2018届二轮复习方法指导-椭圆、双曲线、抛物线课件（全国通用）

2018届二轮复习方法指导-椭圆、双曲线、抛物线课件（全国通用）

第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 考情分析 总纲目录 考点一   圆锥曲线的定义及标准方程 考点二 圆锥曲线的几何性质（高频考点） 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 考点一  圆锥曲线的定义及标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:| PF 1 |+| PF 2 |=2 a (2 a >| F 1 F 2 |); (2)双曲线:|| PF 1 |-| PF 2 ||=2 a (2 a <| F 1 F 2 |); (3)抛物线:| PF |=| PM |,点 F 不在直线 l 上, PM ⊥ l 于 M . 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程为   +   =1   ,其中 a > b >0; (2)双曲线的标准方程为   -   =1   ,其中 a >0, b >0; (3)抛物线的标准方程为 x 2 = ± 2 py , y 2 = ± 2 px ,其中 p >0. 典型例题 　　(1)(2017课标全国Ⅲ,5,5分)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的一条 渐近线方程为 y =   x ,且与椭圆   +   =1有公共焦点,则 C 的方程为   (  　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 (2)(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知 F 是抛物线 C : y 2 =8 x 的焦点, M 是 C 上一 点, FM 的延长线交 y 轴于点 N .若 M 为 FN 的中点,则| FN |= 　　　     . 解析 　(1)由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为   -   = k ( k >0),即   -   =1,∵双曲线与椭圆   +   =1有公共焦点,∴4 k +5 k =12-3,解得 k =1, 故双曲线 C 的方程为   -   =1.故选B. (2)如图,过 M 、 N 分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为 M 1 、 N 1 ,设抛物 线的准线与 x 轴的交点为 F 1 ,则| NN 1 |=| OF 1 |=2,| FF 1 |=4.因为 M 为 FN 的中点, 所以| MM 1 |=3,由抛物线的定义知| FM |=| MM 1 |=3,从而| FN |=2| FM |=6.   答案 　(1)B　(2)6 方法归纳 圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准 方程. (2)计算:即利用待定系数法求出方程中的 a 2 , b 2 或 p .另外,当焦点位置无法 确定时,抛物线常设为 y 2 =2 ax 或 x 2 =2 ay ( a ≠ 0),椭圆常设为 mx 2 + ny 2 =1( m >0, n >0),双曲线常设为 mx 2 - ny 2 =1( mn >0). 跟踪集训 1.已知椭圆中心在原点,焦点 F 1 , F 2 在 x 轴上, P (2,   )是椭圆上一点,且| PF 1 |,| F 1 F 2 |,| PF 2 |成等差数列,则椭圆的方程为   (　　) A.   +   =1　    B.   +   =1 C.   +   =1　    D.   +   =1 答案     A　设椭圆的标准方程为   +   =1( a > b >0). 由点 P (2,   )在椭圆上,得   +   =1. ∵| PF 1 |,| F 1 F 2 |,| PF 2 |成等差数列, ∴| PF 1 |+| PF 2 |=2| F 1 F 2 |, 即2 a =2·2 c ,   =   . 又∵ c 2 = a 2 - b 2 ,∴ a 2 =8, b 2 =6. 即椭圆的方程为   +   =1. 2.(2017湖北七市(州)联考)双曲线   -   =1( a , b >0)的离心率为   ,左、右 焦点分别为 F 1 、 F 2 , P 为双曲线右支上一点,∠ F 1 PF 2 的平分线为 l ,点 F 1 关 于 l 的对称点为 Q ,| F 2 Q |=2,则双曲线的方程为   (　　) A.   - y 2 =1　    B. x 2 -   =1 C. x 2 -   =1　    D.   - y 2 =1 答案     B　∵∠ F 1 PF 2 的平分线为 l ,点 F 1 关于 l 的对称点为 Q ,∴| PF 1 |=| PQ |, 而| PF 1 |-| PF 2 |=2 a ,∴| PQ |-| PF 2 |=2 a ,即| F 2 Q |=2=2 a ,解得 a =1.又 e =   =   ⇒ c =   ⇒ b 2 = c 2 - a 2 =2,∴双曲线的方程为 x 2 -   =1.故选B. 考点二  圆锥曲线的几何性质(高频考点) 命题点 1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围. 2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程. 3.求双曲线的渐近线方程. 1.椭圆、双曲线中, a , b , c 之间的关系 (1)在椭圆中: a 2 = b 2 + c 2 ,离心率为 e =   =   ; (2)在双曲线中: c 2 = a 2 + b 2 ,离心率为 e =   =   . 2.双曲线   -   =1( a >0, b >0)的渐近线方程为 y = ±   x .注意离心率 e 与渐近 线的斜率的关系. 