数学卷·2018届四川省成都经济技术开发区实验中学校高二10月月考理数试题 （解析版）

数学卷·2018届四川省成都经济技术开发区实验中学校高二10月月考理数试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！成都经开区实验高级中学高2015级高二上学期10月月考试题 数 学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l A．平行　　B．相交　　C．垂直　　D．异面 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：若直线l∥α，则此时直线不会和平面内的任何直线相交，所以排除B．‎ 当l⊥α，则此时直线不会和平面内的任何直线平行，所以排除A．‎ 当l⊂α，则此时直线和平面内的任何直线都是共面直线，所以排除D 考点：空间中直线与直线之间的位置关系 ‎ ‎2.棱长都是的三棱锥的表面积为 A． B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：棱长都是1的三棱锥的各个面都为等边三角形，‎ 且等边三角形的边长为1，‎ ‎∴每个面的面积都是×1×1× = ，‎ ‎∴表面积S= ‎ 考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 ‎3.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为时，则输入的值为 A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：该程序框图描述的是分段函数或或 考点：分段函数求值 ‎4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 A．25π B．50π C．125π D．都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：长方体的体对角线等于球的直径 考点：长方体外接球 ‎5.对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得 A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：A：根据空间中的线面位置关系可得：当两条直线a与b异面时，不存在平面使得a⊂α，b⊂α．所以A错误．‎ B：由空间中线面的位置关系可得：一定存在一个平面满足a∥α，b∥α．所以B正确．‎ C：由线面垂直的性质定理可得：当直线a与直线b异面时不存在平面使得a⊥α，b⊥α成立．所以C错误．‎ D：由线面垂直的判断定理与线面平行的判断定理可得：当直线a与直线b异面且不垂直时，不存在一个平面使得a⊥α，b∥α成立．所以D错误 考点：空间中直线与平面之间的位置关系 ‎6.右图是一几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的体积为 A．1cm3 B．3cm3 C．2cm3 D．6cm3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知该几何体为三棱柱，底面三角形底边长为2，高为1，棱柱的高为3，所以 考点：三视图及几何体体积 ‎7.设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是 A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A．等腰三角形所在的平面垂直平面时，等腰三角形的两个直角边和α所成的角相等，但a∥b不成立，∴A错误．‎ B．平行于平面的两条直线不一定平行，∴B错误．‎ C．根据直线和平面的位置关系和直线平行的性质可知，当a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β不成立，∴C错误．‎ D．根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，‎ 又∵b⊥β，∴a⊥b成立，∴D成立 考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 ‎8.若动点分别在直线：和：上移动，则中点所在直线方程为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D 考点：直线方程及动点轨迹 ‎9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为 A．－ B. C. D．－‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出异面直线AE与D1F所成角的余弦值 考点：异面直线及其所成的角 ‎10.如图给出了计算的值的一个程序框图，其中空白处应填入 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：执行程序框图，有 S=0，n=3，i=1‎ 第1次执行循环体，有S=3，n=5，i=2‎ 第2次执行循环体，有S=3+5，n=7，i=3‎ 第3次执行循环体，有S=3+5+7，n=9，i=4‎ ‎…‎ 第9次执行循环体，有S=3+5+7+…+17，n=19，i=9‎ 第10次执行循环体，有S=3+5+7+…+17+19，n=21，i=10‎ 此时结合题意，S=3+5+7+…+17+19，应退出循环，输出S的值，‎ 故条件应设为i＞9‎ 考点：循环结构 ‎11.如右图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是 A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC ‎ C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°‎ ‎∴BD⊥CD 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD 故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB 故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC 考点：平面与平面垂直的判定 ‎12.已知抛物线C：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与C的一个交点．若，则＝‎ A. B． C. D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵，‎ ‎∴|PQ|=3d，‎ ‎∴直线PF的斜率为-2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=-2（x-2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3‎ 考点：抛物线的简单性质 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_______厘米．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：球的体积和表面积 ‎14.设平面α∥平面β，A，C∈α， B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意做出如下图形：‎ ‎∵AB，CD交于S点 ‎ ‎∴三点确定一平面，所以设ASC平面为n，于是有n交α于AC，交β于DB，‎ ‎∵α，β平行 ‎∴AC∥DB ‎∴△ASC∽△DSB ‎∴‎ ‎∵AS=8，BS=6，CS=12‎ ‎∴‎ ‎∴SD=9‎ 考点：平面与平面平行的性质 ‎15.已知椭圆E:（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 交椭圆E于A、B两点；若，点M到直线的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，‎ 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．‎ 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，‎ ‎∴，解得b≥1．‎ ‎∴．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是．‎ 考点：椭圆的简单性质 ‎16.如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定主视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为.