山东省潍坊市奎文区第一中学2020届高三下学期3月月考数学试题

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高三数学试题 第I卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)‎ ‎1.设函数 定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则 A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由得，由得，‎ 故，选D.‎ ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎2.对于个复数，如果存在n个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若复数，，线性相关，则的值可以为（ ）‎ A. 2：4：3 B. 1：3：2‎ C. 1：2：3 D. 3：4：2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三个复数代入方程得到一个三元方程组，对照选项，即可得到答案.‎ ‎【详解】有题意得，‎ 所以，‎ 因为为方程组的一组解，‎ ‎∴的值可以为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数新定义题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，，，若，则的值为　　‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出，从而根据得出，解出．‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标线性运算、向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数定义域和与的关系判断奇偶性，再由时，，即可得答案.‎ ‎【详解】∵函数的定义域为，且，‎ ‎∴为偶函数，故排除B、C；‎ 当时，，故排除A.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图像，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数性质的综合运用.‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的对称得到，，再由两角差的余弦公式即可求出 ‎【详解】角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查终边关于轴对称的三角函数值之间的关系、两角差的余弦公式、同角的三角函数的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.‎ ‎6.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（　　）‎ A. 这15天日平均温度的极差为 B. 连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天 C. 由折线图能预测16日温度要低于 D. 由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解．‎ ‎【详解】由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：‎ 在中，这15天日平均温度的极差为：，故错误； ‎ 在中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正确； ‎ 在中，由折线图无法预测16日温度要是否低于，故错误； ‎ 在中，由折线图无法预测本月温度小于的天数是否少于温度大于的天数，故错误． ‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎7.围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求对数分析即可.‎ ‎【详解】因为 故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题型.‎ ‎8.已知抛物线上不同三点，，的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是　　‎ A. ，，的纵坐标成等差数列 B. ，， 到轴的距离成等差数列 C. ，，到点的距离成等差数列 D. ，，到点，的距离成等差数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，，，，因为，，的横坐标成等差数列，所以，①，由抛物线的定义，得点，，到焦点，的距离，进而得出结论．‎ ‎【详解】设，，，，，，‎ 因为，，的横坐标成等差数列，所以，①‎ 由抛物线的定义，得点，，到焦点，的距离：‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 又因为①，得，‎ 所以，，到点，的距离成等差数列．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列等差中项的性质、抛物线的定义、焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎9.设正实数，满足，则（ ）‎ A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值1 D. 有最小值 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据，逐一判断各选项即可．‎ ‎【详解】对A，正实数，满足，即有，可得，‎ 即有，即有时，取得最小值4，无最大值，故A正确；‎ 对B，由，可得有最大值，故B错误；‎ 对C，由，可得时，取得最大值，故C错误；‎ 对D，由可得，则，当时，‎ 取得最小值，故D正确．‎ 故选：AD．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的变形和应用.‎ ‎10.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）‎ A. BD⊥CM B. 存在一个位置，使△CDM为等边三角形 C. DM与BC不可能垂直 D. 直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可．‎ ‎【详解】对A，菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，如图：取的中点，连接，，可知，，所以平面，可知，故A正确；‎ 对B，由题意可知，三棱锥是正四面体时，为等边三角形，故B正确；‎ 对C，三棱锥是正四面体时，与垂直，故C不正确；‎ 对D，平面与平面垂直时，直线与平面所成的角的最大值为，故D正确．‎ 故选：ABD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．‎ ‎11.已知双曲线的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）‎ A. ‎ B. 直线的斜率之积等于定值 C. 使得为等腰三角形的点有且仅有8个 D. 的面积为 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.‎ ‎【详解】在中，两边之差小于第三边，即，所以A不是真命题；‎ 设点，有，，‎ 直线的斜率之积 ‎，所以B是真命题；‎ 根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，此时为等腰三角形，‎ 也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，‎ 所以C是真命题；‎ ‎，根据焦点三角形面积的二级结论，所以D不是真命题.