2018届二轮复习4-7解三角形课件（全国通用）

2018届二轮复习4-7解三角形课件（全国通用）

4 . 7 　 解三角形 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 正弦定理和余弦定理 在 △ ABC 中 , 若角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c , 则 - 4 - 知识梳理 考点自测 - 5 - 知识梳理 考点自测 3 . 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 : 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 , 目标视线在水平视线 　　　　 的角叫做仰角 , 目标视线在水平视线 　　　　 的角叫做俯角 ( 如图 ① ) .   (2) 方向角 : 相对于某正方向的水平角 , 如南偏东 30 ° 、北偏西 45 ° 、西偏北 60 ° 等 . (3) 方位角 : 指从正北方向 　　　　　　 转到目标方向线的水平角 , 如点 B 的方位角为 α ( 如图 ② ) .   (4) 坡度 : 坡面与水平面所成的二面角的度数 . 上方 下方 顺时针 - 6 - 知识梳理 考点自测 1 . 在 △ ABC 中 , 常有以下结论 (1) A+B+C= π . (2) 在三角形中大边对大角 , 大角对大边 . (3) 任意两边之和大于第三边 , 任意两边之差小于第三边 . (4)sin( A+B ) = sin C ;cos( A+B ) =- cos C ;tan( A+B ) =- tan C ; (5)tan A+ tan B+ tan C= tan A ·tan B ·tan C. (6) A>B ⇔ a>b ⇔ sin A> sin B ⇔ cos A< cos B. 2 . 用余弦定理判断三角形的形状 : 当 b 2 +c 2 -a 2 > 0 时 , 可知 A 为锐角 ; 当 b 2 +c 2 -a 2 = 0 时 , 可知 A 为直角 ; 当 b 2 +c 2 -a 2 < 0 时 , 可知 A 为钝角 . - 7 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 在 △ ABC 中 , 已知 a , b 和角 B , 能用正弦定理求角 A ; 已知 a , b 和角 C , 能用余弦定理求边 c. ( 　　 ) (2) 在三角形中 , 已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形 . ( 　　 ) (3) 在 △ ABC 中 ,sin A> sin B 的充分不必要条件是 A>B. ( 　　 ) (4) 在 △ ABC 中 , a 2 +b 2 0, 解得 b= 3, 故选 D . - 9 - 知识梳理 考点自测 - 10 - 知识梳理 考点自测 4 . (2017 全国 Ⅲ , 文 15) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c. 已知 C= 60 ° , , c= 3, 则 A= 　　　　　 .   5 . (2017 全国 Ⅱ , 文 16) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 若 2 b cos B=a cos C+c cos A , 则 B= 　　　　　 .   75 ° - 11 - 考点一 考点二 考点三 考点四 例 1 (2017 山东淄博二模 , 文 16) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 2cos A ( c cos B+b cos C ) =a. (1) 求 A ; 利用正弦定理、余弦定理解三角形 - 12 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 13 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 已知怎样的条件能用正弦定理解三角形 ? 已知怎样的条件能用余弦定理解三角形 ? 解题心得 1 . 已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形 . 正弦定理的形式多样 , 其中 a= 2 R sin A , b= 2 R sin B , c= 2 R sin C 能够实现边角互化 . 2 . 已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形 , 在运用余弦定理时 , 要注意整体思想的运用 . 3 . 已知两角和一边 , 该三角形是确定的 , 其解是唯一的 ; 已知两边和一边的对角 , 该三角形具有不唯一性 , 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 . - 14 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 1 在 △ ABC 中 , ∠ A= 60 ° , c= a. (1) 求 sin C 的值 ; (2) 若 a= 7, 求 △ ABC 的面积 . - 15 - 考点一 考点二 考点三 考点四 判断三角形的形状 例 2 在 △ ABC 中 , a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边 , 且 2 a sin A= (2 b-c )sin B+ (2 c-b )sin C. (1) 求角 A 的大小 ; (2) 若 sin B+ sin C= , 试判断 △ ABC 的形状 . 解 (1) 由 2 a sin A= (2 b-c )sin B+ (2 c-b )sin C 及正弦定理 , 得 2 a 2 = (2 b-c ) b+ (2 c-b ) c , 即 bc=b 2 +c 2 -a 2 , - 16 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 17 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 判断三角形的形状时主要有哪些方法 ? 