2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2)

2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2)

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 1．已知集合A = {x|x2−2x−3 ≤ 0}，B = {x|x > 0}，则A ∩ B = （ ） A．(0，3] B．(0，3) C．[0，3] D．[3， + ∞) 【答案】A 【解析】依题意得A = [−1,3],B = (0, + ∞)，所以A ∩ B = (0,3]. 点睛：本题主要考查集合的交集的概念，考查一元二次不等式的解法，考查了集合的三 要素.集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.在研究一个集合的过程中，首先要确 定研究对象是什么，然后常常是解一元二次不等式，要注意是取两边还是取中间.最后 根据题目求交集并集或者补集. 2．（2010•上海）若 x0 是方程 的解，则 x0 属于区间（ ） A．（ ，1） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（0， ） 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意 x0 是方程 的解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行 做题． 解：∵ ， ， ∴x0 属于区间（ ， ）． 故选 C． 考点：函数的零点与方程根的关系． 3．关于 x 的不等式 x2-（a+1）x+a＜0 的解集中，恰有 3 个整数，则 a 的取值范围是 （ ） A．（4，5） B．（-3，-2）∪（4，5） C．（4，5] D．[-3，-2）∪（4，5] 【答案】D 【解析】 试题分析：解不等式得 得范围是 或 ，解集中有 3 个整数，所以 的范围是[-3，-2）∪（4，5] 考点：一元二次不等式解集 4．方程组 的解集不可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由方程组 的解集所表示的集合应为点集，根据集合的表示方法，即作出判 定，得到答案. 【详解】 由题意，方程组 的解集所表示的集合应为点集，根据集合的表示方法，可 得方程组的解集可表示为 A、B、D 的形式， x 1 x a< < 1a x< < a 2 5 1 x y x y + =  − = ( ) 2 5, 1 x yx y x y  + =   − =   ( ) 2, 1 xx y y  =   =   { }2,1 { }(2,1) 2 5 1 x y x y + =  − = 2 5 1 x y x y + =  − = 而集合 为两个元素的数集，所以不正确， 故选 C. 【点睛】 本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟记集合的表示方法，准确判定是解答的 关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【解析】 试题分析： ，所以集合 B 中一要含有元素 c，而集合 A 中的两个元 素可以在 B 中也可不在，故满足条件的集合 B 有 ， ， ， 共 4 个； 故选 C． 考点：集合的并运算． 6．下列结论中成立的是 　　 A． 且 B． C． 且 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据基本不等式的性质以及特殊值法的应用判断即可． 【详解】 { }2,1 },{ baA = },,{ cbaBA =U B  },,{ cbaBA =U { , , }a b c { , }a c { , }b c { }c ( ) a b c d a c+ > + ⇒ > b d> 2 2ac bc a b> ⇒ > c b a d > c d a b< ⇒ < a b a b> ⇔ > 对于 A，令 ， ， ， ，显然错误； 对于 B，根据基本不等式的性质，正确； 对于 C， 符合题意但 a>b 对于 D，令 ， ，显然错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查了基本不等式的性质以及特殊值法的应用，是一道基础题． 7．“ ”是“方程 表示双曲线”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若方程 表示双曲线，则 ，解得 ，则 的范围小于 ，所以“ ”是方程 表示双曲线的充分不必 要条件，故选 A. 8．