‎ 故选：BC ‎【点睛】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.‎ ‎12.函数在，上有定义，若对任意，，，有，则称在，上具有性质．设在，上具有性质，下列命题正确的有（ ）‎ A. 在，上的图象是连续不断的 B. 在，上具有性质 C. 若在处取得最大值1，则，，‎ D. 对任意，，，，，有 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件，分别举出反例，说明A和B都是错误的；同时证明C和D是正确的．‎ ‎【详解】对A，反例在，上满足性质，但在，上不是连续函数，故A不成立；‎ 对B，反例在，上满足性质，但在，上不满足性质，故B不成立；‎ 对C：在，上，，‎ ‎，故，对任意的，，，，‎ 故C成立；‎ 对D，对任意，，，，，‎ 有 ‎ ‎ ‎，‎ ‎，故D成立．‎ 故选：CD.‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时说明一个结论错误时，只需举出反例即可，说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.如图所示，一名男生扔铅球，铅球上升高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是，则铅球落地时，铅球速度方向与地面所成的角是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出二次方程的根，从而得到铅球落地点的坐标，再利用导数求出切线的斜率，即可得答案.‎ ‎【详解】当时，解得：或（舍去），‎ ‎∴铅球落地时，铅球速度方向，即为曲线在处的切线方向，‎ ‎∵，∴切线的斜率，‎ ‎∵铅球速度方向与地面所成的角为锐角或直角，‎ ‎∴铅球速度方向与地面所成的角是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次函数的实际应用、导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意夹角为锐角或直角.‎ ‎14.人的某一特征（如单双眼皮）是由他的一对基因决定的，以D表示显性基因，d表示隐性基因，则具有DD基因的人是显性纯合子表现为双眼皮，具有dd基因的人是隐性纯合子表现为单眼皮，具有Dd基因的人为杂合子，显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的某一特征.孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是杂合子.则一对双眼皮夫妇生一个双眼皮的男孩概率是________.‎ ‎【答案】0.375‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法将孩子的4种基因情况一一列举出来，再利用古典概型的概率计算公式，即可得答案.‎ ‎【详解】由题意知：父母基因都是杂合子，记为，‎ 则孩子的基因情有4种情况，即，‎ 其中双眼皮孩子的概率，‎ ‎∵孩子要求是男孩，∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.等差数列的前项和为，且，，记，其中表示不超过 的最大整数，如，，则_________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得，，，即可得出．‎ ‎【详解】为等差数列的前项和，且，，．‎ 可得，则公差，∴，‎ ‎∴，则，，，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16.已知正方体ABCD−A1B‎1C1D1的棱长为1，动点P在正方体的表面上运动，且与点A的距离为.动点P的集合形成一条曲线，这条曲线在平面CDD‎1C1上部分的形状是_____，整条曲线的周长是_________‎ ‎【答案】 (1). 圆弧 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形观察出曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．‎ ‎【详解】由题意得，此问题的实质是以为球心、为半径的球在正方体各个面上交线的长度计算，正方体的各个面，根据与球心位置关系分成两类：、、为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为、、、为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，‎ 由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为．‎ 这条曲线长度为．‎ 故答案为： 圆弧；.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何与解析几何知识的交汇，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力，求解时注意正方体的直观性进行解题．‎ 四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等差数列满足且，等比数列的首项为2，公比为.‎ ‎（1）若，问等于数列中的第几项？‎ ‎（2）若，数列和的前项和分别记为和，的最大值为，试比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）等于数列中的第16项（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出等差数列的通项公式，再求出等比数列的通项公式，求出实在代入等差数列通项公式，即可得答案；‎ ‎（2）求出的值，二次函数的性质求出的值，比较大小即可得到答案.‎ ‎【详解】(1)因为等差数列满足，即，所以等差数列的公差，‎ 又，得，‎ 代入可得，所以.‎ 当等比数列的首项为2，公比为.‎ 当时，,‎ 所以 ,‎ 所以当时,‎ 解得,‎ 即时，等于数列中的第16项.‎ ‎(2)等比数列的首项为2，若,‎ 由可得,‎ 又等差数列中代入可得:‎ ‎,‎ 所以当时，的最大值为,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式和前项和公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.‎ ‎18.已知,在中,内角,,的对边分别为,,,,,若.‎ ‎（1）求角;‎ ‎（2）若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为,,可得:‎ ‎,根据正弦定理可得,即可求得答案.‎ ‎（2）由余弦定理:,,则,根据三角形面积公式即可求得答案.‎ ‎【详解】（1） ,,‎ ‎ ,‎ 可得:,‎ ‎ .‎ 由正弦定理:‎ 故:‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎.‎ ‎（2）由余弦定理:,‎ ‎,‎ ‎,当且仅当时,,‎ ‎.‎ 面积的最大值为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.‎ ‎19.在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为长方形，SB⊥底面ABCD，其中BS=2，BA=2，BC=λ，λ的可能取值为：①；②；③；④；⑤λ=3‎ ‎（1）求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值；‎ ‎（2）若线段CD上能找到点E，满足AE⊥SE，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求二面角E1－SB－E2的大小.