解题心得 判断三角形的形状时主要有以下两种方法 : (1) 利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系 , 通过因式分解、配方等得出边的相应关系 , 从而判断三角形的形状 ; (2) 利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 , 通过三角恒等变换 , 得出内角的关系 , 从而判断出三角形的形状 , 此时要注意应用 A+B+C= π 这个结论 . - 18 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 2 (2017 广东、江西、福建十校联考 , 文 17) 在 △ ABC 中 , 内角 A , B , C 所对的边长分别是 a , b , c. (2) 若 sin C+ sin( B-A ) = sin 2 A , 试判断 △ ABC 的形状 . - 19 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 20 - 考点一 考点二 考点三 考点四 正弦定理、余弦定理与三角变换的综合问题   - 21 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 22 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 在三角形中进行三角变换要注意什么 ? 解题心得 1 . 在三角形中进行三角变换要注意隐含条件 : A+B+C= π , 使用这个隐含条件可以减少未知数的个数 . 2 . 在解三角形问题中 , 因为面积公式 S= ab sin C= bc sin A= ac sin B 中既有边又有角 , 所以要和正弦定理、余弦定理联系起来 ; 要灵活运用正弦定理、余弦定理实现边角互化 , 为三角变换提供了条件 . - 23 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 24 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 25 - 考点一 考点二 考点三 考点四 例 4 设 △ ABC 三个角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 向量 p = ( a ,2 b ), q = (sin A ,1), 且 p ∥ q . (1) 求 B 的大小 ; (2) 若 △ ABC 是锐角三角形 , m = (cos A ,cos B ), n = (1,sin A- cos A tan B ), 求 m · n 的取值范围 . - 26 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 27 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 28 - 考点一 考点二 考点三 考点四 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用   例 5 如图 , 一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶 , 到 A 处时测得公路北侧一山脚 C 在西偏北 30 ° 的方向上 , 行驶 600 m 后到达 B 处 , 测得此山脚 C 在西偏北 75 ° 的方向上 , 山顶 D 的仰角为 30 ° , 则此山的高度 CD= 　　　　　 m . - 29 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 30 - 考点一 考点二 考点三 考点四 思考 利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么 ? 解题心得 利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路 : (1) 实际问题经抽象概括后 , 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 , 可用正弦定理或余弦定理求解 ; (2) 实际问题经抽象概括后 , 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 , 这时需作出这些三角形 , 先解够条件的三角形 , 再逐步求解其他三角形 , 有时需设出未知量 , 根据条件列出方程 ( 组 ), 解方程 ( 组 ) 得出所要求的解 . - 31 - 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练 5 (2017 福建福州一模 , 文 15) 如图 , 小明同学在山顶 A 处观测到 , 一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶 , 小明在 A 处测得公路上 B , C 两点的俯角分别为 30 ° ,45 ° , 且 ∠ BAC= 135 ° . 若山高 AD= 100 m, 汽车从点 B 到点 C 历时 14 s, 则这辆汽车的速度为 　　 m/s . ( 精确到 0 . 1 m/s) 22 . 6 - 32 - 考点一 考点二 考点三 考点四 - 33 - 考点一 考点二 考点三 考点四 1 . 正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系 . 2 . 在已知关系式中 , 既含有边又含有角 , 通常的解题思路 : 先将角都化成边或将边都化成角 , 再结合正弦定理、余弦定理即可求解 . 3 . 在 △ ABC 中 , 已知 a , b 和 A , 利用正弦定理时 , 会出现解的不确定性 , 一般可根据 “ 大边对大角 ” 来取舍 . 1 . 在解三角形中 , 三角形内角和定理起着重要作用 , 在解题中要注意根据这个定理确定角的范围 , 确定三角函数值的符号 , 防止出现增解等扩大范围的现象 . 2 . 在判断三角形的形状时 , 等式两边一般不要约去公因式 , 应移项提取公因式 , 以免漏解 .