2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练23 解三角形

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练23 解三角形

课时规范练23　解三角形 基础巩固组 ‎1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=‎3‎,b=2,A=60°,则c=(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎2‎ ‎ B.1 ‎ C.‎3‎ ‎ D.2‎ ‎2.在△ABC中,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状是(　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ‎3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=‎7‎,AB=2,则S△ABC=(　　)‎ A.3 ‎ B.2‎3‎ ‎ C.3‎3‎ ‎ D.6‎ ‎4.在△ABC中,B=π‎4‎,BC边上的高等于‎1‎‎3‎BC,则cos A=(　　)‎ A.‎3‎‎10‎‎10‎ B.‎10‎‎10‎ ‎ C.-‎10‎‎10‎ D.-‎‎3‎‎10‎‎10‎ ‎5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(　　)‎ A.7.5 ‎ B.7 ‎ C.6 ‎ D.5〚导学号21500534〛‎ ‎6.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足‎(sinA-sinC)(a+c)‎b=sin A-sin B,则C=　　　　　. ‎ ‎7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=‎3‎‎2‎c,则ab的最小值为　　　　　. ‎ ‎8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=.‎ ‎9.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+‎3‎cos A=0,a=2‎7‎,b=2.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.‎ ‎〚导学号21500535〛‎ ‎10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?‎ 参考数据:sin38°=‎5‎‎3‎‎14‎,sin22°=‎‎3‎‎3‎‎14‎ 综合提升组 ‎11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=‎2‎,则C=(　　)‎ A.π‎12‎ B.π‎6‎ C.π‎4‎ D.‎π‎3‎ ‎12.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=(　　)‎ A.9 B.8 C.7 D.6‎ ‎13.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　　 m. ‎ ‎14.(2017河南郑州一中质检一,理17)已知△ABC外接圆直径为‎4‎‎3‎‎3‎,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°.‎ ‎(1)求a+b+csinA+sinB+sinC的值;‎ ‎(2)若a+b=ab,求△ABC的面积.‎ 创新应用组 ‎15.(2018福建泉州期末,理10)已知点P‎1‎‎2‎‎,2‎是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ>0)图像上的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.若cos∠BPC=‎7‎‎25‎,则f(x)的图像的对称中心可以是(　　)‎ A.(0,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0)‎ ‎16.(2017宁夏银川九中二模,理17)已知函数f(x)=‎3‎sin ωx-2sin2ωx‎2‎+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0.‎ ‎(1)求函数f(x)的表达式;‎ ‎(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.‎ ‎〚导学号21500536〛‎ 参考答案 课时规范练23　解三角形 ‎1.B　由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×‎1‎‎2‎,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.‎ ‎2.D　∵acos A=bcos B,‎ ‎∴sin Acos A=sin Bcos B,‎ ‎∴sin 2A=sin 2B,‎ ‎∴A=B,或2A+2B=180°,‎ 即A+B=90°,‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.‎ ‎3.C　∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或BD=-1(舍去),可得BC=6,‎ ‎∴S△ABC=‎1‎‎2‎AB·BC·sin B=‎1‎‎2‎×2×6×‎3‎‎2‎=3‎3‎.‎ ‎4.C　(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.‎ 结合题意知BD=AD,DC=2AD,‎ 所以AC=AD‎2‎+DC‎2‎‎=‎‎5‎AD,AB=‎2‎AD.由余弦定理,得cos A=‎AB‎2‎+AC‎2‎-BC‎2‎‎2AB·AC ‎=‎2AD‎2‎+5AD‎2‎-9AD‎2‎‎2×‎2‎AD×‎5‎AD=-‎10‎‎10‎,‎ 故选C.‎ ‎(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,‎ 由题意知∠BAD=π‎4‎.‎ 设∠DAC=α,则∠BAC=α+π‎4‎.‎ ‎∵BC=3AD,BD=AD.‎ ‎∴DC=2AD,AC=‎5‎AD.‎ ‎∴sin α=‎2‎‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,cos α=‎1‎‎5‎‎=‎‎5‎‎5‎.∴cos∠BAC=cosα+‎π‎4‎=cos αcosπ‎4‎-sin αsinπ‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎(cos α-sin α)=‎2‎‎2‎‎×‎‎5‎‎5‎‎-‎‎2‎‎5‎‎5‎=-‎10‎‎10‎,故选C.