若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：取AB中点F，∵AE=BE= ，∴EF⊥AB，‎ ‎∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，‎ 易求EF= ，‎ 左视图的面积S= AD•EF= ×AD= ，‎ ‎∴AD=1，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°，‎ 将四棱锥E-ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平如图，‎ 则AB2=AE2+BE2-2AE•BE•cos120°=3+3-2×3×（- ）=9，‎ ‎∴AB=3，‎ ‎∴AM+MN+BN的最小值为3‎ 考点：由三视图还原实物图 ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 如图，已知空间四边形中，，是的中点。‎ 求证：（1）平面CDE ‎（2）平面平面 ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 考点：平面与平面垂直的判定 ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．‎ ‎(1)求证：BE∥平面PAD；‎ ‎(2)若AP＝2AB，求证：BE⊥平面PCD.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）欲证BE∥平面PAD，而BE⊂平面EBM，可先证平面EBM∥平面APD，取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形∴EM∥PD，BM∥AD BM∩EM=M，满足面面平行的判定；（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC 试题解析：(1)取PD的中点F，连结AF，FE，‎ 又∵E是PC的中点，‎ ‎∴在△PDC中，EF∥DC，且EF＝，‎ 由条件知AB∥DC，且AB＝，∴ EFAB，‎ ‎∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，‎ 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD.‎ ‎(2)由(1)FE∥DC，BE∥AF，‎ 又∵DC⊥AD，DC⊥PA，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF，‎ 在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD，‎ 又AF⊥EF且PD∩EF＝F，∴AF⊥平面PDC，‎ 又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC.‎ 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知圆：的圆心在第二象限，半径为，且圆与直线及轴都相切.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若直线与圆交于两点，求.‎ ‎【答案】（1），，.（2）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由圆于两直线相切与圆的半径可得到关于的方程组，解方程组可得到其值；（2）直线与圆相交的弦长可利用圆的半径，弦长的一半及圆心到直线的距离构成的直角三角形勾股定理求解 试题解析：（1）由题意，圆方程为，且，‎ ‎∵圆与直线及轴都相切，∴，，∴，‎ ‎∴圆方程为，‎ 化为一般方程为，‎ ‎∴，，.‎ ‎（2）圆心到直线的距离为，‎ ‎∴.‎ 考点：圆的方程与直线与圆相交的弦长问题 ‎20.(本小题满分12分)‎ 一个四棱锥的三视图如图所示．‎ ‎(1)求证：PA⊥BD；‎ ‎(2)在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q－AC－D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) ＝.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；（2）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得＝.‎ 试题解析：(1)由三视图可知P－ABCD为四棱锥，底面ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，连接AC、BD交于点O，连接PO.‎ 因为BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，‎ 即BD⊥PA.‎ ‎(2)由三视图可知，BC＝2，PA＝2，假设存在这样的点Q，因为AC⊥OQ，AC⊥OD，‎ 所以∠DOQ为二面角Q－AC－D的平面角，‎ 在△POD中，PD＝2， OD＝，则∠PDO＝60°，‎ 在△DQO中，∠PDO＝60°，且∠QOD＝30°.‎ 所以DP⊥OQ.所以OD＝，QD＝.‎ 所以＝.‎ 考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(图(2))．‎ ‎(1)求证：AP∥平面EFG；‎ ‎(2)若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ；‎ ‎(3)求三棱锥C－EFG的体积．‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由条件可得EF∥CD∥AB，利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面PAB．同理可证，EG∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB．再利用两个平面平行的性质可得AP∥平面EFG．（2）由条件可得DA、DP、DC互相垂直，故AD⊥平面PCD，AD⊥PC．再由EQ平行且等于BC可得EQ平行且等于AD，故ADEQ为梯形．再根据DE为等腰直角三角形PCD 斜边上的中线，可得DE⊥PC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得PC⊥平面ADQ．（3）根据VC-EFG=VG-CEF=•S△CEF•CG=（•EF•DF）•CG，运算求得结果 试题解析：(1)证明：∵E、F分别是PC，PD的中点，‎ ‎∴EF∥CD∥AB.‎ 又EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF∥平面PAB.‎ 同理，EG∥平面PAB，∴平面EFG∥平面PAB.‎ 又∵AP平面PAB，∴AP∥平面EFG.‎ ‎(2)解：连接DE，EQ，‎ ‎∵E、Q分别是PC、PB的中点，∴EQ∥BC∥AD.‎ ‎∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD.‎ ‎∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC.‎ 在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点，‎ ‎∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ.‎ ‎(3)VC－EFG＝VG－CEF＝S△CEF·GC＝××1=‎ 考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 ‎22.(本小题满分12分)‎ 如图，四边形是平行四边形，平面，，，，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线面平行可证明直线平行于平面内的直线，本题中只需证明；‎ ‎（2）证明面面垂直可证明其中一个平面经过另外一个平面的垂线，本题中只需证明平面中的平面；（3）不规则多面体的体积求解时将其分割为柱体和椎体分别求体积 试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，，‎ 在中，∵是的中点，‎ ‎∴且，又∵，∴且，即四边形是平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）证明：在中，，取中点，连，∵，‎ ‎∴，又，∴，∴，‎ ‎∴，又平面，平面，∴，∵，‎ ‎∴平面.又∵平面，∴平面平面.‎ ‎（3）解：连，并延长交于，连.‎ ‎∵分别为的中点，∴，∴是中点，∵，，‎ ‎∴多面体为三棱柱，体积为，且四边形为平行四边形，∴，∵平面，∴平面，四棱锥的体积为，‎ ‎∴多面体的体积为. ‎ 考点：线面平行的判定；线面垂直的判定；多面体体积 ‎ ‎ ‎