典型例题 　　(1)(2017课标全国Ⅲ,10,5分)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左、右 顶点分别为 A 1 , A 2 ,且以线段 A 1 A 2 为直径的圆与直线 bx - ay +2 ab =0相切,则 C 的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   (2)(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线   -   =1( a >0, b > 0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2 =2 py ( p >0)交于 A , B 两点.若| AF |+| BF |=4| OF |,则该双曲线的渐近线方程为 　　　     . 答案 　(1)A　(2) y = ±   x 解析 　(1)以线段 A 1 A 2 为直径的圆的方程为 x 2 + y 2 = a 2 ,该圆与直线 bx - ay +2 ab =0相切,∴   = a ,即2 b =   ,∴ a 2 =3 b 2 ,∵ a 2 = b 2 + c 2 ,∴   =   ,∴ e =   =   . (2)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 因为4| OF |=| AF |+| BF |, 所以4 ×   = y 1 +   + y 2 +   ,即 y 1 + y 2 = p .① 由   消去 x ,得 a 2 y 2 -2 pb 2 y + a 2 b 2 =0,所以 y 1 + y 2 =   .② 由①②可得   =   ,故双曲线的渐近线方程为 y = ±   x . 方法归纳 圆锥曲线的几何性质的应用 确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是建立一个关于 a , b , c 的方程(组)或不等式(组),再根据 a , b , c 的关系消掉 b 得到关于 a , c 的关系 式.建立关于 a , b , c 的方程(组)或不等式(组)时,要充分利用椭圆和双曲线 的几何性质、点的坐标等. 跟踪集训 1.(2017成都第一次诊断性检测)已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的左、右 焦点分别为 F 1 、 F 2 ,双曲线上一点 P 满足 PF 2 ⊥ x 轴.若| F 1 F 2 |=12,| PF 2 |=5,则 该双曲线的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.3 答案     C　由双曲线的定义,知| PF 1 |-| PF 2 |=2 a , 所以| PF 1 |=2 a +| PF 2 |=2 a +5. 在Rt△ PF 2 F 1 中,| PF 1 | 2 =| PF 2 | 2 +| F 1 F 2 | 2 , 即(2 a +5) 2 =5 2 +12 2 ,解得 a =4. 因为| F 1 F 2 |=12,所以 c =6, 所以双曲线的离心率 e =   =   =   ,故选C. 2.(2017兰州高考实战模拟)以 F   ( p >0)为焦点的抛物线 C 的准线与 双曲线 x 2 - y 2 =2相交于 M , N 两点,若△ MNF 为正三角形,则抛物线 C 的方程 为   (　　) A. y 2 =2   x 　    B. y 2 =4   x C. x 2 =2   y 　    D. x 2 =4   y 答案     D　∵以 F   ( p >0)为焦点的抛物线 C 的准线方程为 y =-   ,∴ M , N 在直线 y =-   上,又△ MNF 是正三角形,∴点 F 到 MN 的距离为   -   = p ,设点 M 在双曲线 x 2 - y 2 =2的左支上,点 N 在右支上,∴ M   , N   ,∴   -   =2,解得 p =2   ,∴抛物线 C 的方程为 x 2 =2 py =4   y ,故选D. 考点三  直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法: (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x , y 的方程组,消 去 y (或 x )得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,由方程组的解得交 点坐标; (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线,根据图形判断公共点的个数. 典型例题 (2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l : y = t ( t ≠ 0)交 y 轴于 点 M ,交抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0)于点 P , M 关于点 P 的对称点为 N ,连接 ON 并 延长交 C 于点 H . (1)求   ; (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由. 解析 　(1)由已知得 M (0, t ), P   . 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,所以 N   ,所以 ON 的方程为 y =   x ,将其代 入 y 2 =2 px 整理得 px 2 -2 t 2 x =0,解得 x 1 =0, x 2 =   . 因此 H   . 所以 N 为 OH 的中点,即   =2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点. 理由如下: 直线 MH 的方程为 y - t =   x ,即 x =   ( y - t ). 