北京市海淀区2020届高三下学期查漏补缺数学试题

北京市海淀区2020届高三下学期查漏补缺数学试题

海淀区高三数学查漏补缺题 ‎ 2020.6‎ 说明： ‎ ‎1.提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题.‎ ‎2.教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用.‎ ‎3.试题按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正.‎ ‎【集合与简易逻辑】‎ ‎1. 已知集合A＝{x|}，B＝{－2,－1,0,1,2}，则A∩B＝‎ A．{0,1}‎ B．{－1,0,1}‎ C．{－2, －1,0,1}‎ D．{－1,0,1,2}‎ ‎2. 在中，“”是“的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 ‎ C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 ‎ ‎ ‎【复数】‎ ‎1. 如果复数 为纯虚数，那么实数的值为 ‎ A.‎ 2‎ B. ‎1‎ C.‎ -2‎ D. ‎1‎ 或 ‎‎-2‎ ‎2.设，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 若，则实数_________，实数_________.‎ ‎【不等式】‎ ‎1.设，则下列不等式中正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2. 设且，“”的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B．且 C． D．‎ ‎3. 已知，令，，，那么之间的大小关系为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 设，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【数列】‎ ‎1. 设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎2. 若等差数列满足，，则当________时，的前项和最大.‎ ‎3. 已知数列,,,则=______‎ ‎4. 数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则 A．     B． ‎ C．    D．‎ ‎【平面向量】‎ ‎1．设向量不平行，向量与平行，则实数 ．‎ ‎2. 设，向量，若，则_______.‎ ‎3. 设向量，，若，则实数________.‎ ‎4. 设，均为单位向量，则“”是“⊥”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【三角函数】‎ ‎1.若角的终边过点，则 ‎2. 函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为 A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎3.函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列关于函数的结论：‎ ①一条对称轴方程为; ②点是对称中心;‎ ③在区间上为单调增函数; ④最大值为.‎ 其中所有正确的结论为__________.（写出正确结论的序号）‎ ‎4. 设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：‎ ‎①在（）有且仅有3个极大值点;‎ ‎②在（）有且仅有2个极小值点 ‎③在（）单调递增 ‎④的取值范围是[)‎ 其中所有正确结论的编号是 A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④‎ ‎5.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的定义域及单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）比较，，的大小，并说明理由. ‎ ‎5. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解三角形】‎ ‎1.在△中，, ，则是△的面积为的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记.‎ ‎（Ⅰ）求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）在△中，若，求△的面积.‎ ‎3.在△中，角的对边分别为，其中，从①，②，③，④四个条件中选出两个条件，使得该三角形能够唯一确定. 求边c，sinB及三角形面积 ‎【二项式定理】‎ ‎1. 若，则________（用数字作答）‎ ‎2. 在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.‎ ‎【概率统计】‎ ‎1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53‎ ‎2.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 . （用“”连接）‎ ‎3. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京市和张家口市联合举行.某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训.训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为五个等级，分别对应的分数为.甲乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）根据上图判断，甲乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）‎ ‎（Ⅱ）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为，求的分布列.