2018届高三数学一轮复习： 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

2018届高三数学一轮复习： 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

第四节　数系的扩充与复数的引入 ‎ [考纲传真]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2．复数的几何意义 ‎3．复数代数形式的四则运算 ‎(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.‎ z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.‎ z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.‎ ＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图441所示给出的平行四边形OZ1ZZ2‎ 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.‎ 图441‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)‎ ‎(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)‎ ‎(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．(　　)‎ ‎(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√‎ ‎2.(教材改编)如图442，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)‎ 图442‎ A．A　　　　　 B.B C．C D.D B　[共轭复数对应的点关于实轴对称．]‎ ‎3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)‎ A．0　　 B.2　‎ C.2i　　 D.2＋2i C　[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]‎ ‎4．(2016·北京高考)复数＝(　　)‎ A．i B.1＋i C．－i D.1－i A　[法一：＝＝＝i.‎ 法二：＝＝＝i.]‎ ‎5．复数i(1＋i)的实部为________．‎ ‎－1　[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.]‎ 复数的有关概念 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1　　　 B.－‎1　‎　‎ C.i　　　 D.－i ‎(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________. ‎ ‎【导学号：01772156】‎ ‎(1)C 　(2)－2 　[(1)因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.‎ ‎(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－‎2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－‎2a≠0，解得a＝－2.]‎ ‎[规律方法]　1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．‎ ‎2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为(　　)‎ A．－ B.－ C. D. ‎(2)设z＝＋i，则|z|＝(　　)‎ A. B. C. D.2‎ ‎(1)D　(2)B　[(1)复数z＝＝＝＝＋i，则其虚部为，故选D.‎ ‎(2)z＝＋i＝＋i＝＋i，|z|＝＝.]‎ 复数代数形式的四则运算 ‎　(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)‎ A．－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i ‎(2)(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．‎ ‎(1)C　(2)2　[(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，∴z＝2－i，故选C.‎ ‎(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.]‎ ‎[规律方法]　1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．‎ ‎2．记住以下结论，可提高运算速度 ‎(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．‎ ‎[变式训练2]　(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i　　　　　 B.1－i C．－1＋i D.－1－i ‎(2)已知i是虚数单位，8＋2 018＝________.‎ ‎(1)D　(2)1＋i　[(1)由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.‎ ‎(2)原式＝8＋1 009‎ ‎＝i8＋1 009＝i8＋i1 009‎ ‎＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]‎ 复数的几何意义 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－3,1)　　　　　 B.(－1,3)‎ C．(1，＋∞) D.(－∞，－3)‎ ‎(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　) ‎ ‎【导学号：01772157】‎ A．－5 B.5‎ C．－4＋i D.－4－i ‎(1)A　(2)A　[(1)由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．‎ ‎(2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)即z2＝－2＋i，‎ ‎∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.]‎ ‎[规律方法]　1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎[变式训练3]　(2017·郑州二次质检)定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数对应的点在 (　　)‎ A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限 B　[由题意得z×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以z＝＝－－i，则＝－＋i在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选B.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．复数分类的关键是抓住z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数．‎ ‎2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．‎ ‎3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ ‎2．两个虚数不能比较大小．‎ ‎3．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，应注意a，b，c，d∈R的前提条件．‎ ‎4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．‎