2018-2019学年江西省赣州市十五县（市）高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省赣州市十五县（市）高一下学期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省赣州市十五县（市）高一下学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．若角的终边经过点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角函数的定义可得的三个三角函数值后可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 因为角的终边经过点，故，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎2．已知，，，若,则（ ）‎ A．2 B． C． D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，因，‎ 故，故.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 如果，那么：（1）若，则；（2）若，则；‎ ‎3．大衍数列来源于乾坤谱 中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第16项为（ ）‎ A．98 B．112 C．144 D．128‎ ‎【答案】D ‎【解析】设该数列为，根据题中数据归纳得到，从而可求.‎ ‎【详解】‎ 设该数列为，则，且，所以 ‎，累加得到：‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，属于容易题，归纳时注意相邻两个数的差的变化规律.‎ ‎4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理可解得，利用大边对大角可得范围，从而解得A的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由正弦定理可得：，‎ ‎，由大边对大角可得：，‎ 解得：．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．‎ ‎5．如图所示，是的边的中点，则向量=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量加法的三角形法则可得，化简后可得正确选项.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算，属于基础题.‎ ‎6．函数是（ ）‎ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎【答案】D ‎【解析】首先由判断函数为偶函数；利用二倍角的余弦公式化简原式，根据求最小周期公式得出结论．‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 所以，‎ ‎∴函数为偶函数 函数=，‎ ‎∴最小正周期为T==π，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查主要三角函数的奇偶性、二倍角的余弦公式的应用、三角函数最小周期公式T= ，属于基础题．‎ ‎7．在中，内角的对边分别为.若，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理和两角和的正弦公式可把题设条件转化为，从而得到，再依据得到，从而.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故 即，故，‎ 因为，故，所以，‎ 又，故，从而，所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.‎ ‎8．若将函数的图像向右平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出的图像的对称轴后再把对称轴向右平移个单位长度可得平移后图像的对称轴方程.‎ ‎【详解】‎ 令，解得，，‎ 故的图像的对称轴为直线，，‎ 所以平移后图像的对称轴为直线，，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图像的性质和图像的平移，属于基础题.‎ ‎9．在中，已知，，，且是方程的两根，则的长度为（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】由方程的解求出的值，根据余弦定理即可求出的长度．‎ ‎【详解】‎ ‎ 是方程 的两根，‎ ‎，，或，，‎ 由余弦定理，‎ 则，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎10．如果把的三边，，的长度都增加，则得到的新三角形的形状为（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 ‎【答案】A ‎【解析】先设出原来的三边为a、b、c且c2＝a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+m、b+m、c+m，知c+m为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．‎ ‎【详解】‎ 解：设增加同样的长度为m，原三边长为a、b、c，且c2＝a2+b2，c为最大边；‎ 新的三角形的三边长为a+m、b+m、c+m，知c+m为最大边，其对应角最大．‎ 而（a+m）2+（b+m）2﹣（c+m）2＝m2+2（a+b﹣c）m＞0，‎ 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦0，则为锐角，‎ 那么它为锐角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力，属于基础题．‎ ‎11．在中，，，、分别为的三等分点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由得到，再用表示，最后利用夹角公式计算.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 两边平方后可得，‎ 所以，故，设，因为、分别为的三等分点 则，，‎ 所以，‎ 而，，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.‎ ‎12．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为为锐角三角形，所以，‎ ‎，‎ ‎ ，故,选B.‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.‎ 二、填空题 ‎13．已知，若，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系式化简后即得.‎ ‎【详解】‎ 因为，故，‎ 因，故，故即.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．‎ ‎14．已知的内角、、的对边分别为、、，若，则角______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由，根据余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由余弦定理得，，‎ 又，则，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎15．已知数列的前项和为，，，则的值为_______．‎ ‎【答案】231‎ ‎【解析】先求出，由，可以得到，两式相减可得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，然后分别求出、，从而，可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 将代入得，‎ 由，可以得到，‎ 得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，‎ 则，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题。‎ ‎16．已知 中， ，且 的最小值为，则 =___‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】表示方向上的单位向量,设,即,由于,所以所得向量对应的点在直线上,即三点共线,如图所示, 的最小值即的最小值为点到直线的距离,所以为等腰直角三角形.所以,在三角形中,,用余弦定理得,由勾股定理得,解得,且,所以 ‎【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理,考查用向量表示三点共线的方法,考查勾股定理及余弦定理的具体应用,有一定的运算能力.解题的难点在于的几何意义,其中表示方向上的单位向量,转化为可得其对应的点和是三点共线的,由此可求得最小值为点到直线的距离.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量满足，.‎ ‎（1）若的夹角为，求；‎ ‎（2）若，求与的夹角.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】（1）将平方后利用数量积的定义可求其值，从而得到.‎ ‎（2）利用得到，再利用夹角公式可求的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知，得，‎ 所以，所以. ‎ ‎（2）因为，所以.所以，即，‎ 所以. ‎ 又，所以，即与的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.‎ ‎18．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．‎ 求角A；‎ 若，，求的面积．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】由正弦定理可得，结合，可求，结合范围，可求．‎ 由已知利用余弦定理可得，解得c的值，根据三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ 解：．‎ 由正弦定理可得：，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 由余弦定理，可得：，可得：，‎ 解得：，负值舍去，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎19．在等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先求出，从而得到，利用公式可得.‎ ‎（2）利用公式直接求和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，‎ 因为，所以，即，‎ 所以. ‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎20．已知函数. ‎ ‎（1）求函数的单调减区间；‎ ‎（2）若，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用降幂公式可得，再利用复合函数的单调性的讨论方法可求函数的单调减区间.‎ ‎（2）求出，再利用正弦函数的性质可求函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎（1）当时为减函数，‎ 即时为减函数，‎ 则为减区间为 ，‎ ‎（2）当 时， ， ‎ ‎∴ ，∴的值域为 .‎ ‎【点睛】‎ 形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．‎ ‎21．如图，已知两条公路的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁（异于点）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设.‎ ‎（1）试用表示，并写出的范围；‎ ‎（2）当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）.（注：）‎ ‎【答案】（1），；（2）当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小 ‎【解析】分析：（1）根据正弦定理，即可用表示；‎ ‎（2）利用余弦定理表示出，根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简整理，再根据三角函数的图象和性质，即可求出最值.‎ 详解：（1）因为，在中，，‎ 因为，所以，.‎ ‎（2）在中，,‎ 所以 ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取得最大值，即取得最大值．‎ 所以当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．‎ 点睛：本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正余弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键.‎