2017-2018学年湖北省高二下学期期末阶段摸底调研联合考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省高二下学期期末阶段摸底调研联合考试数学（理）试题（解析版）

湖北省2017-2018学年高二下学期期末阶段摸底调研联合考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数的模为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知向量,若与垂直,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 己知函数,若,则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为,则该几何体的体积为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移 个单位长度,则所得图象对应的函数的解析式为( )‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎7. 已知双曲线的一个焦点坐标为,且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为( )‎ A． B． ‎ C. D．或 ‎8. 执行如下图所示的程序框图,若输入的,则输出的的值分别为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 函数的大致图象为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知数列满足,则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在三菱锥中，，，，则三菱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数,则下面对函数的描述正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13. 若的展开式中含的项的系数为,则 ．‎ ‎14. 设满足约束条件,则的最大值是 ．‎ ‎15. 设等差数列的前项和分别为,若,则 ．‎ ‎16. 设过抛物线上任意一点 (异于原点的直线与抛物线交于 两点,直线与抛物线的另个交点为，则 ．‎ 三、解答题:共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个 试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎ ‎17. 在锐角中,角所对的边分别为.已知.‎ ‎ (1)证明: ；‎ ‎ (2)若的面积,且的周长为,为的中点,求线段的长.‎ ‎18. 如图,在四面体中, 在平面的射影为棱的中点, 为棱的中点,过直线作一个平面与平面平行,且与交于点,已知, .‎ ‎ (1)证明: 为线段的中点 ‎ (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎19. 某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度 (单位: )服从正态分布,公司规定:轮胎宽度不在内将被退回生产部重新生产.‎ ‎ (1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到)；‎ ‎ (2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取件作检验,这件产 品中至少有件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格.‎ ‎ (¡)求这批轮胎初步质检合格的概率;‎ ‎ (¡¡)若质检部连续质检了批轮胎,记为这批轮胎中初步质检合格的批数,求的数学期望.‎ ‎ 附:若,则.‎ ‎20. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点 ‎ (1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率；‎ ‎ (2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段 ‎ 的长分别为,证明是定值.‎ ‎21. 已知为函数的导函数, .‎ ‎ (1)求的单调区间；‎ ‎ (2)当时, 恒成立,求的取值范围 .‎ ‎(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线的参数方程为,（为参数），圆的标准方程为 ‎ .以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎ (1)求直线和圆的极坐标方程；‎ ‎ (2)若射线与的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎ (1)当时,求不等式的解集；‎ ‎ (2)当时, 的图象与轴围成的三角形面积大于,求的取值范围.‎ 高二数学参考答案(理科)‎ ‎1.A ，.‎ ‎2.B ，则或，由韦恩图可知图中阴影部分为.‎ ‎3.C 由,得, .因为与垂直,所以,解得.‎ ‎4.D 因为，即，所以.‎ ‎5.A 该几何体为一棱长为的正方体掏掉一个棱长为的小正方体,再放置进去一个半径为的球,所体积为.‎ ‎6.D 函数的图象经伸长变换得到的图象,再作平移变换得到的图象.‎ ‎7.A 由题可知双曲线的渐近线方程为,即，又焦点坐标为,所以,解得，故双曲线的方程为.‎ ‎8.C ；；；.‎ ‎9.A ，为奇函数,排除.‎ 又，故排除,从而选.‎ ‎10.B 因为，所以，，，所以，‎ 所以，则.‎ ‎11. C 对棱长相等的三棱锥可以补形为长方体,设长方体的长、宽、高分别为，则有: ，，则外接球的半径，所以表面积为.‎ ‎12. B 因为函数，所以，导函数在上单调递增.又，，所以在上有唯一的实根,设为，且，则为的最小值点,且，即，故.因为，所以.‎ ‎13. 由通项公式得解得.‎ ‎14. 不等式组表示以，为顶点的三角形区域,当直线经过点时，‎ 取得最大值.‎ ‎15. .‎ ‎16. 记表表示点则线段的距离，则，设，则，即.于是，故.从而.‎ ‎17.（1）证明：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，即.‎ ‎（2）解：.‎ 又.‎ ‎，.‎ ‎18. (1)证明: 平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面平面，‎ ‎，‎ 为的中点, 为的中点.‎ ‎(2)解: 为的中点, ，‎ 以为坐标原点,建立空间直角坐标系，如图所示,则，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 易求得，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，‎ 令，得.‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 令，得 ‎，‎ 又平面平面，‎ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎19. 解:(1) ，.‎ ‎，‎ 即此轮胎不被退回的概率为 ‎ (2)(i)这批轮胎初步质检合格的概率为. ‎ ‎(i i)由题可得服从二项分布，‎ ‎.‎ ‎20. 解:因为抛物线的焦点为,所以,故.‎ 所以椭圆.‎ ‎(1)设,则 两式相减得，‎ 又的中点为,所以.‎ 所以.‎ 显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.‎ ‎(2)椭圆右焦点.‎ 当直线的斜率不存在或者为时, .‎ 当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，‎ 设,联立方程得 消去并化简得，‎ 因为，‎ 所以，.‎ 所以 同理可得.‎ 所以为定值.‎ ‎21. 解:(1)由,得.‎ 因为,所以,解得.‎ 所以,，‎ 当时, ,则函数在上单调递减;‎ 当时, ,则函数在上单调递增.‎ ‎(2)令，根据题意,当时, 恒成立.‎ ‎.‎ ‎①当,时, 恒成立，‎ 所以在上是增函数,且，所以不符合题意;‎ ‎②当,时, 恒成立,‎ 所以在上是增函数,且所以不符合题意;‎ ‎③当时,因为,所有恒有,故在上是减函数,于是“对 任意都成立”的充要条件是，‎ 即，解得,故.‎ 综上, 的取值范围是.‎ ‎22. 解:(1)在直线的参数方程中消去可得, ，‎ 将代人以上方程中，‎ 所以,直线的极坐标方程为.‎ 同理,圆的极坐标方程为.‎ ‎ (2)在极坐标系中,由已知可设，.‎ 联立可得，‎ 所以.‎ 因为点恰好为的中点,所以,即.‎ 把代入，得，‎ 所以.‎ ‎23. 解:(1)当时, .‎ 不等式等价于 或 或 解得或，即.‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎ (2)由题设可得, ‎ 所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，‎ ‎.‎ 所以三角形的面积为.‎ 由题设知, 解得.‎