数学文卷·2018届湖南师大附中高三上学期月考（三）+试题（解析版）
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炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(三)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设i是虚数单位，则－1＋i－i2＋i3－i4＋…i100＝( )
A. 1 B. 0 C. －1 D. i
【答案】C
【解析】根据等比数列求和公式，可知原式＝＝－1，
故选：C.
2. 给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相垂直的充要条件是a＝－；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.下列结论中正确的是( )
A. “p∧q”为真命题 B. “p∨q”为假命题
C. “p∨q”为假命题 D. “p∧q”为真命题
【答案】D
【解析】命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相垂直的充要条件是2a＋3(a＋1)＝0，得a＝－，所以为真命题；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β相交也可以，所以为假命题，即p为真命题，q为假命题，所以“p∧q”为真命题，
故选：D.
3. 如果f(x)＝ax2－(2－a)x＋1在区间上为减函数，则a的取值范围是( )
A. (0，1] B. 0，1) C. 0，1] D. 0，1)
【答案】C
【解析】由题意，当a=0时，可得f（x）=﹣2x+1，在R上是单调递减，满足题意，
当a＜0时，显然不成立；
当a＞0时，要使（]上为减函数，
则，解得：a≤1,∴0＜a≤1．
综上：可得0≤a≤1．
故选：C
4. 计算机执行如图所示的程序，则输出的S值为( )
i＝6
S＝1
DO
S＝S*i
i＝i－1
LOOP UNTIL i＜3
PRINT S
END
A. 30 B. 120 C. 360 D. 720
【答案】C
【解析】执行循环体依次得S＝6，i＝5；S＝30，i＝4；
S＝120，i＝3；S＝360，i＝2，此时满足条件i＜3，
所以输出的S＝360,
故选:C.
5. 在等差数列{an}中，a1＝2016，其前n项和为Sn，若2017S2016－2016S2017＝2016×2017，则S2016的值等于( )
A. 2018 B. 2017 C. 2016 D. 2015
【答案】C
【解析】2017S2016－2016S2017＝2016×2017,得：
又为等差数列，公差为首项为2016
∴
∴S2016=2016
故选：C
6. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由已知，或，即或
，由正弦定理，得，即，即，均为的内角，或或，为等腰三角形或直角三角形，故选D.
7. 已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
由已知三视图可得，该几何体是一个底面为直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱锥，如图，三棱锥 ，故该几何体的体积为，故选C.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
8. 已知半径为4的圆O是△ABC的外接圆，且满足，则在上的投影为( )
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
【答案】A
【解析】， ，为的重心，又为的外心，为正三角形，设的边长为，则，在上的投影为，故选A.
9. 在区间0，4]上随机地选择一个数p，则方程x2－px＋3p－8＝0有两个正根的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程有两个正根，则有，即解得或，又，由几何概型概率公式可得方程有两个正根的概率为，故选A.
10. 在直角坐标系中，若不等式表示一个三角形区域，则实数a的取值范围是( )
A. a>0 B. a≥0 C. a≤－2 D. a>－2
【答案】D
【解析】
①画x≥0，y≤﹣2x+1的公共区域，
②y=ax表示过（0，0）的直线系．
当a=﹣2时，直线y=﹣2x与y=﹣2x+1平行，不构成三角形，
逆时针旋到与y轴重合前到能构成三角形，
则斜率a的取值范围是（﹣2，+∞）
故选：D．
11. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由三角形PF1F2三边关系可知，∴
，则不等式的解集为( )
A. (－∞，－1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，－1]∪1，＋∞) D. (－1，1)
【答案】D
【解析】设F＝f－x，F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)>.∴F′(x)＝f′(x)－>0，
即函数F(x)在R上单调递增．∵f(x2)<＋，∴f(x2)－0)的焦点F与椭圆Γ：＋y2＝1的一个焦点重合，点M(x0，2)在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．
(Ⅰ)求抛物线C的方程以及|MF|的值；
(Ⅱ)记抛物线C的准线与x轴交于点H，试问是否存在常数λ∈R，使得且|HA|2＋|HB|2＝都成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由．
【答案】(Ⅰ) 抛物线C的方程为y2＝4x,|MF|=2；(Ⅱ) λ＝2或.
【解析】试题分析: （1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标，则，即可求得p的值，求得抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式即可求得|MF|的值；
（2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得，利用两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数λ的值．
试题解析：
(Ⅰ)依题意，椭圆Γ：＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，故c2＝a2－b2＝1，故F，故＝1，则2p＝4，故抛物线C的方程为y2＝4x，将M代入y2＝4x，解得x0＝1，
故＝1＋＝2.
