2018-2019学年四川省棠湖中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）
2018-2019学年四川省棠湖中学高一上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．集合,，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
化简集合Q，然后求出二者的交集即可.
【详解】
,又
∴
故选：A
【点睛】
本题考查集合交集的运算，关键是理解集交集的概念及运算，属于基础题．
2．下列各组函数中，表示同一函数的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
利用函数的三要素即可判断出．
【详解】
A．y=1，x∈R；y=x0，x∈R，且x≠0，定义域不同，不表示同一函数；
B．y=x﹣1，x∈R；y=，x≠﹣1，定义域不同，不表示同一函数；
C．y=x，=x，定义域与对应法则都相同，表示同一函数；
D．y=|x|，x∈R；，x≥0，定义域不同，不表示同一函数．
综上可知：只有C正确．
故选：C．
【点睛】
本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题. 判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.
3．设函数=则=
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
【答案】B
【解析】
由，故，从而得到结果.
【详解】
∵函数，
∴f（log212）==12÷2=6．
故选：B．
【点睛】
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
4．若函数为奇函数,则=
A． B． C． D． 1
【答案】C
【解析】
由函数f（x）为奇函可得，可得f（﹣x）=﹣f（x），代入整理可求a．
【详解】
由函数f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）
∴=，
∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）
∴（4a﹣3）x2=0
∴4a﹣3=0即a=，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了奇函数的定义的简单应用，属于基础试题．
5．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是
A． (－2,－1) B． (－1,0) C． (0,1) D． (1,2)
【答案】C
【解析】
将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．
【详解】
因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．
6．已知，，,则的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
利用指数函数及对数函数的图象与性质及中间量1,2即可比较大小
【详解】
∵a=2log52，b=21.1，c=，
∴a=2log52=log54＜1，b=21.1＞2，c==2＜2，1＜c＜2
根据函数y=2x单调性判断：b＞c＞a，
故选：A．
【点睛】
利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
7．设是定义在上的偶函数,则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可．
【详解】
∵是定义在上的偶函数,
∴f（﹣x）=f（x）且6+a+2a=0，
即，且
∴，即
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，根据定义建立方程关系是解决本题的关键．比较基础．
8．已知是定义在上的函数,且对任意都有 ,且满足，,则=
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
函数y=f（x）的图象关于原点对称即函数y=f（x）为奇函数，求出f（2）的值，结合函数的周期，利用所求周期即可求解．
【详解】
∵，
∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，f（1）=3，
∵f（x+2）=f（2﹣x）+4f（2）=﹣f（x﹣2）+4f（2），
∴f（x+4）=﹣f（x）+4f（2），
f（x+8）=﹣f（x+4）+4f（2）=f（x），
∴函数的周期为8，
∴f（2019）=f（252×8+3）=f（3），
而f（2）=f（2）+4f（2），故f（2）=0，
故f（3）=f（1）+4f（2）=f（1）=3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性与周期性，解题的关键是明确函数的周期，属于中档题.
9．函数y＝的单调增区间为（ ）．
A． （-，） B． （，+） C． (－1，] D． [，4）
【答案】C
【解析】
令 ， ，（）
在为增函数，在上是增函数，在上是减函数；根据复合函数单调性判断方法“同增异减”可知，函数y＝的单调增区间为选C.
【点睛】
有关复合函数的单调性要求根据“同增异减”的法则去判断，但在研究函数的单调性时，务必要注意函数的定义域，特别是含参数的函数单调性问题，注意对参数进行讨论，指、对数问题针对底数a讨论两种情况，分0
1两种情况，既要保证函数的单调性，又要保证真数大于零.
10．若函数=在区间上的最大值比最小值大,则实数
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】D
【解析】
直接利用对数函数的单调性，通过最值的差，求出m的值即可．
【详解】
因为函数=在区间[4，5]上是单调函数，m＞5，所以logm（m﹣4）﹣logm（m﹣5）=1．
所以，即m2﹣6m+4=0，又m＞5，解得m=．
故选：D．
【点睛】
本题考查对数函数的单调性的应用，对数方程的求法，考查计算能力，正确判断对数的底数，是简化解题关键．
11．设常数,实数满足=,若的最大值为,则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
利用对数的运算法则化简已知条件，利用函数的单调性求解函数的最值，通过解方程求解x的值即可．
【详解】
由题意，，
不妨令logax=t，则有，
因为a＞1，所以当时，y取得最大值，即，解得a=4，
从而．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,属于中档题．
12．函数=是定义域为的偶函数,当时,=若关于的方程=,有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是
A． B．
C． D． .
【答案】A
【解析】
作函数f（x）的图象，从而可化条件为方程x2+ax+b=0有两个根，且x1=，0＜x2＜；从而求a的取值范围．
【详解】
由题意，作函数f（x）的图象如下，
由图象可得，0≤f（x）≤f（2）=；
∵关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，
∴方程x2+ax+b=0有两个根，不妨设为x1，x2；
且x1=，0＜x2＜；
又∵﹣a=x1+x2，
∴a∈（﹣，﹣）；
故选：A．
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、填空题
13．不论为何值，函数的图象一定经过点P，则点P的坐标为___________.