‎ ‎【答案】（1）（2）λ可以取①②③，见解析（3）30°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由底面，得即为直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎（2）以为坐标原点，以、、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，根据得到，再根据的取值范围得到的取值；‎ ‎（3）利用向量法能求出夹角的余弦值，进而求得二面角的大小．‎ ‎【详解】（1）因为SB⊥底面ABCD，所以∠SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角，‎ 在中，‎ ‎（2）以B为坐标原点，以BC、BA、BS的方向分别为x轴、y轴z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：‎ B(0，0，0)，A(0，2，0)，D(λ，2，0)，S(0，0，2). ‎ 设，所以，‎ ‎ ‎ 因为x∈[0，2]， ，所以在所给的数据中，λ可以取①②③‎ ‎（3）由（2）知，此时，或，即满足条件的点E有两个，‎ 根据题意得，其坐标为和，‎ 因为SB⊥平面ABCD，所以SB⊥BE1， SB⊥BE2，‎ 所以，∠E1BE2是二面角E1−SB−E2的平面角 由 由题意得二面角E1−SB−E2为锐角，‎ 所以二面角E1−SB−E2的大小为30°‎ ‎【点睛】本题考查线线面角的正弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.‎ 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：‎ ‎（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人概率；‎ ‎（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率．求X的分布列和数学期望；‎ ‎（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞机？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）乘坐高铁，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；‎ ‎（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；‎ ‎（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．‎ ‎【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为，‎ 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，‎ 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；‎ ‎（2）由题意，的所有可能取值为：0，1，2，‎ 因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故；‎ ‎（3）从满意度的均值来分析问题如下：‎ 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，‎ 乘坐飞机的人满意度均值为：，‎ 因为，‎ 所以建议甲乘坐高铁从市到市．‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率模型的判断，属于中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间与极值；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单减区间为,的单增区间为,,无极大值.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为,定义域为,则,即可求得 的单调区间与极值;‎ ‎（2）,故,将其化简可得,,由（1）知在上单增,,,即可求得正实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎ ,定义域为,‎ 又,,,.‎ 的单减区间为,的单增区间为 ‎,无极大值.‎ ‎（2） ,故 将化简可得: ,‎ ‎.‎ ‎,,‎ 由（1）知在上单增,‎ ‎,‎ ‎,即.‎ 令,‎ 令,‎ 则,‎ ‎ 在上单减,,,‎ ‎,且在上,,,单增,‎ 在上,,,单减. ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.‎ ‎22.给定椭圆C:(),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C 的“卫星圆”.若椭圆C的离心率,点在C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;‎ ‎(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线,使得,与椭圆C都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长为定值.‎ ‎【答案】(1),;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意列出再结合即可解出，，从而得到椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；‎ ‎(2) 根据分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设无斜率)，可知其方程为或，这样可求出；当两条直线斜率都存在时，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，与椭圆方程联立，由可得，所以线段应为“卫星圆”的直径，即，故得证．‎ ‎【详解】(1)由条件可得:‎ 解得，‎ 所以椭圆的方程为，‎ 卫星圆的方程为 ‎(2)①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，‎ 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，‎ 当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，‎ 此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是 或，即为或，‎ ‎∴‎ ‎∴线段应为“卫星圆”的直径，‎ ‎∴‎ ‎②当，都有斜率时，设点，其中，‎ 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，‎ 则，‎ 消去y得到，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 所以，满足条件的两直线，垂直．‎ ‎∴线段应为“卫星圆”的直径，∴‎ 综合①②知：因为，经过点，又分别交“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段是“卫星圆”的直径，∴为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题．‎