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 1a = 3b = 2c = 1d = 1 , 1, 1, 22a b c d= − = − = − = 1a = 1b = − 0 2n< < 2 2 11 3 x y n n + =+ − 2 2 11 3 x y n n + =+ − ( )( )1 3 0n n+ − < 1 3n− < < 0 2n< < 1 3n− < < 0 2n< < 2 2 11 3 x y n n + =+ − { }1 2A x x= − < < { }2 2 0B x x x= − < A B = ( )1 0− ， ( )0 2， ( )2 0− ， ( )2 2− ， 解一元二次不等式求得集合 ，由此求得 . 【详解】 由 ，解得 ，所以 . 故选：B. 【点睛】 本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 二、填空题 9．设函数 的根都在区间[-2，2]内，且函 数 在区间（0，1）上单调递增，则 b 的取值范围是 。 【答案】 【解析】试题分析：因为函数 （b 为常数），所以 的根都在区间[-2，2]内，所以 ；又因为函数 在区间（0，1）上单 调递增， 所以 在区间（0，1）上恒成立，所以 综上可得： 。 考点：导数的应用. 10．设 ， 满足 ，则 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 B A B ( )2 2 2 0x x x x− = − < 0 2x< < ( )0,2A B = x y 2 4 1 2 2 x y x y x y + ≥  − ≥ −  − ≤ z x y= + [ )2,+∞ 由题意，先作出约束条件的可行域图形，如图中阴影部分，将目标函数转化为 ， 在图中作出平行直线 ，在可行域范围内平行移动直线 ，则当移到顶点 处时，有 ，由于可行域向上无限延展，所以目标函数 的取值范围为 . 点睛：此题主要考查不等式中简单线性规划求最优解的问题，以及数形结合法在此类问 题中的应用，属于中低档题型，也是常考题型.解此类问题过程中，常用图解法来求解， 图解法很直观，首先在平面直解坐标系上画出可行域，再画出目标函数的等值线，将目 标函数的等值线平移得到最优解. 11．已知实数 满足约束条件 ,则 的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立 方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】 y x z= − + y x= − y x= − ( )2,0A min 2z = z [ )0 + ∞， ,x y 2 0 9 4 x y y x y x   − ≥  ≥   ≥ − + 2z x y= + 由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 ， 化目标函数 z=2x+y 为 y=-2x+z， 由图可知，当直线 y=-2x+z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 3． 故答案为 3． 【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 12．已知实数a,b满足：a ≥ 1 2,b ∈ R，且a + |b| ≤ 1，则 1 2a +b的取值范围是 . 【答案】[ 2−1,3 2] 【解析】 试题分析：因 ,故 ,故当 时, ；又 ,所以 ,由于 ,因此当 时, 是 的增函数,所以当 时, ；当 时, , 1 2a +b ≥ 1 2(1−|b|) +b = 1 2(1 + b) +b + 1−1 ≥ 2 × 2 2 −1 = 2−1,当且仅当 取等号,所以 ,故应填[ 2 2 9 4 y x x y  + ＝ ＝ 3 3 4 2A（ ，） −1,3 2]. 考点：不等式的性质及运用． 【易错点晴】本题设置的是一道含双变量的函数的值域问题.求解时先运用消元的数学 思想,将两个变量 消掉 变为只含一个变量 的函数 ,然后再运用分类整合思 想分别求出该函数 的的最大值和最小值,从而确定其取值范围.求解时,先确定 , ;后将不等式变为 ,进而可得 .令 ,然后分 和 两种情形求解.最后求得其取值范 围是[ 2−1,3 2]. 13．