吉林省长春市第十一高中2020届高三下学期线上模拟考试数学（理）试题

吉林省长春市第十一高中2020届高三下学期线上模拟考试数学（理）试题

长春市十一高中高三线上模拟考试 数学试题（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项：‎ 1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.‎ 2． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ 3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ 4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 已知集合,则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 等比数列的前题目要求的．）‎ ‎1.项和为，若，，则 （ ） ‎ ‎ A.31       B. 36         C. 42          D.48‎ ‎5. 设，其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为（ ）‎ A.       B.         C.         D.‎ ‎6. 有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）‎ A.540 B.729 C.216 D.420 ‎ ‎7. 执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. 2016           B. 2 C.           D.‎ ‎8. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 当时，函数的值域是 ‎10．设函数，的零点分别为，则（ ）‎ A. B.0＜＜1 C.1＜＜2 D.‎ ‎11. 在正三棱锥中，是的中点，且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ ‎　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13. 已知，则____________.‎ ‎14. 设随机变量～，若，则____________.‎ ‎15. 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________.‎ ‎16. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则 的通项公式____________.‎ 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) ‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知 ‎ （1）求证：成等差数列；‎ ‎ （2）若 求.‎ ‎18． (本小题满分12分)‎ 如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若时，求二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．‎ ‎（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；‎ ‎（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ 分组（单位：岁）‎ 频数 频率 ‎[20，25)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎[25，30)‎ ‎①‎ ‎0.20‎ ‎[30，35)‎ ‎35‎ ‎②‎ ‎[35，40)‎ ‎30‎ ‎0.30‎ ‎[40，45]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：当时，.‎ 请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4一4:坐标系与参数方程 已知直线C1: ，（t为参数），曲线C2: ，(为参数).‎ ‎（Ⅰ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；当时,求C1与C2的交点的极 坐标（其中极径，极角）；‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点作C1的垂线,垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设. ‎ ‎（1）求的解集;‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.‎ 线上考试参考答案 一、选择题(每小题5分，共60分)‎ ‎ 1-5： CABAA 6-10：ABCDB 11-12：BD 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（1）由正弦定理得：‎ 即 ‎ ‎∴‎ 即 ‎ ‎∵ ‎ ‎ ∴ 即 ‎∴成等差数列。 ‎ ‎（2）∵ ∴ ‎ 又 由（1）得： ∴‎ ‎∴ 即 ‎ ‎18：解：（1）证明：连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，故．‎ 又因平面ABC平面ABEF，故平面ABEF，‎ 于是．又，所以平面OEC，‎ 所以， ‎ 又因，故平面，所以． ‎ ‎（2）由（1），得，不妨设，，取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，‎ 在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则 从而设平面的法向量，由，‎ 得， ‎ 同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，由于二面角为钝二面角，则余弦值为 ‎ ‎19．（1）①处填20，②处填0.35；补全频率分布直方图如图所示．‎ 根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．‎ ‎（2）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人．‎ 由题意知，X的可能取值为0，1，2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝．‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．‎ ‎20.解：（1），由题设可知，得 ①，点P在椭圆C上， ② ③ …3分 ‎①③联立解得，…4分，故所求椭圆的方程为…5分 ‎（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，‎ 整理得 （a）‎ 方程（a）有且只有一个实根，又，所以得 -------8分 假设存在满足题设，则由 对任意的实数恒成立,所以， 解得，‎ 当直线的斜率不存在时，经检验符合题意. 综上所述，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等1. …12分 ‎21.解：（1）∵ ‎ ‎ 由已知 ∴ 得 ………2分 ‎ ∴‎ ‎ 当为增函数；‎ ‎ 当时，，为减函数。‎ ‎ ∴是函数的极大值点…4分 又在上存在极值 ‎∴ 即 ‎ ‎ 故实数的取值范围是 ……5分 （2） ‎ ‎ ‎ 即为 ……6分 ‎ 令 ‎ ‎ 则 ‎ 再令 则 ‎ ∵ ∴ ∴ 在上是增函数 ‎ ‎ ∴ ∴ ∴在上是增函数 ‎ ‎ ∴时， 故 ………9分 令 则 ‎∵ ∴ ∴ 即上是减函数 ‎∴时， ………11分 所以， 即 ………12分 22． 解：（Ⅰ）当时，C1的普通方程为，‎ C2的普通方程为，------------1分 联立方程组，解得C1与C2的交点坐标为（1，0），．------------3分 所以两点的极坐标为，--------------5分 ‎（Ⅱ）C1的普通方程为，A点坐标为，‎ 故当变化时，P点轨迹的参数方程为（为参数）‎ P点轨迹的普通方程为．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．‎ ‎23.解： (1)由得：‎ 或或 解得 所以的解集为 ‎ ‎（2） ‎ 当且仅当时，取等号. ‎ 由不等式对任意实数恒成立，可得 解得：或. 故实数的取值范围是 ‎