（频率当作概率使用）‎ ‎3．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：‎ 汽车型号 ‎ I ‎ II ‎ III ‎ IV ‎ V 回访客户（人数）‎ ‎ 250‎ ‎ 100‎ ‎ 200‎ ‎ 700‎ ‎ 350‎ 满意率 ‎ 0.5‎ ‎ 0.3‎ ‎ 0.6‎ ‎ 0.3‎ ‎ 0.2‎ 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.‎ 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.‎ ‎(Ⅰ)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；‎ ‎(Ⅱ)从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；‎ ‎(Ⅲ)用 “”, “”, “”, “”, “”分别表示I, II, III, IV, V型号汽车让客户满意， “”, “”, “”, “”, “” 分别表示I, II, III, IV, V型号汽车让客户不满意.写出方差的大小关系.‎ ‎【立体几何】‎ 1. 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点G在PB上，且．‎ 求证：点G在平面AEF内．‎ ‎2. 如图，，平面，平面，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）当时，求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅳ）在棱上是否存在点满足平面；‎ ‎（Ⅴ）设，是否存在满足平面平面？若存在求出值，若不存在说明理由.‎ ‎【函数与导数】‎ ‎1. 设函数，则满足的的取值范围是 ‎ A．，2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）‎ ‎2. 给出下列四个函数：①；②；③；④.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是 ‎ A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①‎ ‎3．已知函数若的图象与直线 有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.‎ ‎4. 设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围．‎ ‎5.已知函数：‎ ‎（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且有，求证：. ‎ ‎【解析几何】‎ ‎1. 直线的倾斜角的取值范围是 .‎ ‎2. 已知直线与直线平行，则的值为（ ）‎ ‎ A.0或3或 B.0或3 C.3或 D.0或 ‎3. 已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ） ‎ ‎ A．24 B．20 C．0 D．－4 ‎ ‎4.已知点,. 若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 ‎ ‎ ‎ ‎5. 已知直线：与直线：的交点为，椭圆的焦点为, ，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 直线与圆C:相交于两点、，若，则圆C的半径________.‎ ‎7.已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围是________.‎ ‎8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是 A．卵圆关于轴对称 B．卵圆上不存在两点关于直线对 C．线段长度的取值范围是 D．的面积最大值为 ‎9. 已知椭圆C的标准方程为，梯形ABCD的顶点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）已知梯形ABCD的两腰AC=BD，且两个底边AB和DC与坐标轴平行或在坐标轴上.若梯形一底边AB=2，高为，求梯形ABCD的面积；‎ ‎(Ⅱ)若梯形ABCD的两底AB和DC与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形并说明理由.‎ ‎10.已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．‎ ‎11. 已知椭圆的焦点在轴，且右焦点到左顶点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）与轴不垂直且不重合的直线与椭圆相交于不同的两点，直线与轴的交点为，点关于轴的对称点为.‎ ‎(i) 求面积的最大值；‎ ‎（ii）当面积取得最大值时，求证：.‎ 参考答案 ‎【集合与简易逻辑】‎ ‎1. 已知集合A＝{x|}，B＝{－2,－1,0,1,2}，则A∩B＝‎ A．{0,1}‎ B．{－1,0,1}‎ C．{－2, －1,0,1}‎ D．{－1,0,1,2}‎ 答案：A ‎2. 在中，“”是“的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 答案 ：C ‎ ‎3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 ‎ C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 ‎ 答案 ：B ‎ ‎【复数】‎ ‎1. 如果复数 为纯虚数，那么实数的值为 ‎ A.‎ 2‎ B. ‎1‎ C.‎ -2‎ D. ‎1‎ 或 ‎‎-2‎ 答案：C ‎2.设，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 答案 ：C ‎3. 若，则实数_________，实数_________.‎ 答案：.‎ ‎【不等式】‎ ‎1.设，则下列不等式中正确的是 A． B．