下列若干命题中，正确命题的序号是______________． ①“a=3”是直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+（a 一 l）y-a+7 =0 平行的充分不必要条件； ②△ABC 中，若 acosA="bcos" B，则该三角形形状为等腰三角形； ③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线； ④函数 的最小正周期是 【答案】①③ 【解析】 试题分析：①直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+（a 一 l）y-a+7=0 平行可得 或 ， 因此“a=3”是直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+（a 一 l）y-a+7 =0 平行的充分不必要条件； ②acosA=bcosB 或 ，因此三角形为等腰三角形或直角三角形； ③两异面直线垂直，则在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线； ④ sin(2 )sin( 2 )3 6y x x π π= + − ;π 2a = − 3a = sin cos sin cosA A B B∴ = sin 2 sin 2 2 2A B A B∴ = ∴ = 2 2A B π+ = 1 2sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 43 6 3 3 2 3y x x x x x π π π π π         = + − = + + = +                   2 4 2T π π∴ = = 考点：1．直线平行的判定；2．正弦定理解三角形；3．直线位置关系；4．三角函数化 简与性质 14．已知下列命题: (1)若 ∥ ∥ ,且 ，则 ∥ ; (2)若 ,则 ; (3) .则假命题的序号为__________. 【答案】(2)(3) 【解析】 【分析】 向量数量积不满足消去律和结合律. 【详解】 （1）因为有规定 ，所以向量平行满足传递性，故（1）是真命题； （2）若 ，所以 或 或 ，故（2）是假 命题； （3）等式 的左边可以是一个与 共线的向量，右边可以是一个与 共线的向量，所以等式不一定成立，故（3）是假命题. 15．下列命题的否定形式中为真命题的个数是 。 ①所有的实数的平方是正数； ②任何实数 都是方程 的根； ③被 8 整除的整数能被 4 整除 ④若一个四边形是正方形，则它的四条边相等 【答案】2 个 【解析】 a ,b b  c 0b ≠  a c a b a c=    b c=  ( ) ( )a b c a b c⋅ = ⋅     0b ≠  a b a c=    ( ) 0a b c⇒ ⋅ − =   ( )a b c⊥ −   0a =  b c=  ( ) ( )a b c a b c⋅ = ⋅     c a x 5 12 0x − = 【分析】 利用零的平方不是正数判断①；利用零不是方程 的根判断②；根据 8 是 4 的倍数判断③，根据正方形的定义判断④. 【详解】 下列命题的否定形式中为真命题的个数是 。 对于①，零的平方不是正数，所有的实数的平方是正数错误； 对于②，零不是方程 的根，任何实数都是方程 的根错误； 对于③，因为 8 是 4 的倍数，所以被 8 整除的整数能被 4 整除正确； 对于④，根据正方形的定义知，若一个四边形是正方形，则它的四条边相等正确， 所以正确命题有 2 个，故答案为 2 个. 【点睛】 本题主要考查命题真假的判断，属于基础题. 16．使“ ”成立的一个充分不必要条件是___________ 【答案】 的真子集都可以 【解析】 【分析】 由 x2+2x﹣3＜0 解得﹣3＜x＜1，因此-3＜x＜1 的真子集是不等式 x2﹣2x﹣3＜0 成立的 一个充分不必要条件 【详解】 由 x2+2x﹣3＜0 解得﹣3＜x＜1， 因此 的真子集都可以是不等式 x2+2x﹣3＜0 成立的一个充分不必要条件． 故答案为： 的真子集都可以 5 12 0x − = 5 12 0x − = 5 12 0x − = 2 2 3 0x x+ − < ( )3,1− ( )3,1− ( )3,1− 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定，属于基础题． 三、解答题 17．已知函数 的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的最小值为 ，解关于 x 的不等式 x2+x+4a2－6a<0. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由函数 的定义域是 ,得出 恒成立,分两 种情况讨论可求出 的取值范围；(2)利用配方法求得 的最小值是 ，求出 的值，代入不等式 ，利用一元 二次不等式的解法求解集即可. 