数学卷·2018届甘肃省天水一中高二上学期第二次段考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届甘肃省天水一中高二上学期第二次段考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年甘肃省天水一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题4分，共40分）‎ ‎1．若实数x、y满足约束条件，且目标函数z=x+y的最大值等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．1‎ ‎2．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（　　）‎ A．2 B．2（﹣） C．2 D．2（+）‎ ‎3．“x2﹣2x＜0”是“|x﹣2|＜2”的（　　）‎ A．充分条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2‎ ‎6．双曲线的渐近线方程是2x±y=0，则其离心率为（　　）‎ A． B． C． D．5‎ ‎7．双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎8．设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．6 B． C．8 D．9‎ ‎9．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎10．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎11．已知命题p：|x+2|＞1，命题q：x＜a，且﹁q是﹁p的必要不充分条件，则a的取值范围是　　．‎ ‎12．已知椭圆C：x2+2y2=4，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则直线AB的方程为　　．‎ ‎13．设P为双曲线﹣y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是　　．‎ ‎14．已知N（2，0），M是y2=8x上的动点，则|MN|的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共44分）‎ ‎15．已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．‎ ‎（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎16．已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．‎ ‎17．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．‎ ‎18．如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M（﹣1，0）且斜率为k的直线l1‎ 交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF交抛物线C于D，E两点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程及k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在k值，使点P是线段DE的中点？若存在，求出k值，若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省天水一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题4分，共40分）‎ ‎1．若实数x、y满足约束条件，且目标函数z=x+y的最大值等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A（4，0）时，z最大值即可．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 然后平移直线0=x+y，‎ 当直线z=x+y过点A（4，0）时，z最大值为4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（　　）‎ A．2 B．2（﹣） C．2 D．2（+）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把椭圆的方程化为标准形式，求出a、b、c的值，可得焦距2c的值．‎ ‎【解答】解：椭圆2x2+3y2=6可化为，‎ ‎∴c==1，‎ ‎∴椭圆2x2+3y2=6的焦距是2c=2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．“x2﹣2x＜0”是“|x﹣2|＜2”的（　　）‎ A．充分条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质求出不等式成立的等价条件．利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由得x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2，‎ 由|x﹣2|＜2，得﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，‎ 则“x2﹣2x＜0”是“|x﹣2|＜2”的充分不必要条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎【考点】椭圆的定义．‎ ‎【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ‎∴故0＜k＜1‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2=2px的焦点坐标（，0），可得=2，得p=4．‎ ‎【解答】解：∵双曲线中a2=3，b2=1‎ ‎∴c==2，得双曲线的右焦点为F（2，0）‎ 因此抛物线y2=2px的焦点（，0）即F（2，0）‎ ‎∴=2，即p=4‎ 故选B ‎　‎ ‎6．双曲线的渐近线方程是2x±y=0，则其离心率为（　　）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的渐近线方程是2x±y=0，得到b=2k，a=k，c=，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的渐近线方程是2x±y=0，‎ ‎∴b=2k，a=k，c=，‎ ‎∴e===．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，‎ 所以所求的距离为=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．6 B． C．8 D．9‎ ‎【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比中项的概念得到a+b=1，则可以看做是1乘以，把1用a+b替换后利用基本不等式可求的最小值．‎ ‎【解答】解：由是3a和3b的等比中项，所以3a•3b=3，即3a+b=3，所以a+b=1．‎ 又a＞0，b＞0，‎ 则=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，‎ ‎∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，‎ 则c=2a，b=，‎ ‎∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，‎ ‎∴d=，‎ 即，‎ 解得c=2，‎ 则焦距为2c=4，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先根据题意得|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，在直角三角形MF1F2中 根据勾股定理可知|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，进而得到关于a和c的方程，把方程转化成关于即e的方程，进而求得e．