期望E(X)=0×‎4‎‎15‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎4‎‎15‎=1.‎ 评析本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.‎ ‎(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;‎ ‎(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,‎ 则P(A)=‎5‎‎6‎×‎4‎‎5‎×‎3‎‎4‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.‎ 又P(X=1)=‎1‎‎6‎,P(X=2)=‎5‎‎6‎×‎1‎‎5‎=‎1‎‎6‎,P(X=3)=‎5‎‎6‎×‎4‎‎5‎×1=‎2‎‎3‎,‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎6‎ ‎2‎‎3‎ 所以E(X)=1×‎1‎‎6‎+2×‎1‎‎6‎+3×‎2‎‎3‎=‎5‎‎2‎.‎ 评析本题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识.‎ ‎3.(2014安徽,17,12分)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为‎2‎‎3‎,乙获胜的概率为‎1‎‎3‎,各局比赛结果相互独立.‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).‎ 解析　用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,‎ 则P(Ak)=‎2‎‎3‎,P(Bk)=‎1‎‎3‎,k=1,2,3,4,5.‎ ‎(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)‎ ‎=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎=‎2‎‎3‎‎2‎+‎1‎‎3‎×‎2‎‎3‎‎2‎+‎2‎‎3‎×‎1‎‎3‎×‎2‎‎3‎‎2‎=‎56‎‎81‎.‎ ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5.‎ P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)‎ ‎=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=‎5‎‎9‎,‎ P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)‎ ‎=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=‎2‎‎9‎,‎ P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)‎ ‎=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=‎10‎‎81‎,‎ P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=‎8‎‎81‎.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎5‎‎9‎ ‎2‎‎9‎ ‎10‎‎81‎ ‎8‎‎81‎ EX=2×‎5‎‎9‎+3×‎2‎‎9‎+4×‎10‎‎81‎+5×‎8‎‎81‎=‎224‎‎81‎.‎ 评析本题考查了独立事件同时发生,互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等知识,考查应用意识、运算求解能力,准确理解题意是解题的关键.‎ ‎4.(2015北京,16,13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:‎ A组:10,11,12,13,14,15,16;‎ B组:12,13,15,16,17,14,a.‎ 假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.‎ ‎(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;‎ ‎(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;‎ ‎(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)‎ 解析　设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,‎ 事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,…,7.‎ 由题意可知P(Ai)=P(Bj)=‎1‎‎7‎,i,j=1,2,…,7.‎ ‎(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=‎3‎‎7‎.‎ ‎(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.‎ 由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.‎ 因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=‎10‎‎49‎.‎ ‎(3)a=11或a=18.‎ ‎5.(2014天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).‎ ‎(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;‎ ‎(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则 P(A)=C‎3‎‎1‎‎·C‎7‎‎2‎+C‎3‎‎0‎·‎C‎7‎‎3‎C‎10‎‎3‎=‎49‎‎60‎.‎ 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为‎49‎‎60‎.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.‎ P(X=k)=C‎4‎k‎·‎C‎6‎‎3-kC‎10‎‎3‎(k=0,1,2,3).‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎2‎ ‎3‎‎10‎ ‎1‎‎30‎ 随机变量X的数学期望E(X)=0×‎1‎‎6‎+1×‎1‎‎2‎+2×‎3‎‎10‎+3×‎1‎‎30‎=‎6‎‎5‎.