【详解】 (1)∵函数 的定义域为 R， ∴ax2＋2ax＋1≥0 恒成立，当 a＝0 时，1≥0 恒成立． 当 a≠0 时，则有 ，解得 0 = − ≤ ( ) ( )22 2 1 1 1f x ax ax a x a= + + = + + − ( )min 1f x a= − 由题意得 ，∴a＝ ，∴不等式 x2+x+4a2－6a<0 可化为 x2+x－2<0.解得 ， ∴不等式的解集为 ． 【点睛】 本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系， 属于中档题. 对于定义域为 求参数的题型，主要有三种：（1）根式型， ，只需 ；（2）对数型， ， 只需 ，（3）分式型， ，只需 . 18．已知集合 ， ． （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的范围． 【答案】（1） （2） ． 【解析】 【试题分析】（1）先求得 .当 时， ，由此求得 的值，进 一步求得 的值.（2）由（1）知 ，由此列不等式组 来求得 的范围. 【试题解析】 （1）易知 ， 当 时， ， 21 2a− = 1 2 ( )2,1− ( )2,1− R ( ) 2f x ax bx c= + + 0 0 a > ∆ ≤ ( ) ( )2logmf x ax bx c= + + 0 0 a > ∆ < ( ) 2 1f x ax bx c = + + 0 0 a ≠ ∆ < { }| lg( 1) 2A x y x x= = + + − { }| 2 1 3B x m x m= − ≤ ≤ + 1m = ( ) ABR  A B⊆ m { }( ) | 1 1R B A x x∩ = − < < [ ]1,0− ( ]1,2A = − 1m = [ ]1,4B = RC B ( )RC B A ( ]1,2A = − 2 1 1 3 2 m m − ≤ −  + ≥ m { }| 1 2A x x= − < ≤ 1m = { }|1 4B x x= ≤ ≤ ∴ ． （2）由（1）知 ， ∵ ， ， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴实数 的取值范围为 ． 19．已知 . （I）求不等式 的解集； （II）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（I） ；（II） 或 . 【解析】 试题分析： （I）根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可．（II）画出函数 的图象， 由图象求得函数 的最小值为 4，解不等式 可得所求范围． 试题解析： （I）不等式 即为 ，等价于 ①或 ② 或 ③ 由①得 ； 由②得 ； ( ) { }| 1 1R B A x x∩ = − < < { }| 1 2A x x= − < ≤ A B⊆ { }| 2 1 3B x m x m= − ≤ ≤ + 2 1 1m − ≤ − 3 2m + ≥ 1 0m− ≤ ≤ m [ ]1,0− ( ) 2 2 4f x x x= − + + ( ) 7f x < x 2( ) 3f x m m≤ − m { }3 1x x− < < 4m≥ 1m ≤ − ( )f x ( )f x 2 3 4m m− ≥ ( ) 7f x < 2 2 4 7x x− + + < ( ) 2 2 2 4 7 x x x ≤ −  − − + < 2 2 2 2 4 7 x x x − < <  − + + < 2 2 2 4 7 x x x ≥  − + + < 3 2x− < ≤ − 2 1x− < < 由③得此不等式组无解． 综上 ． ∴不等式 的解集为 ． （II）由题意得 ， 画出函数 的图象如图所示： 其中 ， 由图象可得函数 的最小值为 4． 由题意知 ， 即 ， 解得 或 ． ∴实数 的取值范围为 ． 20．已知函数 的定义域为 ，集合 是不等式 的解集． (1) 求 ， ； 3 1x− < < ( ) 7f x < { }3 1x x− < < ( ) 3 2, 2 6, 2 2 3 2, 2 x x f x x x x x − − ≤ − = + − < <  + ≥ ( )f x ( )2,4M − ( )2,8N ( )f x 2 3 4m m− ≥ 2 3 4 0m m− − ≥ 4m ≥ 1m ≤ − m ( , 1] [4, )−∞ − +∞ 1( ) lg 2 xf x x += − A B ( )2 22 1 0x a x a a− + + + > A B (2) 若 , 求实数 的取值范围． 