江苏省连云港市六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题 Word版含解析

江苏省连云港市六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 高三数学模拟试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数为_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过题意得出集合以及集合所包含的元素，然后利用并集定义写出，即可得出结果．‎ ‎【详解】因为集合，，‎ 所以.‎ 所以集合中元素的个数为4，故答案为4．‎ ‎【点睛】本题考查并集中元素个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎2.设复数，则_________________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 解法一：由题意可得：.‎ 解法二：‎ ‎3.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算平均数,再利用方差公式求解即可.‎ ‎【详解】该组数据平均数.‎ - 27 -‎ 故方差 ‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为__________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据当型循环的含义，知直到时，退出循环.‎ ‎【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；‎ 因，故退出循环，此时.‎ 故答案为：7‎ ‎【点睛】本题考查根据当型循环语句计算输出值的问题，此类题要做到认真通读语句，建议数据较小时可以采用列举出来的办法，是一道容易题.‎ ‎5.函数 的定义域为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式组可得函数的定义域.‎ ‎【详解】由题设有，故，‎ - 27 -‎ 故函数的定义域为.‎ ‎【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：‎ ‎（1）分式的分母不为零；‎ ‎（2）偶次根号（，为偶数）中，；‎ ‎（3）零的零次方没有意义；‎ ‎（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.‎ ‎6.从长度分别为的四条线段中，任取三条的不同取法共有种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 分别求出即可．‎ ‎【详解】从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即，可组成三角形的只有一种，因此，∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查事件的概念，求事件的个数．解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可能以及满足组成三角形的个数，从而得，．列举法是我们常用的方法．能组成三角形的判定关键是两个较小的线段长之和大于最长的线段长度．‎ ‎7.若双曲线的一条渐近线方程为，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线的渐近线方程为，由双曲线的一条渐近线方程为，可得 ，从而得到的值.‎ - 27 -‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为.‎ 由由双曲线的一条渐近线方程为，即 所以，即 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线方程求参数的值,属于基础题.‎ ‎8.已知是等差数列的前项和，若，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，根据题意，求得的值，再利用等差数列的通项公式，即可求求解.‎ ‎【详解】由题意，设等差数列的公差为，‎ 可得，解得，所以 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了计算能力.‎ ‎9.若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论和，利用不等式的解集不是空集，解出的取值范围.‎ ‎【详解】解：若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即 - 27 -‎ ‎.‎ 若，要使不等式的解集不是空集，‎ 则①若，有，解得.‎ ‎②若，则满足条件.‎ 综上所述，满足条件的的取值范围是或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题.‎ ‎10.已知等边三角形的边长为，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明AD⊥平面BCD，利用二面角的定义得知∠BDC＝90°，利用勾股定理可得出△BCD的外接圆直径为BC，设R为三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，得 ，再利用球体表面积公式可得出答案．‎ ‎【详解】如图所示，‎ ‎ ‎ 折叠前，由于△ABC时等边三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，‎ 折叠后，则有AD⊥CD，AD⊥BD，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面BCD，‎ ‎∵二面角B﹣AD﹣C为直二面角，∵AD⊥BD，AD⊥CD，则二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC＝90°，‎ 且 ，‎ Rt△BCD的外接圆直径为，‎ 所以，三棱锥A﹣BCD的外接球半径为，‎ - 27 -‎ 因此，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4πR2＝80π．‎ 故答案为80π 点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积计算，考查二面角的定义，同时也考查直线与平面垂直的判定定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题．‎ ‎11.若，是方程的两个根，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理得，再求出，即得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 所以，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查和角的正切公式的应用，考查正切函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.已知都是正实数，则的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：基本不等式.‎ ‎13.已知点，，均位于同一单位圆上，且，若，则的取值范围为__________．‎ - 27 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由整理可得：，即：，以圆心为原点，以BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由整理得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，由等价转化成，利用整理即可求解．‎ ‎【详解】由可得：,‎ 所以，所以，即线段BC为单位圆的直径.‎ 以圆心为原点，以BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图：‎ 则，‎ 设，则 由可得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，‎ 因为，‎ 所以 - 27 -‎ ‎,‎ 又，‎ 所以，即：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数量积的运算及向量的坐标运算，还考查了向量垂直的数量积关系、转化思想及计算能力，考查了向量模的运算，属于难题．