‎ 评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎6.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).‎ 解析　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,‎ P(A)=A‎2‎‎1‎A‎3‎‎1‎A‎5‎‎2‎=‎3‎‎10‎.‎ ‎(2)X的可能取值为200,300,400.‎ P(X=200)=A‎2‎‎2‎A‎5‎‎2‎=‎1‎‎10‎,‎ P(X=300)=A‎3‎‎3‎‎+‎C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎5‎‎3‎=‎3‎‎10‎,‎ P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-‎1‎‎10‎-‎3‎‎10‎=‎6‎‎10‎.‎ 故X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P ‎1‎‎10‎ ‎3‎‎10‎ ‎6‎‎10‎ EX=200×‎1‎‎10‎+300×‎3‎‎10‎+400×‎6‎‎10‎=350.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.(2018江苏高邮中学月考)随机变量ξ的概率分布列如下表:‎ X ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.35‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ 则随机变量ξ的均值是　　　　　. ‎ 答案　8.2‎ ‎2.(2019届江苏太仓中学月考)一牧场有10头奶牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ,则V(ξ)=　　　　. ‎ 答案　0.196‎ 二、解答题(共50分)‎ ‎3.(2018江苏徐州考前模拟)已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组,其中歌唱组有4名男生,1名女生,舞蹈组有2名男生,2名女生,学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出.‎ ‎(1)求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数;‎ ‎(2)记X为选出的4名同学中女生的人数,求X的分布列和数学期望.‎ 解析　(1)由题意知,所有的选派方法共有C‎5‎‎2‎·C‎4‎‎2‎=60种,‎ 其中有3名女生的选派方法共有C‎4‎‎1‎·C‎1‎‎1‎·C‎2‎‎2‎=4种,‎ 所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=C‎4‎‎2‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎6‎‎60‎=‎1‎‎10‎,‎ P(X=1)=C‎4‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎2‎‎2‎‎+‎C‎4‎‎2‎C‎2‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎5‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎4+24‎‎60‎=‎7‎‎15‎,‎ P(X=2)=C‎4‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎2‎‎1‎‎+‎C‎4‎‎2‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎16+6‎‎60‎=‎11‎‎30‎,‎ P(X=3)=C‎4‎‎1‎C‎1‎‎1‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎C‎4‎‎2‎=‎4‎‎60‎=‎1‎‎15‎,‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎10‎ ‎7‎‎15‎ ‎11‎‎30‎ ‎1‎‎15‎ 所以E(X)=0×‎1‎‎10‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎11‎‎30‎+3×‎1‎‎15‎=‎7‎‎5‎.‎ ‎4.(2018江苏南师附中考前模拟)如图,设P1,P2,…,P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量S.‎ ‎(1)求S=‎3‎‎2‎的概率;‎ ‎(2)求S的分布列及数学期望E(S).‎ 解析　(1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C‎6‎‎3‎种不同选法,‎ 其中S=‎3‎‎2‎的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5),共6×2=12种,‎ 所以PS=‎‎3‎‎2‎=‎12‎C‎6‎‎3‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎(2)S的所有可能取值为‎3‎‎4‎,‎3‎‎2‎,‎3‎‎3‎‎4‎.‎ S=‎3‎‎4‎的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3),共6种,‎ 所以PS=‎‎3‎‎4‎=‎6‎C‎6‎‎3‎=‎3‎‎10‎.‎ S=‎3‎‎3‎‎4‎的为等边三角形(如△P1P3P5),共2种,‎ 所以PS=‎‎3‎‎3‎‎4‎=‎2‎C‎6‎‎3‎=‎1‎‎10‎.‎ 又由(1)知PS=‎‎3‎‎2‎=‎12‎C‎6‎‎3‎=‎3‎‎5‎,故S的分布列为 S ‎3‎‎4‎ ‎3‎‎2‎ ‎3‎‎3‎‎4‎ P ‎3‎‎10‎ ‎3‎‎5‎ ‎1‎‎10‎ 所以E(S)=‎3‎‎4‎×‎3‎‎10‎+‎3‎‎2‎×‎3‎‎5‎+‎3‎‎3‎‎4‎×‎1‎‎10‎=‎9‎‎3‎‎20‎.‎ ‎5.(2019届江苏盐城中学月考)某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为P1=‎2‎‎3‎,乙的命中率为P2.在射击活动中,每人射击两发子弹,则完成一次检测.在一次检测中,若两人命中次数相同且都不少于一发,则称该射击小组为“和谐组”.