‎ ‎【解答】解：由题意得：|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c 直角三角形MF1F2中 ‎|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2‎ 即（2a﹣c）2+c2=4c2‎ 整理得2a2﹣2ac﹣c2=0‎ a=（2c+2c根号3）/4=（c+c根号3）/2=c（1+根号3）/2‎ 等式两边同除以a2，得 +﹣2=0‎ 即e2+2e﹣2=0，解得e=﹣1或﹣﹣1（排除）‎ 故e=﹣1‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，共16分）‎ ‎11．已知命题p：|x+2|＞1，命题q：x＜a，且﹁q是﹁p的必要不充分条件，则a的取值范围是　（﹣∞，﹣3]　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由|x+2|＞1得x＞﹣1或x＜﹣3，‎ ‎∵﹁q是﹁p的必要不充分条件，‎ ‎∴p是q的必要不充分条件，‎ 则a≤﹣3，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3]‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆C：x2+2y2=4，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则直线AB的方程为　x+2y﹣3=0　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+2y12=4，x22+2y22=4‎ ‎∴（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0．‎ ‎∵P（1，1）恰为线段AB的中点，‎ ‎∴2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴直线AB的斜率为﹣，‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0．‎ 故答案为：x+2y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎13．设P为双曲线﹣y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是　x2﹣4y2=1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】设M（x，y），则P（2x，2y），代入双曲线方程即可得到点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设M（x，y），则P（2x，2y），代入双曲线方程得x2﹣4y2=1，即为所求．‎ ‎∴点M的轨迹方程x2﹣4y2=1．‎ 答案：x2﹣4y2=1‎ ‎　‎ ‎14．已知N（2，0），M是y2=8x上的动点，则|MN|的最小值是　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设M（x，y），则|MN|==x+2，结合x≥0，可得|MN|的最小值．‎ ‎【解答】解：设M（x，y），则|MN|==x+2，‎ ‎∵x≥0，‎ ‎∴x+2≥2，‎ ‎∴|MN|的最小值是2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题（共44分）‎ ‎15．已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．‎ ‎（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）由于p是q的充分条件，可得[﹣1，5]⊆[1﹣m，1+m），解出即可；‎ ‎（2）由于“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得命题p，q为一真一假．即可即可．‎ ‎【解答】解：（1）由命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，化为﹣1≤x≤5．‎ 命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．‎ ‎∵p是q的充分条件，‎ ‎∴[﹣1，5]⊆[1﹣m，1+m），‎ ‎∴，解得m＞4．‎ ‎ 则实数m的取值范围为（4，+∞）．‎ ‎（2）∵m=5，∴命题q：﹣4≤x＜6．‎ ‎∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，‎ ‎∴命题p，q为一真一假．‎ 当p真q假时，可得，解得x∈∅．‎ 当q真p假时，可得，解得﹣4≤x＜﹣1或5＜x＜6．‎ 因此x的取值范围是[﹣4，﹣1）∪（5，6）．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆C的两焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由，长轴长为6，能得到椭圆方程．‎ ‎（2）设，由椭圆方程为，直线AB的方程为y=x+2得10x2+36x+27=0，由此能得到线段AB的长度．‎ ‎【解答】解：（1）由，长轴长为6‎ 得：所以b=1‎ ‎∴椭圆方程为…‎ ‎（2）设，由（1）可知椭圆方程为①，‎ ‎∵直线AB的方程为y=x+2②…‎ 把②代入①得化简并整理得10x2+36x+27=0‎ ‎∴…‎ 又…‎ ‎　‎ ‎17．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2‎ ‎，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，‎ 解得a=3，c=，‎ 所以b2=a2﹣c2=3，‎ 所以椭圆C的方程为+=1． ‎ ‎（Ⅱ）由 得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，‎ 由于直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 则，，‎ ‎，‎ 所以，A，B中点坐标E（，），‎ 因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即kPE•kAB=﹣1，‎ 所以•k=﹣1‎ 解得k=±1，‎ 经检验，符合题意，‎ 所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．‎ ‎　‎ ‎18．如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M（﹣1，0）且斜率为k的直线l1交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF交抛物线C于D，E两点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程及k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在k值，使点P是线段DE的中点？若存在，求出k值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得﹣=﹣1，由此能求出抛物线方程．设l1的方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），由，得ky2﹣4y+4k=0，由此利用根的判别式能求出k的取值范围．‎ ‎（Ⅱ）不存在k值，使点P是线段DE的中点．由（Ⅰ）得ky2﹣4y+4k=0，直线PF的方程为y=，由，得ky2﹣4（1﹣k2‎ ‎）y﹣4k=0，由此能推导出不存在k值，使点P是线段DE的中点．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得﹣=﹣1，∴p=2．‎ ‎∴抛物线方程为y2=4x．…‎ 设l1的方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），‎ 由，得ky2﹣4y+4k=0．…‎ ‎△=16﹣16k2＞0，解得﹣1＜k＜1，注意到k=0不符合题意，‎ ‎∴k∈（﹣1，0）∪（0，1）．…‎ ‎（Ⅱ）不存在k值，使点P是线段DE的中点．理由如下：…‎ 由（Ⅰ）得ky2﹣4y+4k=0，‎ ‎∴y1+y2=，∴=，P（），‎ 直线PF的方程为y=．…‎ 由，得ky2﹣4（1﹣k2）y﹣4k=0，‎ ‎．…‎ 当点P为线段DE的中点时，有，‎ 即，‎ ‎∵k≠0，∴此方程无实数根．‎ ‎∴不存在k值，使点P是线段DE的中点． …‎ ‎　‎