‎ ‎14.已知函数，若有两个零点，则的取值范围______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先运用分段函数的解析式，得出的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】当时,, , ,  当,  综上可知：,‎ 则，有两个根，,(不妨设,  当时,，当时,,  令,则，，，，，,  设，, 所以, ，函数 - 27 -‎ 单调递减, ,  值域为, 取值范围为,  故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的零点问题，关键在于讨论自变量的范围得出函数的表达式，再运用导函数得出函数的图象趋势，得出的函数解析式，属于难度题.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15.设函数 ‎（1）当时，求的值域；‎ ‎（2）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式变形，整理后化为一个角的余弦函数，利用余弦函数的值域确定出求的值域即可；‎ ‎（2）由，及第一问确定出的解析式，求出的度数，再由的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．‎ ‎【详解】解：（1）因为 所以 - 27 -‎ 即，‎ ‎，，‎ 所以的值域为；‎ ‎（2）由，得，‎ 又，，‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 把，代入得：，当且仅当时取等号，‎ 的面积，‎ 则面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎16.如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若∥平面，求证：为的中点．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于，又底面为矩形，因此平面，进而平面平面；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接，交于，连接，平面，再根据中位线性质得为的中点.‎ 试题解析：（1）底面为矩形，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，，‎ 平面，‎ 又，‎ 平面平面；‎ ‎（2）连接，交于，连接，‎ 平面，‎ 平面平面，‎ ‎，‎ ‎，‎ 底面为矩形，‎ 是的中点，即，‎ ‎，‎ 为的中点.‎ 考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理 ‎17.如图，在宽为的路边安装路灯，灯柱高为，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为，到灯柱所在直线的距离为．设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上．‎ - 27 -‎ ‎（1）当为何值时，点恰好在路面中线上?‎ ‎（2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值．‎ ‎【答案】(1)当为时，点在路面中线上；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出PQ的方程，设C（a，b），根据CA＝CP＝r列方程组可得出a，b的值，从而求出r的值；‎ ‎（2）用a表示出直线PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐标，从而可得出|HQ|关于a的函数，根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值．‎ ‎【详解】（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），‎ ‎∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则，‎ 两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，‎ ‎∴．∴当时，点Q恰好在路面中线上．‎ ‎（2）由（1）知a+b﹣10＝0，‎ 当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0．‎ 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝（x﹣2），‎ 令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0），‎ ‎∵H在线段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10．‎ ‎∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣，‎ - 27 -‎ 当且仅当＝a即a＝时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣）m．‎ ‎【点睛】本题考查了直线方程，圆的方程，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．‎ ‎18.如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.‎ ‎①求证：直线经过一定点；‎ ‎②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）①详见解析；②存在，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得；又椭圆C1‎ - 27 -‎ 右焦点到右准线的距离为，可得，及a2=b2+c2即可得出；（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点．‎ ‎②由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程．假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径．即（i），（ii）．得出m的取值范围存在即可．‎ 试题解析：（Ⅰ ）依题意，，则，‎ ‎∴，又，∴，则，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，‎ 由得或 ‎∴，‎ 用去代，得，‎ 方法1：，‎ - 27 -‎ ‎∴：，即，‎ ‎∴直线经过定点．‎ 方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，‎ 当时，，，此时直线经过轴上的点，‎ ‎∵‎ ‎∴，∴、、三点共线，即直线经过点，‎ 综上所述，直线经过定点．‎ ‎②由得或∴，‎ 则直线：，‎ 设，则，直线：，直线：，‎ 假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，‎ 则由（）得对恒成立，则，‎ 由（）得，对恒成立，‎ 当时，不合题意；当时，，得，即，‎ - 27 -‎ ‎∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．‎ 解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．‎ 考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程．‎ ‎19.已知函数（a，）.‎ ‎（1）若，且在内有且只有一个零点，求a的值；‎ ‎（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，，试讨论是否存在，使得.‎ ‎【答案】（1）（2）存在；a的值为（3）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），，讨论和两种情况，分别计算函数的单调性，再根据零点个数得到参数.‎ ‎（2），根据题意，计算得到，，计算得到答案.‎ ‎（3），，故必须在上有解，解方程得到答案.‎ ‎【详解】（1）若，则，，‎ - 27 -‎ 若，则在，则，则在上单调递增，‎ 又，故在上无零点，舍；‎ 若，令，得，，，‎ 在上，，在上单调递减，‎ 在上，，在上单调递增，‎ 故，‎ 若，则，在上无零点，舍；‎ 若，则，在上恰有一零点，此时；‎ 若，则，，，‎ 则在和上有各有一个零点，舍；‎ 故a的值为.