‎ C． D．‎ 答案 ：B ‎[解答]‎ ‎（方法一）已知和，比较与，‎ 因为，所以，同理由 得；作差法：，‎ 所以，综上可得；故选B．‎ ‎（方法二）取，，‎ 则，，所以．‎ ‎2. 设且，“”的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B．且 C． D．‎ 答案：A ‎3. 已知，令，，，那么之间的大小关系为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎4. 设，，则 A． B．‎ C． D．‎ 答案 ：B ‎[解答]‎ 由得，由得，‎ 所以，所以，得．‎ 又，，所以，所以．故选B．‎ ‎【数列】‎ ‎1. 设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 答案：C ‎2. 若等差数列满足，，则当________时，的前项和最大.‎ 答案：8‎ ‎3. 已知数列,,,则=______‎ 答案：57‎ ‎[解答]‎ 法一: 通过具体罗列各项,,,,,,,,,,‎ 所以=57‎ 法二: 由递推关系进一步可得相邻几项之间的关系 两式相减可得 所以数列 隔项成等差数列，所以是以2为首项，以3为公差，共有6项的等差数列，用求和公式得=‎ ‎4. 数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则 A．     B． ‎ C．    D．‎ 答案：C ‎【平面向量】‎ ‎1．设向量不平行，向量与平行，则实数 ．‎ 答案：‎ ‎2. 设，向量，若，则_______.‎ 答案：‎ ‎3. 设向量，，若，则实数________.‎ 答案：±3‎ ‎4. 设，均为单位向量，则“”是“⊥”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C ‎[解答]‎ ‎∵，∴，∴，又，∴，∴；反之也成立，故选C．‎ ‎【三角函数】‎ ‎1.若角的终边过点，则 答案：‎ ‎[解答]‎ ‎2. 函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为 A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ 答案：D ‎3.函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列关于函数的结论：‎ ①一条对称轴方程为; ②点是对称中心;‎ ③在区间上为单调增函数; ④最大值为.‎ 其中所有正确的结论为__________.（写出正确结论的序号）‎ 答案：②③‎ ‎4. 设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：‎ ‎①在（）有且仅有3个极大值点;‎ ‎②在（）有且仅有2个极小值点 ‎③在（）单调递增 ‎④的取值范围是[)‎ 其中所有正确结论的编号是 A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④‎ 答案：D ‎[解答]‎ 当时，，‎ 因为在有且仅有5个零点，所以， 所以，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当时，， 若在单调递增， 则，即，因为，故③正确．‎ ‎5.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的定义域及单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）比较，，的大小，并说明理由. ‎ ‎[解答]‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 的单调递减区间为 ‎ ‎（Ⅱ）=, 所以= ‎ ‎5. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 答案：C ‎【解三角形】‎ ‎1.在△中，, ，则是△的面积为的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C ‎2. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于 ‎，记.‎ ‎（Ⅰ）求函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）在△中，若，求△的面积.‎ ‎[解答]‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎，函数的值域是.‎ ‎（Ⅱ）,‎ ‎,,‎ 由，又 得 由余弦定理，得，‎ ‎.‎ ‎3.在△中，角的对边分别为，其中，从①，②，③，④四个条件中选出两个条件，使得该三角形能够唯一确定. 求边c，sinB及三角形面积 ‎[解答]‎ 选①③‎ 由余弦定理 解得 ‎ 由得 由正弦定理 得 ‎ = ‎ 选②③‎ 由余弦定理 解得 由得 由正弦定理 得 ‎ =.‎ ‎【二项式定理】‎ ‎1. 若，则________（用数字作答）‎ 答案： -80‎ ‎2. 在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.‎ 答案：，5‎ ‎【概率统计】‎ ‎1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53‎ 答案：A ‎[解答]‎ 由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56.‎ 所以选A.‎ ‎2.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 . （用“”连接）‎ 答案：＞＞‎ ‎3. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京市和张家口市联合举行.某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训.训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为五个等级，分别对应的分数为.