将其代入 y 2 =2 px 得 y 2 -4 ty +4 t 2 =0,解得 y 1 = y 2 =2 t ,即直线 MH 与 C 只有一个公 共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点. 方法归纳 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的步骤 (1)设方程及点的坐标; (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是 否为零); (3)应用根与系数的关系及判别式; (4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 跟踪集训 (2017贵州适应性考试)设 F 1 , F 2 分别是椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的左,右焦 点, E 的离心率为   ,点(0,1)是 E 上一点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 F 1 的直线交椭圆 E 于 A , B 两点,且   =2   ,求直线 BF 2 的方程. 解析 　(1)由题意知, b =1, 且 e 2 =   =   =   , 解得 a 2 =2, 所以椭圆 E 的方程为   + y 2 =1. (2)由题意知,直线 AB 的斜率存在且不为0,故可设直线 AB 的方程为 x = my - 1,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 由   得( m 2 +2) y 2 -2 my -1=0, 则 y 1 + y 2 =   ,① y 1 y 2 =-   ,② 因为 F 1 (-1,0),所以   =(-1- x 2 ,- y 2 ),   =( x 1 +1, y 1 ),由   =2   可得- y 2 =2 y 1 ,③ 由①②③可得 B   . 则   =   或-   , 所以直线 BF 2 的方程为 y =   x -   或 y =-   x +   . 1.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设 F 为抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点,曲线 y =   ( k >0)与 C 交于点 P , PF ⊥ x 轴,则 k =   (　　) A.   　    B.1　    C.   　    D.2 随堂检测 答案     D　由题意得点 P 的坐标为(1,2).把点 P 的坐标代入 y =   ( k >0)得 k = 1 × 2=2,故选D. 2.(2017天津,5,5分)已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的左焦点为 F ,离心率 为   .若经过 F 和 P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲 线的方程为   (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 答案     B　由离心率为   可知 a = b , c =   a ,所以 F (-   a ,0),由题意可知 k PF =   =   =1,所以   a =4,解得 a =2   ,所以双曲线的方程为   -   =1,故选B. 3.已知抛物线 y 2 =2 px 的焦点 F 与椭圆16 x 2 +25 y 2 =400的左焦点重合,抛物 线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且| AK |=   | AF |,则点 A 的横坐 标为   (　　) A.2　    B.-2　    C.3　    D.-3 答案     D　16 x 2 +25 y 2 =400可化为   +   =1, 则椭圆的左焦点为 F (-3,0), 又抛物线 y 2 =2 px 的焦点为   ,准线为 x =-   , 所以   =-3,即 p =-6,则 y 2 =-12 x , K 的坐标为(3,0). 设 A ( x , y ),则由| AK |=   | AF |得( x -3) 2 + y 2 =2[( x +3) 2 + y 2 ], 即 x 2 +18 x +9+ y 2 =0, 又 y 2 =-12 x ,所以 x 2 +6 x +9=0,解得 x =-3. 4.(2016北京,12,5分)已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的一条渐近线为2 x + y =0,一个焦点为(   ,0),则 a = 　　     ; b = 　　　     . 答案 　1;2 解析 　由题意可知双曲线的焦点在 x 轴上,故渐近线方程为 y = ±   x ,∵一 条渐近线为2 x + y =0,即 y =-2 x , ∴   =2,即 b =2 a . 又∵该双曲线的一个焦点为(   ,0), ∴ c =   . 由 a 2 + b 2 = c 2 可得 a 2 +(2 a ) 2 =5, 解得 a =1, b =2. 5.(2017郑州第二次质量预测)已知双曲线 C 2 与椭圆 C 1 :   +   =1具有相同的焦点,则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线 C 2 的离心率为 　　　     . 答案        解析 　设双曲线的方程为   -   =1( a >0, b >0),由题意知 a 2 + b 2 =4-3=1, 由   解得交点的坐标满足   由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知,以它们的交点为顶点的四边形是长方形, 其面积 S =4| xy |=4   ·   =8   ·   ·   ≤ 8   ·   =4   , 当且仅当 a 2 =1- a 2 ,即 a 2 =   时,取等号, 此时双曲线的方程为   -   =1,离心率 e =   .