2018届高三数学一轮复习: 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

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2018届高三数学一轮复习: 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

第四节 数系的扩充与复数的引入 ‎ [考纲传真] 1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、减的几何意义.‎ ‎1.复数的有关概念 ‎(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.‎ ‎(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).‎ ‎(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).‎ ‎(4)复数的模:向量的模r叫做复数z=a+bi的模,即|z|=|a+bi|=.‎ ‎2.复数的几何意义 ‎3.复数代数形式的四则运算 ‎(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.‎ z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.‎ z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.‎ ==+i(c+di≠0).‎ ‎(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.‎ 如图441所示给出的平行四边形OZ1ZZ2‎ 可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,=-.‎ 图441‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(  )‎ ‎(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.(  )‎ ‎(3)实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数.(  )‎ ‎(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)×  (4)√‎ ‎2.(教材改编)如图442,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是(  )‎ 图442‎ A.A      B.B C.C D.D B [共轭复数对应的点关于实轴对称.]‎ ‎3.(2016·四川高考)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=(  )‎ A.0   B.2 ‎ C.2i   D.2+2i C [(1+i)2=1+2i+i2=2i.]‎ ‎4.(2016·北京高考)复数=(  )‎ A.i B.1+i C.-i D.1-i A [法一:===i.‎ 法二:===i.]‎ ‎5.复数i(1+i)的实部为________.‎ ‎-1 [i(1+i)=-1+i,所以实部为-1.]‎ 复数的有关概念 ‎ (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z=1+2i,则=(  )‎ A.1    B.-‎1 ‎ ‎ C.i    D.-i ‎(2)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________. ‎ ‎【导学号:01772156】‎ ‎(1)C  (2)-2  [(1)因为z=1+2i,则=1-2i,所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.故选C.‎ ‎(2)由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-‎2a)i是纯虚数可得a+2=0,1-‎2a≠0,解得a=-2.]‎ ‎[规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.‎ ‎2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z,然后利用复数模的定义求解.‎ ‎[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位,复数z=的虚部为(  )‎ A.- B.- C. D. ‎(2)设z=+i,则|z|=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎(1)D (2)B [(1)复数z====+i,则其虚部为,故选D.‎ ‎(2)z=+i=+i=+i,|z|==.]‎ 复数代数形式的四则运算 ‎ (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=(  )‎ A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i ‎(2)(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.‎ ‎(1)C (2)2 [(1)∵(z-1)i=i+1,∴z-1==1-i,∴z=2-i,故选C.‎ ‎(2)∵(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,∴1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,∴=2.]‎ ‎[规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.‎ ‎2.记住以下结论,可提高运算速度 ‎(1)(1±i)2=±2i;(2)=i;(3)=-i;(4)-b+ai=i(a+bi);(5)i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i(n∈N).‎ ‎[变式训练2] (1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=(  )‎ A.1+i      B.1-i C.-1+i D.-1-i ‎(2)已知i是虚数单位,8+2 018=________.‎ ‎(1)D (2)1+i [(1)由=1+i,得z====-1-i,故选D.‎ ‎(2)原式=8+1 009‎ ‎=i8+1 009=i8+i1 009‎ ‎=1+i4×252+1=1+i.]‎ 复数的几何意义 ‎ (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-3,1)      B.(-1,3)‎ C.(1,+∞) D.(-∞,-3)‎ ‎(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(  ) ‎ ‎【导学号:01772157】‎ A.-5 B.5‎ C.-4+i D.-4-i ‎(1)A (2)A [(1)由题意知即-3<m<1.故实数m的取值范围为(-3,1).‎ ‎(2)∵z1=2+i在复平面内的对应点的坐标为(2,1),又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则z2的对应点的坐标为(-2,1)即z2=-2+i,‎ ‎∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.]‎ ‎[规律方法] 1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.‎ ‎2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.‎ ‎[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数对应的点在 (  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B [由题意得z×2i-(1+i)(-i)=0,所以z==--i,则=-+i在复平面内对应的点为,位于第二象限,故选B.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.复数分类的关键是抓住z=a+bi(a,b∈R)的虚部:当b=0时,z为实数;当b≠0时,z为虚数;当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.‎ ‎2.复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.‎ ‎3.化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法,其中,复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提,复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.‎ ‎2.两个虚数不能比较大小.‎ ‎3.利用复数相等a+bi=c+di列方程时,应注意a,b,c,d∈R的前提条件.‎ ‎4.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2∈C,z+z=0,就不能推出z1=z2=0;z2<0在复数范围内有可能成立.‎
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