【答案】（1）A= ， ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）由 0，得 ，由 ，得： 得 ； （2）由 得 ，从而 ，即可得解. 试题解析： (1)由 0，得 或 ，即 A= . 由 ，得： . 所以 或 ,即 ． (2) 由 得 . , 故当 时, 实数 的取值范围是 ． 点睛：解答本题时要注意以下几点： （1）在解题中注意 A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B 这几个关系式的等价性，要善于将问题 进行转化，这是解决此类问题的一种极为有效的方法． （2）对于数集关系问题，往往要利用数轴进行分析；当根据 求参数的范围时， 一定要分 和 两种情况进行讨论． 21．已知全集 R，集合 ， . （1）求 、 ； A B B∪ = a ( ), 1 (2, )−∞ − ∪ +∞ ( , ) ( 1, )B a a= −∞ ∪ + +∞ [ ]1,1− 1 2 x x + − > A ( )2 22 1 0x a x a a− + + + > ( ) ( )1 0x a x a − + − >  B A B B∪ = A B⊆ 1 1 2 a a ≥ −  + ≤ 1 2 x x + − > 1x < − 2x > ( ) ( ), 1 2,−∞ − ∪ +∞ ( )2 22 1 0x a x a a− + + + > ( ) ( )1 0x a x a − + − >  x a< 1x a> + ( ) ( ), 1,B a a= −∞ ∪ + +∞ A B B∪ = A B⊆ 1 1 11 2 a aa ≥ −∴ ⇒ − ≤ ≤ + ≤ A B B∪ = a [ ]1,1− A B⊆ A φ= A φ≠ =U { }2,4 >−<= xxxA 或 { }6221 1 ≤−≤−= −xxB A B ( ) ( )U UC A C B （2）若集合 是集合 A 的子集，求实数 k 的取值范围. 【答案】（1） ， ；（2） 或 . 【解析】 试题分析：（1）集合 ， 即 ，画出数轴表示集合 ，观察图形得： ， 又 ， ， 所 以 ；（2）若集合 为集合 的子集，而显然集合 为非空集合，因此应满足 或 ，解得 或 .本题主要考 查集合的运算，集合间的关系. 试题解析：（1）∵ ，∴ ， ∴ ，∴ . ∴ . 又∵ ， ∴ ， （2）∵集合 是集合 的子集 ∴ 或 ， ∴ 或 . 即实数 k 的取值范围为 . { }1212 +≤≤−= kxkxM { }2 4A B x x= < ≤ ( ) ( ) { }2 4U UC A C B x x x= ≤ > 或 5 2k < − 3 2k > { } { } { }1 11 2 2 6 1 2 3 0 1 3x xB x x x x− −= − ≤ − ≤ = ≤ ≤ = ≤ − ≤ { }1 4B x x= ≤ ≤ ,A B { }2 4A B x x= < ≤ { }4 2UC A x x= − ≤ ≤ { }1 4UC B x x x= < >或 ( ) ( ) { }2 4U UC A C B x x x= ≤ > 或 M A M 2 1 4k + < − 2 1 2k − > 5 2k < − 3 2k > 6221 1 ≤−≤− −x 821 1 ≤≤ −x 821 1 ≤≤ −x 41 ≤≤ x { }41 ≤≤= xxB { }2,4 >−<= xxxA 或 { }2 4A B x x= < ≤ { }( ) ( ) ( ) 2, 4U U UC A C B C A B x x x= = ≤ >  或 { }1212 +≤≤−= kxkxM { }2,4 >−<= xxxA 或 212 >−k 412 −<+k 2 3>k 2 5−−< 2 3 2 5| kkk 或 考点：1、集合的运算；2、集合间的关系. 22．已知命题 P：任意“ ， ”，命题 q：“存在 ”若“p 或 q”为真，“p 且 q”为假命题，求实数 的取值范 围。 【答案】 【解析】 试题分析：命题 任意“ ， ”，只需 ，对 恒成立， 而 在 上是增函数， 时， ，即： ；命题 “存在 ”，只需 ，即： ，根据“p 或 q”为真，“p 且 q”为假命题，只要 一真一假即 可. 试题解析：命题 任意“ ， ”，只需 ，对 恒成立， 而 在 上是增函数， 时， ，即： ；命题 “存在 ”，只需 ，即： .则 ， ，根据“p 或 q”为真，“p 且 q”为 假命题，只要 一真一假即可. （1）若 真 假，则 ，（2） 假 真，则 ，综上所述： 的取值范围是 考点：1.恒成立问题的极端原理；2.一元二次不等式；3.复合命题的真假；