(Ⅱ)(法一)依题意，F，设l：x＝ty＋1，设A，B，
联立方程，消去x，得y2－4ty－4＝0.∴ ①
且，又＝λ则＝λ，即y1＝－λy2，代入 ①
得，
消去y2得4t2＝λ＋－2，且H，
则|HA|2＋|HB|2＝＋y＋＋y＝x＋x＋2＋2＋y＋y＝＋＋2＋2＋y＋y＝＋4t＋8＝＋4t·4t＋8＝16t4＋40t2＋16.由16t4＋40t2＋16＝，
解得t2＝或t2＝－ (舍)，故λ＝2或.
21. 已知函数f(x)＝ax2－(a2＋b)x＋aln x(a，b∈R)．
(Ⅰ)当b＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)当a＝－1，b＝0时，证明：f(x)＋ex>－x2－x＋1(其中e为自然对数的底数)
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析: （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）法一：问题转化为证明ex﹣lnx﹣1＞0，设g（x）=ex﹣lnx﹣1（x＞0），问题转化为证明∀x＞0，g（x）＞0，根据函数的单调性证明即可；
法二：问题转化为证明x﹣1≥lnx（x＞0），令h（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），根据函数的单调性证明即可．
试题解析：
(Ⅰ)当b＝1时，f(x)＝ax2－(1＋a2)x＋aln x，
f′(x)＝ax－(1＋a2)＋＝.
讨论：1°当a≤0时，x－a>0， >0，ax－1<0⇒f′(x)<0，
此时函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间.
2°当a>0时，令f′(x)＝0⇒x＝或a，
①当＝a(a>0)，即a＝1时， 此时f′(x)＝≥0(x>0)，
此时函数f(x)单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；
②当0<1时，此时在和(a，＋∞)上函数f′(x)>0，
在上函数f′(x)<0，此时函数f(x)单调递增区间为和(a，＋∞)；
单调递减区间为；
③当0－x2－x＋1，
只需证明：ex－ln x－1>0，设g(x)＝ex－ln x－1(x>0)，
问题转化为证明∀x>0，g(x)>0.
令g′(x)＝ex－， g″(x)＝ex＋>0，
∴g′(x)＝ex－为(0，＋∞)上的增函数，且g′＝－2<0，g′(1)＝e－1>0，
∴存在惟一的x0∈，使得g′(x0)＝0，ex0＝，
∴g(x)在(0，x0)上递减，在(x0，＋∞)上递增.
∴g(x)min＝g(x0)＝ex0－ln x0－1＝＋x0－1≥2－1＝1，
∴g(x)min>0∴不等式得证.
(法二)先证：x－1≥ln x(x>0)
令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，∴h′(x)＝1－＝＝0⇒x＝1，
∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
∴h(x)min＝h(1)＝0，∴h(x)≥h(1)⇒x－1≥ln x．
∴1＋ln x≤1＋x－1＝x⇒ln(1＋x)≤x，
∴eln(1＋x)≤ex，1
∴ex≥x＋1>x≥1＋ln x，∴ex>1＋ln x，
故ex－ln x－1>0，证毕.
请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
22. 选修4－4：极坐标与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：(α为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：ρ.
(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析: （1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；
（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．
试题解析：
(Ⅰ)曲线，
可得：
曲线C的普通方程：x2＋y2＝4.
直线l：ρsin＝1＝ρsin θ＋ρcos θ，
直线l的直角坐标方程：x＋y－2＝0.
(Ⅱ)∵圆C的圆心(0，0)半径为2，，圆心C到直线的距离为1，
∴这三个点在平行直线l1与 l2上，如图：直线l1与 l2与l的距离为1.
l1：x＋y＝0，l2：x＋y－4＝0.
，可得
两个交点(－，1)、(，－1)；
解得(1，)，
这三个点的极坐标分别为：、、.
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
23. 选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝，g(x)＝af(x)－|x－1|.
(Ⅰ)当a＝0时，若g(x)≤|x－2|＋b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围；
(Ⅱ)当a＝1时，求g(x)的最大值.
【答案】(Ⅰ) b≥－1；(Ⅱ)1.
【解析】试题分析：（1）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，本题可由绝对值三角不等式得函数最值，（2）根据绝对值定义将函数转化为分段函数形式，分段讨论单调性，即得函数最值.
试题解析：（1）当时，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）当时，
可知在上单调递增，在单调递减
∴.