‎ ‎(1)若P2=‎1‎‎2‎,求该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率;‎ ‎(2)若计划在2019年每月进行1次检测,记这12次检测中该小组获得“和谐组”的次数为X,如果E(X)≥5,求P2的取值范围.‎ 解析　(1)记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P,‎ 则P=C‎2‎‎1‎‎×‎2‎‎3‎×‎‎1‎‎3‎C‎2‎‎1‎‎×‎1‎‎2‎×‎‎1‎‎2‎+‎2‎‎3‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎1‎‎3‎.‎ 即该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P=C‎2‎‎1‎‎×‎2‎‎3‎×‎‎1‎‎3‎×[C‎2‎‎1‎×P2×(1-P2)]+‎2‎‎3‎‎×‎‎2‎‎3‎P‎2‎‎2‎=‎8‎‎9‎P2-‎4‎‎9‎P‎2‎‎2‎.‎ 因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数服从二项分布X~B(12,P),所以E(X)=12P.‎ 由E(X)≥5得12‎8‎‎9‎P‎2‎‎-‎‎4‎‎9‎P‎2‎‎2‎≥5,‎ 解得‎3‎‎4‎≤P2≤‎5‎‎4‎.‎ 因为P2≤1,所以P2的取值范围为‎3‎‎4‎≤P2≤1.‎ ‎6.(2018江苏海安高三上学期第一次质量测试,23)某厂每日生产一种大型产品2件,每件产品的投入成本为2 000元.产品质量为一等品的概率为0.5,二等品的概率为0.4,每件一等品的出厂价为10 000元,每件二等品的出厂价为8 000元.若产品质量不能达到一等品或二等品,除成本不能收回外,每生产一件产品还会带来1 000元的损失.‎ ‎(1)求在连续生产3天中,恰有一天生产的两件产品都为一等品的概率;‎ ‎(2)已知该厂某日生产的2件产品中有一件为一等品,求另一件也为一等品的概率;‎ ‎(3)求该厂每日生产该种产品所获得的利润ξ(元)的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)一天中两件产品都为一等品的概率为0.52=‎1‎‎4‎.‎ 记“连续三天中,恰有一天生产的两件产品都为一等品”为事件A,‎ 则P(A)=C‎3‎‎1‎×‎1‎‎4‎×‎1-‎‎1‎‎4‎‎2‎=‎27‎‎64‎.‎ ‎(2)记“2件产品中有一件为一等品”为事件C,“2件产品都为一等品”为事件B,‎ 则P(C)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎3‎‎4‎,P(BC)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎1‎‎4‎.‎ 所以已知一件为一等品,另一件也为一等品的概率是P(BC)‎P(C)‎=‎1‎‎4‎‎3‎‎4‎=‎1‎‎3‎.‎ ‎(3)利润ξ(元)的可能取值为16 000,14 000,5 000,12 000,3 000,-6 000.‎ 则P(ξ=16 000)=0.52=0.25,‎ P(ξ=14 000)=C‎2‎‎1‎×0.5×0.4=0.4,‎ P(ξ=5 000)=C‎2‎‎1‎×0.5×0.1=0.1,P(ξ=12 000)=0.42=0.16,‎ P(ξ=3 000)=C‎2‎‎1‎×0.1×0.4=0.08,P(ξ=-6 000)=0.12=0.01.‎ ξ的分布列为 ξ ‎16 000‎ ‎14 000‎ ‎5 000‎ ‎12 000‎ ‎3 000‎ ‎-6 000‎ P ‎0.25‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.08‎ ‎0.01‎ 所以ξ的数学期望E(ξ)=16 000×0.25+14 000×0.4+5 000×0.1+12 000×0.16+3 000×0.08-6 000×0.01‎ ‎=12 200(元).‎ ‎7.(2019届江苏淮阴中学月考)射击测试有两种方案.方案1:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方案2:始终在乙靶射击.某射手命中甲靶的概率为‎2‎‎3‎,命中一次得3分;命中乙靶的概率为‎3‎‎4‎,命中一次得2分.‎ 若没有命中,则得0分.用随机变量ξ表示该射手一次测试累次得分,如果ξ的值不低于3分就认为通过测试,立即停止射击;否则继续射击,但一次测试最多打靶3次,每次射击的结果相互独立.‎ ‎(1)如果该射手选择方案1,求其测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望E(ξ);‎ ‎(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由.‎ 解析　在甲靶射击命中记作A,不中记作A;在乙靶射击命中记作B,不中记作B,‎ 其中P(A)=‎2‎‎3‎,P(A)=1-‎2‎‎3‎=‎1‎‎3‎,P(B)=‎3‎‎4‎,P(B)=1-‎3‎‎4‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎(1)ξ的所有可能取值为0,2,3,4,则 P(ξ=0)=P(A　B　B)=P(A)P(B)P(B)=‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎1‎‎48‎,‎ P(ξ=2)=P(ABB)+P(A　BB)=P(A)P(B)P(B)+P(A)P(B)·P(B)=‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎4‎+‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎3‎‎4‎=‎6‎‎48‎,‎ P(ξ=3)=P(A)=‎2‎‎3‎,‎ P(ξ=4)=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎3‎‎4‎=‎9‎‎48‎.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎48‎ ‎6‎‎48‎ ‎2‎‎3‎ ‎9‎‎48‎ 所以E(ξ)=0×‎1‎‎48‎+2×‎6‎‎48‎+3×‎2‎‎3‎+4×‎9‎‎48‎=3.‎ ‎(2)设射手选择方案1通过测试的概率为P1,选择方案2通过测试的概率为P2,‎ P1=P(ξ≥3)=‎2‎‎3‎+‎9‎‎48‎=‎41‎‎48‎,‎ P2=P(ξ≥3)=P(BBB)+P(BBB)+P(BB)=‎1‎‎4‎×‎3‎‎4‎×‎3‎‎4‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎4‎×‎3‎‎4‎+‎3‎‎4‎×‎3‎‎4‎=‎27‎‎32‎.‎ 因为P1>P2,所以选择方案1通过测试的可能性大.‎