甲乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）根据上图判断，甲乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）‎ ‎（Ⅱ）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；‎ ‎（Ⅲ）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为，求的分布列.（频率当作概率使用）‎ ‎[解答]‎ ‎（Ⅰ）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定；‎ ‎（Ⅱ）因为甲单板滑雪项目测试中分和分成绩的频率之和为，‎ 分成绩的频率为，所以甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为分；‎ 测试成绩为分的频率为，‎ 所以甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为 ‎（Ⅲ）由题意可知，在每次测试中，‎ 甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的概率为.‎ 的取值可能为.‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 则的分布列如下表所示：‎ ‎3．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：‎ 汽车型号 ‎ I ‎ II ‎ III ‎ IV ‎ V 回访客户（人数）‎ ‎ 250‎ ‎ 100‎ ‎ 200‎ ‎ 700‎ ‎ 350‎ 满意率 ‎ 0.5‎ ‎ 0.3‎ ‎ 0.6‎ ‎ 0.3‎ ‎ 0.2‎ 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.‎ 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.‎ ‎(Ⅰ)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；‎ ‎(Ⅱ)从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；‎ ‎(Ⅲ)用 “”, “”, “”, “”, “”分别表示I, II, III, IV, V型号汽车让客户满意， “”, “”, “”, “”, “” 分别表示I, II, III, IV, V型号汽车让客户不满意.写出方差的大小关系.‎ ‎[解答]‎ ‎（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是，‎ 满意的客户人数，‎ 故所求概率为． ‎ ‎（Ⅱ）.‎ 设事件为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，‎ 事件为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件.‎ 根据题意，估计为0.5，估计为0.2 .‎ 则;‎ ‎ ;‎ ‎ .‎ 的分布列为 的期望 . ‎ ‎（Ⅲ）． ‎ ‎【立体几何】‎ 1. 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设点G在PB上，且．‎ 求证：点G在平面AEF内．‎ ‎[解答]‎ ‎（I）因为平面，所以. ‎ 又因为AD⊥CD，且所以平面.‎ ‎（II）过A作AD的垂线交BC于点M，因为平面，所以，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），‎ D（0，2，0），P（0，0，2），因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）.‎ 所以，, .‎ 所以，‎ 设平面AEF的法向量为，则 ‎，即.‎ 令z=1,则y=-1,x=-1.于是.‎ 又因为平面PAD的法向量为，所以.‎ 因为二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为 ‎（III）直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且 所以，.‎ 由（II）知，平面AEF的法向量为，‎ 所以，所以直线AG在平面AEF内.‎ 所以点G在平面AEF内.‎ ‎2. 如图，，平面，平面，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）当时，求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅳ）在棱上是否存在点满足平面；‎ ‎（Ⅴ）设，是否存在满足平面平面？若存在求出值，若不存在说明理由.‎ ‎ [解答]‎ ‎（Ⅰ）因为平面，平面平面=，且平面，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）法1：因为平面，所以，‎ 因为平面平面，且平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）法2：因为平面，所以，，‎ 因为平面平面， ‎ 所以为二面角的平面角，‎ 又因为平面平面，‎ 所以，即.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）证明可知，，,‎ 所以如图建立空间直角坐标系，因为，‎ 所以，‎ 所以设平面的法向量为，则 由 可得.‎ 设平面的法向量为，则 由 可得.‎ 所以，‎ 所以，依据题意可得二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅳ）法1：取中点，连接，过点作交于点，‎ 所以为中点.‎ 因为，所以，所以.‎ 又，所以平面平面，‎ 所以平面.‎ 法2：设，则，‎ 由（Ⅱ）证明可知平面的一个法向量为，‎ 由可得，‎ 所以当为中点时，与平面成角为，‎ 所以当为中点时，平面.‎ ‎（Ⅴ）设，则，则 ‎，‎ 设平面的法向量为， ‎ 由可得一个法向量，‎ 设平面的法向量，‎ 由可得一个法向量，‎ 由可得.‎ 所以当时，平面平面.