天津市六校联考2020届高三下学期期初检测数学试题

天津市六校联考2020届高三下学期期初检测数学试题

‎ 2020届高三年级第二学期期初检测六校联考 数学学科试卷 第I卷（选择题，共45分）‎ 一、 选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ 试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列命题正确的个数为（ ）‎ ‎①“函数的最小正周期为”为真命题；‎ ‎②对于命题：，，则命题的否定：，‎ ‎③若 ，“ ”是“”的充分不必要条件 ‎④随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.8则P(2ξ<4)＝0.3.‎ ‎ A.0 B. 1 C. 2 D.3‎ 4. 函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的最小值为（ ）‎ A.0 B. C.-1 D.‎ ‎5.已知双曲线的右焦点为，抛物线与双曲线共焦点，点在双曲线的渐近线上，是等边三角形（为原点），则双曲线的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知数列满足，且，则=（ ）‎ A.-1 B. C. D.2‎ ‎7.已知函数，，‎ 则的大小关系（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知,,,且,则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知定义在上的奇函数，若关于的方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 (非选择题，共105分)‎ 二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)‎ ‎10.已知i是虚数单位，均为实数，若复数，则=___ ．‎ ‎11.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ．‎ ‎12.正方体外接球的表面积为，则该正方体的表面积为 .‎ ‎13.已知圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上.则圆的方程为 .‎ ‎14.微信群里发四个红包（每个红包限1人抢），五人来抢，每人限抢一个，面值分别是3元3元6元8元（相同面值算一种），则五人得到红包面值不同结果的种数有 .（填数字）‎ ‎15.已知求的最大值为 .‎ 三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎16.（本题14分）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团。‎ ‎（Ⅰ）求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率。‎ ‎（Ⅱ）求同学甲选报足球社的概率。‎ ‎（Ⅲ）若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为X，求随机变量X的分布列及期望 ‎17.（本题15分）已知平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形CDEF为直角梯形，∠CDE=90°，EF∥CD，EF=1，DE=2，G为线段CF上一点，且，H为线段DE上靠近E的三等分点。‎ ‎（Ⅰ）当时，求证∥平面。‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面BDG与平面BCF所成的锐二面角的余弦值。‎ ‎（Ⅲ）当为何值时，直线BE与平面BDG所成角的正弦值为。‎ ‎18.（本题15分）已知椭圆的离心率是，一个顶点是,椭圆的右顶点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）为椭圆上一动点，求面积的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线恒过定点.‎ ‎19.（本题15分）数列的前项和满足:，，‎ 为正项数列；数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，数列的前项和，求.‎ ‎20.（本题16分）设函数，其中是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）设曲线在点处的切线方程为，‎ 求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在内的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，已知正数满足：存在，使得成立，试比较的大小，并证明你的结论.‎ ‎2020届高三年级第二学期期初检测六校联考 数学学科评分标准 一、 选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分）‎ BADBA DCCB 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).‎ ‎10.-2 11．7 12. 32‎ ‎13. 14.60 15.‎ 三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设“恰有两个同学选报的社团完全相同”为事件A，‎ ‎ ………………4分 另解：四个社团中选两个一共有6个组合，每位同学从一个组合中选一个 ‎ （以上列式正确给2分）‎ ‎（Ⅱ）设“甲同学选报足球社”为事件B ‎ ………………7分 ‎ （Ⅲ）X的所有可能值为0,1,2,3， ………………8分 甲同学报名足球社的概率为，由（2）可知，乙、丙报名足球社的概率都为，故 ‎ ………………9分 ‎ ………………10分 ‎ ………………11分 ‎ ………………12分 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎……………………………13分 ‎ ……………………………14分 ‎17.【答案】解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面CDEF，且交线为CD ‎ DE⊥CD∴DE⊥平面ABCD ………… 1分 故以方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标系，由题意得 ‎,,‎ 则,‎ 设平面DBG的法向量为 则，令， ………………………………… 3分 ‎ ‎ …… …… …… …… 4分 ‎ 又∵平面BDG， …… …… …… …… 5分 ‎ 故AH∥平面BDG .…… …… …… …… 6分 ‎ ‎（Ⅱ）在平面BCF中，‎ 设平面BCF的法向量 ‎，则令 .…… …… …… ……8分 ‎ ‎∴ .…… …… …… …… 9分 ‎ 故两个平面所成的锐二面角的余弦值为. .…… …… …… … 10分 ‎ ‎（设二面角则可以不作答，否则扣1分）‎ ‎（Ⅲ）∵‎ ‎ ∴，故 … …… …… … 11分 ‎ ‎ ∴‎ ‎ ，故设法向量… 13分 ‎ ‎ 由题意可知 …………… 14分 ‎ ‎ ，解得（舍） ………15分 ‎ ‎18.【答案】（Ⅰ）因为，，所以 ………2分 ‎ 椭圆的标准方程为 ………………………3分 ‎ ‎（Ⅱ）因为,，‎ 设切线， ………………………4分 ‎ 所以， ‎ ‎， ………………………5分 ‎ ‎， ………………………6分 ‎ 由题知，所以 ………………………7分 ‎ 所以. …………………8分 ‎ ‎（法2）设 ……………4分 ‎ 则…7分 ‎ 所以. ……………8分 ‎ ‎（Ⅲ）由题知存在，设 设直线为，将直线代入椭圆整理得,‎ 则，① ……………9分 ‎ ‎, ……………10分 ‎ ‎（没写判别式但最后检验了不扣分）‎ 因为，所以， ……………11分 ‎ 整理得，‎ 因为，‎ 整理得，②……………13分 ‎ ‎①代入②整理得，‎ 解得（舍去） …………………14分 ‎ 所以，直线恒过定点. …………………15分 ‎ 19. ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ）由，‎ 得， …………………1分 ‎ 由于是正项数列，所以，， ……………2分 ‎ 于是 …………………3分 ‎ 时，， …………………4分 ‎ 综上，数列的通项公式. …………………5分 ‎ 数列是等比数列，，，所以……………6分 ‎ ‎（Ⅱ）因为，令前项和为，前项和为，所以 ‎ ‎① …7分 ‎ ‎② …8分 ‎ ‎①－②得 ………9分 ‎ 所以 …………………11分 ‎ 因为， …………………12分 ‎ 所以 ‎ ……………………………………13分 ‎ 得， ……………………14分 ‎ 所以 ……15分 ‎ ‎20.【答案】‎ ‎（Ⅰ）依题意 ……………………………………1分 ‎ ‎， …………………………………2分 ‎ 解得或（舍去）所以， …………3分 ‎ 代入原函数可得即.‎ 故. …………………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）‎ 当，即时，在上递增； ……5分 ‎ 当，即时，在上递减； ……6分 ‎ （1） 当时，在上递减，在上递增，从而在上的最小值为 ……8分 （2） 当时，在上递增，从而在上的最小值为. ……………10分 ‎ ‎（Ⅲ）令函数 则 当，又故所以是上的单调增函数，因此在上的最小值是 由于存在，使得故 ………………………12分 ‎ 令函数则.令，得 当时，，故是上的单调减函数；‎ 当时，，故是上的单调增函数；‎ ‎，所以当时，；‎ 当.所以对任意的成立. ………………………14分 ‎ ‎①当时，，即，从而；‎ ‎②当时，‎ ‎③当时，，即，故 综上所述，当时，；当时，；‎ 当时，. ………………………16分 ‎