‎ ‎（2）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，可设，‎ 故，则，故，，.‎ 此时，，，故存在三个不同的零点.‎ 故符合题意的a的值为.‎ ‎（3）若，，，‎ - 27 -‎ ‎∴若存在，使得，‎ 必须在上有解.‎ ‎，‎ 方程的两根为：，，‎ 只能是，‎ 依题意，即，‎ 即，‎ 又由，得，故欲使满足题意的存在，则，‎ ‎∴当时，存在唯一的满足，‎ 当时，不存在使.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20.设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设数列，，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.‎ - 27 -‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入求得，利用可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到和，进而得到；‎ ‎（2）假设存在满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到，由可求得的范围，结合得到，进而求出；‎ ‎（3）将问题转化为当为偶数时，，构造函数和，可利用导数说明与的单调性，进而确定的取值，同时得到的范围，从而求得结果.‎ ‎【详解】（1）数列是非零数列，.‎ 当时，，；‎ 当且时，，，‎ 是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎（2）设存在，满足题意，‎ 成等比数列，；‎ 成等差数列，，‎ 消去可得：，，‎ ‎，，，解得：，‎ - 27 -‎ ‎，，，，.‎ ‎（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，‎ 两边取自然对数化简可得：，显然，‎ 设，则，‎ 当时，；当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 在处取得极大值，‎ 当时，是递减数列，又，是的最大值，‎ ‎；‎ 设，则，‎ 是递减数列，当时，，当时，，‎ 当时，存，使得恒成立；‎ 当时，不成立，‎ 至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.‎ ‎【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.‎ 高三数学模拟试题附加题 ‎21.已知矩阵，向量.‎ ‎（1）求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；‎ - 27 -‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）特征值为，，分别对应的特征向量为和，（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2），即可求．‎ ‎【详解】（1）矩阵的特征多项式为，‎ 令，可求得特征值为，，‎ 设对应的一个特征向量为，‎ 则由，得，可令，则，‎ 所以矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为，‎ 同理可得矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为．‎ ‎（2）‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.‎ - 27 -‎ 若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.‎ 设为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】或；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出值；‎ 把曲线的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出的取值范围.‎ ‎【详解】解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.‎ 圆心到直线的距离（弦心距）,‎ 圆心到直线的距离为 ：,‎ 或.‎ 曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）‎ 为曲线上任意一点， ‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题.‎ ‎23. 已知：a≥2，x∈R．求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：利用含绝对值不等式性质得|x－1＋a|＋|x－a|最小值|2a－1|，再根据a取值范围求最小值3．最后根据不等式传递性得证.‎ 试题解析：证明：因为|m|+|n|≥|m－n|，‎ - 27 -‎ 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|． ‎ 又a≥2，故|2a－1|≥3．‎ 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3． ‎ 考点：含绝对值不等式性质 ‎24.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）若点是棱上一点，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）依题意，可以以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设，由和共线得到点坐标，求出其长度即可.‎ 试题解析：（1）以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，‎ ‎，故 - 27 -‎ ‎∵，‎ ‎∴与所成角的余弦值为．‎ ‎（2）解：设，则，‎ ‎∵，∴，‎ 即，∴，‎ 又，即，‎ ‎∴，故，‎ ‎，∴‎ ‎ ‎ 考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.‎ ‎25.棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.‎ ‎（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；‎ ‎（2）证明：；‎ - 27 -‎ ‎（3）求、的值.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，随机变量的数学期望为；（2）证明见解析；‎ ‎（3），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出随机变量的可能取值有、、、，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，可列出随机变量的分布列，由此计算出随机变量的数学期望；‎ ‎（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在该等式两边同时减去，可得出所证等式成立；‎ ‎（3）结合（1）、（2）可得，利用累加法求出数列的通项公式，从而可求出和的值.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、.‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 所以，随机变量的数学期望为；‎ - 27 -‎ ‎（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为 ，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.‎ 等式两边同时减去得；‎ ‎（3）由（2）可得，，.‎ 由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，则，‎ 由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.‎ ‎【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