‎ ‎【函数与导数】‎ ‎1. 设函数，则满足的的取值范围是 ‎ A．，2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）‎ 答案：D ‎2. 给出下列四个函数：①；②；③；④.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是 ‎ A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①‎ 答案：A ‎3．已知函数若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.‎ 答案 ‎ ‎4. 设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围．‎ ‎[解答]‎ ‎（Ⅰ）证明：，由题意及导数的几何意义得 ‎， 　（1）‎ ‎， （2） ‎ 又，可得，即，故 ‎ 由（1）得，代入，再由，得 ‎， （3） ‎ 将代入（2）得，即方程有实根．‎ 故其判别式得 ，或， （4） ‎ 由（3），（4）得； ‎ ‎（Ⅱ）由的判别式，‎ 知方程有两个不等实根，设为，‎ 又由知，为方程（）的一个实根，则由根与系数的关系得 ‎， ‎ 当或时，，当时，，‎ 故函数的递增区间为，由题设知，‎ 因此，由（Ⅰ）知得 的取值范围为. ‎ ‎5.已知函数：‎ ‎（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且有，求证：. ‎ ‎[解答]‎ ‎（Ⅰ）定义域为 R， ‎ 因为，令，得 当变化时，，变化如下表：‎ ‎0‎ ‎ 单调递减 ‎ 极小值 单调递增 所以是函数极小值点，也是最小值点，‎ 所以，解得；‎ ‎（Ⅱ）由题可知，并且有，‎ ‎ ，‎ 记,，‎ ‎ ，‎ 当时，，即，‎ 所以在区间上单调递增，.‎ 所以有，结论成立.‎ ‎【解析几何】‎ ‎1. 直线的倾斜角的取值范围是 .‎ 答案: ‎ ‎2. 已知直线与直线平行，则的值为（ ）‎ ‎ A.0或3或 B.0或3 C.3或 D.0或 答案：D ‎3. 已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ） ‎ ‎ A．24 B．20 C．0 D．－4 ‎ 答案：B ‎4.已知点,. 若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 ‎ ‎ 答案；4‎ ‎5. 已知直线：与直线：的交点为，椭圆的焦点为, ，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 答案 ：D ‎6. 直线与圆C:相交于两点、，若，则圆C的半径________.‎ 答案 ：1‎ ‎7.已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围是________.‎ 答案：‎ ‎8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是 A．卵圆关于轴对称 B．卵圆上不存在两点关于直线对 C．线段长度的取值范围是 D．的面积最大值为 答案 ：B ‎[解答]‎ 卵圆与轴交点为、，与轴交点为、（恰好关于对称）（选项B错误，也可通过方程求解，设点（），则.若存在卵圆上点与关于对称，则在卵圆上，满足方程，,（），可借助导数求最值.‎ ‎（），可求最大值.‎ ‎9. 已知椭圆C的标准方程为，梯形ABCD的顶点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）已知梯形ABCD的两腰AC=BD，且两个底边AB和DC与坐标轴平行或在坐标轴上.若梯形一底边AB=2，高为，求梯形ABCD的面积；‎ ‎(Ⅱ)若梯形ABCD的两底AB和DC与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形并说明理由.‎ ‎[解答]‎ ‎（Ⅰ）若两底AB和DC与y轴平行，由椭圆方程得A，B为该椭圆的上下顶点，不妨设DC在y轴右侧，设，，代入椭圆方程解得，，所以梯形另外一底，因此面积；‎ 若两底AB和DC与x轴平行，因为AB=2，不妨设AB在x轴上方，且，由高为可得，，但此时四边形ABCD为矩形，故舍去.‎ ‎(Ⅱ)该梯形不可能为等腰梯形，理由如下：‎ 由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零，设直线AB方程为直线CD方程为其中 联立方程，整理得，‎ ‎ 整理得①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 故AB中点M坐标为；‎ 同理可得CD中点N坐标为；‎ 若梯形ABCD为等腰梯形，则有AB⊥MN，即，‎ 但，所以梯形ABCD不可能为等腰梯形.‎ ‎10.已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求的大小．‎ ‎[解答]‎ ‎ (Ⅰ)依题意，得．又，‎ 在中，，所以．‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎(Ⅱ)设，，则，．‎ 因为点在椭圆上，所以．即．‎ 又，所以直线的方程为．‎ 令，得．‎ 又，为线段的中点，所以．‎ 所以，．‎ 因为 ‎ ‎ ‎，‎ 所以．． ‎ ‎11. 已知椭圆的焦点在轴，且右焦点到左顶点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）与轴不垂直且不重合的直线与椭圆相交于不同的两点，直线与轴的交点为，点关于轴的对称点为.‎ ‎(i) 求面积的最大值；‎ ‎（ii）当面积取得最大值时，求证：.‎ ‎[解答]‎ ‎（Ⅰ）因为, 所以.‎ 又, 所以.‎ 所以椭圆方程为焦点坐标分别为.‎ ‎（Ⅱ）(i) 方法一：‎ 设,‎ 所以.‎ 联立 得.‎ ‎，‎ 即.‎ ‎，‎ 点到直线的距离为.‎ 所以 ‎ ‎ ‎.‎ 当且仅当即时等号成立.‎ ‎(ii) 因为 ‎.‎ 而 所以，所以.‎ 法二：‎ ‎（i）设直线,‎ 所以.‎ 联立方程 化简得.‎ 所以 .‎ 所以.‎ 点到的距离为：.‎ ‎.‎ 当且仅当，即等号成立.‎ ‎（ii）‎ ‎.‎ 因为,‎ 所以.‎