‎ ‎5.D　∵bcos A+acos B=c2,a=b=2,‎ ‎∴由余弦定理可得b·b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc+a·a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=c2,整理可得2c2=2c3,‎ 解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.‎ ‎6.π‎3‎　在△ABC中,∵‎‎(sinA-sinC)(a+c)‎b ‎=sin A-sin B,‎ ‎∴‎(a-c)(a+c)‎b=a-b,‎ ‎∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab‎=‎‎1‎‎2‎,∴C=π‎3‎.‎ ‎7.12　在△ABC中,由条件并结合正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,‎ 即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,∴2sin Bcos C+sin B=0,∴cos C=-‎1‎‎2‎,C=‎2π‎3‎.‎ 由于△ABC的面积为S=‎1‎‎2‎ab·sin C=‎3‎‎4‎ab=‎3‎‎2‎c,∴c=‎1‎‎2‎ab.‎ 再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,‎ 整理可得‎1‎‎4‎a2b2=a2+b2+ab≥3ab,‎ 当且仅当a=b时,取等号,‎ ‎∴ab≥12,故答案为12.‎ ‎8.‎231‎‎5‎　在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.‎ 由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,‎ 即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),‎ 解得cos α=‎5‎‎16‎,则sin α=‎231‎‎16‎,‎ 所以tan α=sinαcosα‎=‎‎231‎‎5‎.‎ ‎9.解 (1)由已知可得tan A=-‎3‎,‎ 所以A=‎2π‎3‎.‎ 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos‎2π‎3‎,即c2+2c-24=0.‎ 解得c=-6(舍去),c=4.‎ ‎(2)由题设可得∠CAD=π‎2‎,‎ 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π‎6‎.故△ABD面积与△ACD面积的比值为‎1‎‎2‎AB·AD·sinπ‎6‎‎1‎‎2‎AC·AD=1.‎ 又△ABC的面积为‎1‎‎2‎×4×2sin∠BAC=2‎3‎,所以△ABD的面积为‎3‎.‎ ‎10.解 设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.‎ 又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC‎=‎5×‎‎3‎‎2‎‎7‎=‎‎5‎‎3‎‎14‎,‎ 所以∠ABC=38°.‎ 又∠BAD=38°,所以BC∥AD.‎ 故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.‎ ‎11.B　由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,‎ 则sin C(sin A+cos A)=0,‎ 因为sin C>0,‎ 所以sin A+cos A=0,‎ 即tan A=-1,‎ 因为A∈(0,π),所以A=‎3π‎4‎.‎ 由正弦定理asinA‎=‎csinC,得‎2‎sin‎3π‎4‎‎=‎‎2‎sinC,即sin C=‎1‎‎2‎,所以C=π‎6‎,故选B.‎ ‎12.D　设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由DCsinθ‎=‎ACsin2θ,‎ 所以AC=8cos θ,‎ 在△ABC中,由ACsinθ‎=‎‎9‎sin2θ,可得‎8cosθsinθ‎=‎‎9‎sin2θ,‎ 所以16cos2θ=9,可得cos θ=‎3‎‎4‎,‎ 所以AC=8×‎3‎‎4‎=6.故选D.‎ ‎13.150　在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100‎2‎ m.‎ 在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得ACsin45°‎‎=‎AMsin60°‎,因此AM=100‎3‎ m.‎ 在Rt△MNA中,AM=100‎3‎ m,∠MAN=60°,由MNAM=sin 60°,‎ 得MN=100‎3‎‎×‎‎3‎‎2‎=150(m).‎ ‎14.解 (1)由正弦定理可得asinA‎=bsinB=‎csinC=2R=‎4‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R=‎4‎‎3‎‎3‎.‎ ‎(2)由正弦定理可得csin60°‎‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴c=2.‎ 由余弦定理可得22=a2+b2-2abcos 60°,化为a2+b2-ab=4.‎ 又a+b=ab,‎ ‎∴(a+b)2-3ab=a2b2-3ab=4,解得ab=4.‎ ‎∴△ABC的面积S=‎1‎‎2‎absin C=‎1‎‎2‎×4×sin 60°=‎3‎.‎ ‎15.C ‎16.解 (1)f(x)=‎3‎sin ωx-2sin2ωx‎2‎+m ‎=‎3‎sin ωx-1+cos ωx+m ‎=2sinωx+‎π‎6‎-1+m.‎ 依题意‎2πω=3π,ω=‎2‎‎3‎,‎ 所以f(x)=2sin‎2x‎3‎‎+‎π‎6‎-1+m.‎ 当x∈[0,π]时,π‎6‎‎≤‎2x‎3‎+π‎6‎≤‎5π‎6‎,‎‎1‎‎2‎≤sin‎2x‎3‎‎+‎π‎6‎≤1,‎ 所以f(x)的最小值为m.‎ 依题意,m=0.‎ 所以f(x)=2sin‎2x‎3‎‎+‎π‎6‎-1.‎ ‎(2)因为f(C)=2sin‎2C‎3‎‎+‎π‎6‎-1=1,‎ 所以sin‎2C‎3‎‎+‎π‎6‎=1.‎ 而π‎6‎‎<‎2C‎3‎+π‎6‎<‎‎5π‎6‎,‎ 所以‎2C‎3‎‎+π‎6‎=‎π‎2‎.‎ 解得C=π‎2‎.‎ 在Rt△ABC中,因为A+B=π‎2‎,2sin2B=cos B+cos(A-C),‎ 所以2cos2A-sin A-sin A=0,‎ 解得sin A=‎-1±‎‎5‎‎2‎.‎ 因为0

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