【答案】
【解析】
函数过的定点，即需要指数的次数等于0即可.
【详解】
不论为何值，函数的图象过的定点为：x-2=0,x=2,代入解析式求得y=2,故点P（2，2）.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了指数函数型的函数所过的定点，即不受底数的影响，此时使得指数部分为0即可，形如的指数型函数过的定点是：.
14．已知幂函数=在上为减函数,则实数_____.
【答案】
【解析】
利用幂函数的定义列出方程求出m的值，将m的值代入函数解析式检验函数的单调性．
【详解】
∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数
∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1
当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数
当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数
故答案为：m=﹣1
【点睛】
本题考查幂函数的定义：形如y=xα（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关．
15．已知函数=的值域为,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
利用函数的值域是R，通过函数的单调性以及一次函数的性质求解即可．
【详解】
因为f（x）的值域是R，当x≥1时，y=2x≥2，
故当x＜1时，y=（3﹣2a）x+3a的值域为（﹣∞，A），A≥2，
∴，解得：．
即实数a的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是指数函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.
16．若关于的函数的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数的值为___________.
【答案】2
【解析】
函数 ，g(x)是奇函数，M＋N＝
【详解】
函数=,其中g(x)是奇函数，M＋N＝
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，奇函数在对称区间上的最值互为相反数，且在对称点处取得的函数值互为相反数.也用到了判断函数奇偶性的方法：奇函数奇函数为奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数.
三、解答题
17．(1);
(2)已知,用表示．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）按照指数幂的简单化简方法，依次化简指数幂，进而可得答案；（2）利用指数化为对数，通过对数的运算性质化简所求表达式，代入求解即可.
【详解】
(1)原式==
(2)∵==,
∴===.
【点睛】
本题考查指数幂的运算法则的应用，考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查．
18．已知函数的值域为A,函数的定义域为B．
(1)求集合A、B;
(2)若,求实数a的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）根据指数函数以及对数函数的性质解出即可；
（2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．
【详解】
(1),
由题意且,
.
(2)因为,所以,
所以. 又因为,
所以.
【点睛】
本题考查了集合的包含关系，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道基础题．
19．二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值集合．
【答案】(1) f(x)＝2x2－4x＋3.（2）
【解析】试题分析：（1）由可知对称轴为，因此可设其解析式为，再由函数值求得即可；（2）二次函数的对称轴把函数分成两个单调区间，因此只要对称轴在开区间里面，则函数在此区间上就不单调．
试题解析：（1）∵为二次函数且，
∴对称轴为.
又∵最小值为1，
∴可设.
∵，∴，
∴，
即.
（2）由条件知，
∴.
【考点】二次函数的解析式与单调性．
【名师点睛】求二次函数解析式一般用待定系数法，它的形式有三种：（1）一般式： ；（2）两根式： ；（3）顶点式： ．
20．已知函数=为常数),且.
(1)判断函数在定义域上的奇偶性,并证明;
(2)对于任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）代入求出a，b值，根据奇偶性定义判断即可；
（2）变量分离构造函数g（x），把恒成立问题转化为最值问题解决即可．
【详解】
(1)由已知可得==,
解得 所以, 函数为奇函数.
证明如下:的定义域为,
==, ∴函数为奇函数,
=,
==
故对于任意的恒成立等价于
令==
则当时,
故
即的取值范围为
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
21．设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
【答案】a＝或3
【解析】解：令t＝ax(a>0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t>0)．
当00，所以a＝.
②当a>1时，x∈[－1,1]，
t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．
综上得a＝或3.
22．已知函数为对数函数,并且它的图象经过点,函数=在区间上的最小值为,其中.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的最小值的表达式;
(3)是否存在实数同时满足以下条件:①;②当的定义域为时,值域为.若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析；(3)m，n不存在
【解析】
（1）代入点的坐标，求出a的值，从而求出f（x）的解析式；
（2）设t=f（x）=log2x，通过讨论b的范围，求出函数的最小值即可；
（3）根据对数函数的性质求出m+n=8，得到矛盾，从而判断结论．
【详解】
(1)设且)
∵的图象经过点,
∴,即,
∴,即,
∴.
(2)设==,
∵,
∴,
∴,即
则===,对称轴为
①当时,在上是增函数,
②当时,在上是减函数,在上是增函数,==
③当时,在上是减函数,
综上所述,=.
(3),.
的定义域为,值域为,且为减函数,
，两式相减得,
,
得,但这与“”矛盾,
故满足条件的实数不存在.
【点睛】
本题考查了求对数函数的解析式，考查函数的单调性、二次型复合函数的最值问题，考查分类讨论思想，属于中档题．
