2019-2020学年安徽省池州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省池州市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省池州市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接由集合计算其并集即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了并集的运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二次根式下大于等于0，分母不为0，对数的真数大于0列出不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由解得，‎ 所以定义域为，‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了具体函数的定义域，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知向量，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据平面向量平行的坐标表示，列出方程求出的值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，属于基础题.‎ ‎4．函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据“左加右减”原则，直接将变为即可得.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数图象的左右平移问题，充分理解“左加右减”原则是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5．函数在下列哪个区间必有零点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据所给的函数，写出在下面几个选项中端点出现的函数值，找一个区间的两个端点函数值异号的区间，得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在区间内必有零点.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题.‎ ‎6．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．‎ ‎7．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知中函数的图象，分析出函数的周期，确定的值，将代入解析式，结合，可求出值.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知周期，所以，‎ 故，代入点，得，即，因为，所以，即，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出参数的值，属于中档题 ‎8．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】易得函数是以3为周期的偶函数，故，再结合当时，，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以是周期为3的函数，‎ 又是偶函数，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数及其应用，着重考查通过函数的奇偶性与周期性求函数的值，属于中档题．‎ ‎9．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂是圆弧形，A是弧的中点，是弦的中点，测得，（单位：），设弧所对的圆心角为（单位：弧度），则弧的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出弓形所在圆的圆心，连接，，设圆半径为，根据垂径定理求出的值，再根据弧长公式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 作出弓形所在圆的圆心，连接，，‎ 设圆半径为，则在中，，‎ 解得，故弧的长，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查弧长的计算，解题的关键是掌握线段中垂线的性质，三角函数的应用及弧长公式，垂径定理等知识点，属于中档题.‎ ‎10．已知则（ ）‎ A．1 B． C． D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式易得，，由此能求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数中函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点和第二象限内的点都在单位圆上，，.若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由三角函数的定义有，，‎ 因为点在第二象限内，所以，‎ 所以 ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于中档题.‎ ‎12．设且，若对任意，总存在使得成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数的运算性质可将题意转化为当时，函数的值域是，求参数的范围问题，结合二次函数的性质列出不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由可得，即.‎ 易知当时，函数的值域是，‎ 所以解得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算性质以及二次函数的值域，转化与化归的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将表示成，然后直接利用诱导公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用诱导公式求三角函数值，熟记诱导公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14．设，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过的范围计算出和的范围，由的值可得的值，最后根据二倍角的余弦即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，，‎ 所以，，‎ 又因为，所以，‎ 结合，解得,‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了通过同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式计算三角函数值，属于中档题.‎ ‎15．已知函数（且）是奇函数，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为的定义域为，直接由可得的值，检验成立即可.‎ ‎【详解】‎ 易知的定义域为，因为是奇函数，‎ 所以，得，检验符合题意.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了通过函数的奇偶性求参数的值，当利用特殊值时，需注意检验，属于基础题.‎ ‎16．已知函数，若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出的图象，将原方程等价转化为或，通过图象易得只有两个解，故的图象和的图象有四个交点即可，通过图象可得的范围.‎ ‎【详解】‎ 作出的图象，如图所示：‎ 由 得，‎ 所以或.‎ 因为只有两个零点，所以有四个零点 作函数和函数的图象，‎ 可知当时，的图象和的图象有四个交点，解得，‎ 故的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断，转化为求函数图象交点的个数，并用图象法进行解答是本题的关键，考查数形结合思想，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．设全集，集合，.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）将代入可得，解指数不等式可得集合，先求，再求即可；‎ ‎（2）根据，判断出，由此可列出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，.‎ 因为，所以或.‎ 所以或；‎ ‎（2）因为，所以.‎ 因为，，‎ 所以解得.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交、并、补集的混合运算，指数不等式的解法，考查了由集合间的相互关系求参数的值，属于中档题．‎ ‎18．已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由已知条件可得的值，利用二倍角的正切公式即可得结果；‎ ‎（2）利用诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，然后利用齐次式思想，用表示所求式子，代入即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，显然，得，‎ 所以.‎ ‎（2）原式 ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用诱导公式，二倍角公式进行化简三角函数表达式解决给值求值型问题，考查了解决齐次式问题，属于中档题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的对称轴方程；‎ ‎（2）求在上的单调递减区间.‎ ‎【答案】（1）（2）单调递减区间为，.‎ ‎【解析】（1）令，解出的值即可得函数的对称轴方程；‎ ‎（2）由不等式解出，取，所对应的区间在和取交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，即，‎ 所以的对称轴方程为.‎ ‎（2）由，得，‎ 即.‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以在上的单调递减区间为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦型函数的对称轴方程的求法，求余弦函数在给定区间内的单调性，熟练掌握余弦函数的性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎20．已知函数，其中是非零常数.‎ ‎（1）当时，用定义证明：是上的递增函数；‎ ‎（2）当时，求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用单调递增函数的定义证明即可；‎ ‎（2）原不等式即，代入化简可得 ‎，不等式两边同时取对数即可得不等式的解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：任取，，且，‎ 则，‎ 因为，所以，，又，所以，‎ 所以，即，‎ 所以是上的递增函数.‎ ‎（2）即为，‎ 由，‎ 得，即，‎ 因为，所以，‎ 故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用定义证明函数单调性，以及不等式的求解，熟练掌握指数、对数的运算性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎21．已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求在区间上的最大值；‎ ‎（2）设点，B是的图象上两点（其中），与轴平行，点在点的左侧，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）最大值为（2）‎ ‎【解析】（1）利用降幂公式可将已知等式化为，通过最小正周期可得的值，即得到函数的解析式，由的范围求出的范围,结合正弦函数的性质即可得结果；‎ ‎（2）可得，将两点代入结合两角和的正弦公式展开即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）.‎ 因为的最小正周期为，且.所以，即，‎ 所以.‎ 由，得，所以，所以，‎ 故，‎ 所以在区间上的最大值为，当且仅当时取得最大值.‎ ‎（2）由题意可知，‎ 则.‎ 即，所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质，两角和公式以及降幂公式的应用，将三角函数化为一般形式是解题的关键，属于中档题.‎ ‎22．已知函数，其中为实数 ‎（1）当时，若在区间上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数，使得关于的方程有三个不同的实数解？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在，实数的取值范围是 ‎【解析】（1）当时，，判断出函数在上的单调性，求出其最小值即可；‎ ‎（2）通过对原方程进行化简，设，则原题意化为有两个不同的实数根，，且满足，或，，利用数形结合思想，由二次函数根的分布列出不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 因为，在区间上均为递增函数，‎ 所以在区间上是递增函数，‎ 故在区间上的最小值为，因为，所以，‎ 故只需，所以实数的取值范围是：‎ ‎（2）方程即为，可化为，，‎ 设，则方程化为，‎ 因为方程有三个不同的实数解，所以由的图象可知，有两个不同的实数根，，‎ 且满足，或，.‎ 记，则或 解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最值解决恒成立问题，二次函数根的分布问题，考查了转化与化归思想，属于章节综合题.‎